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時(shí)間：2023-04-01 10:31:47
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既是教學(xué)中心又是科研中心的大學(xué)，必然在著重加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練同時(shí)，又要使教學(xué)過(guò)程帶有研究性質(zhì)，在教學(xué)過(guò)程中，提出學(xué)生覺(jué)得需要解決的問(wèn)題，加以適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)習(xí)研究。在解決問(wèn)題的同時(shí)，提高學(xué)生思維能力，使教學(xué)與科研相結(jié)合。那么研究式教學(xué)就有著必然性，成為調(diào)動(dòng)大學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性、創(chuàng)造性和辯證思維能力的重要手段。
在中學(xué)教學(xué)中，為了有目的性，針對(duì)性調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性，引導(dǎo)他們?cè)诮虒W(xué)大綱范圍內(nèi)鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高能力，發(fā)展智力，將來(lái)適應(yīng)大學(xué)的研究性教學(xué)形式，我認(rèn)為，中學(xué)教學(xué)教育中，也可以根據(jù)中學(xué)生特點(diǎn)，采取“提問(wèn)質(zhì)疑--自學(xué)求索--討論研究--總結(jié)提高”的中學(xué)教學(xué)研究式教學(xué)方法。
提問(wèn)質(zhì)疑。在課堂上，課外活動(dòng)中或數(shù)學(xué)講座上，根據(jù)學(xué)生水平，教材內(nèi)容，提出需要解決的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生興趣，引起對(duì)學(xué)習(xí)某種知識(shí)的需要，產(chǎn)生學(xué)習(xí)研究的動(dòng)機(jī)，對(duì)求知欲旺盛的學(xué)生來(lái)說(shuō)，也起到引導(dǎo)他們正確學(xué)習(xí)方向的把關(guān)作用，防止無(wú)目的不切實(shí)際的“亂學(xué)”，即一是“引趣”二是“定向”。
自學(xué)求索。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課本或有關(guān)課外閱讀材料，書(shū)籍，學(xué)習(xí)與研究問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)，要求學(xué)生精讀教材或課外書(shū)。掌握有關(guān)知識(shí)或提出不懂問(wèn)題。
討論研究。在課堂上（提出的問(wèn)題在教材范圍內(nèi)且與大多數(shù)學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)有關(guān)）或在課外（提出的問(wèn)題有一定難度）由集體（小組或教師與個(gè)別有關(guān)學(xué)生）進(jìn)行探索研究，介紹自己的學(xué)習(xí)體會(huì)或解決問(wèn)題的方法。
總結(jié)提高。由老師或?qū)W生總結(jié)解決問(wèn)題的方法或結(jié)論，進(jìn)行歸納小結(jié)，可采用老師在課堂上或數(shù)學(xué)講座中總結(jié)規(guī)律，解答疑難，也可由學(xué)生寫(xiě)讀書(shū)筆記或小論文。用自己的語(yǔ)言進(jìn)行歸納，談出自己學(xué)習(xí)心得或獨(dú)立見(jiàn)解。
在《不等式》一章教學(xué)中，課本對(duì)基本不等式“A=≥=G”的證明，只要求對(duì)n=2.3的情況進(jìn)行證明，當(dāng)學(xué)生運(yùn)用公式達(dá)到一定熟悉程度時(shí)，便對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)好的學(xué)生（對(duì)成績(jī)中等以下則要求不要去研究，以免加重負(fù)擔(dān)），提出怎樣證明公式一般情形，介紹有關(guān)學(xué)生閱讀華羅庚的《數(shù)學(xué)歸納法》或其他教學(xué)參考書(shū)，數(shù)學(xué)成績(jī)好的學(xué)生興趣很濃，翻閱有關(guān)書(shū)籍學(xué)習(xí)，并對(duì)常見(jiàn)兩種證法提出不懂問(wèn)題進(jìn)行熱烈討論。最后，教師在數(shù)學(xué)講座中給以講解，并對(duì)教學(xué)歸納法證明中的一些技巧或“變著”進(jìn)行介紹，加深了數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的深入理解。其中有一個(gè)學(xué)生在一本課外書(shū)上看到關(guān)于這個(gè)公式證明的簡(jiǎn)單介紹：可用“如果a1a2…=a=1（a1a2…an∈R+）則a1+a2+an≥n”（實(shí)際上是公式A≥G的特例）證明公式“A≥G”而前者則可用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)他學(xué)習(xí)研究有困難，教師加以指導(dǎo)。這個(gè)學(xué)生終于解決這一問(wèn)題，則讓他歸納總結(jié)，寫(xiě)成小論文，后發(fā)表在《中學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》1985年第5期。這種證法介紹給其他學(xué)生，學(xué)生感到較前面兩種證明方法易懂。通過(guò)這樣做，使學(xué)生帶著問(wèn)題，圍繞當(dāng)前學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)去自學(xué)研究，使知識(shí)面擴(kuò)寬，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。
“什么是創(chuàng)造性思維？”它是主動(dòng)地，獨(dú)創(chuàng)性地發(fā)現(xiàn)新事物，提出新的見(jiàn)解，解決新的問(wèn)題的一種思維形式，就是我們平常說(shuō)的能做到舉一反三聞一知十。這里的創(chuàng)造，不是指科學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)造，科學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)造是說(shuō)他們所發(fā)現(xiàn)和解決的問(wèn)題往往是人類不曾發(fā)現(xiàn)和解決的新事物，而學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造和解決問(wèn)題僅僅是對(duì)于他本人來(lái)說(shuō)是一種新鮮事物。學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)和發(fā)展，有助于他們將來(lái)進(jìn)行更大的創(chuàng)造?！埃ㄕ掠郎骸督逃睦砼c教學(xué)法》）誠(chéng)然培養(yǎng)中學(xué)生的創(chuàng)造性思維，首先會(huì)有利于中學(xué)生將來(lái)到大學(xué)深造時(shí)主動(dòng)地有創(chuàng)見(jiàn)性的學(xué)習(xí)。中學(xué)的研究式的教學(xué)法與大學(xué)少年班的研究式有不少差別：如對(duì)象不同---少數(shù)數(shù)學(xué)優(yōu)等生與群體優(yōu)等生（且優(yōu)的程度差別很大）。性質(zhì)不同--解決尚未學(xué)懂的問(wèn)題與解決尚未解決的問(wèn)題。方式不同---以發(fā)揮老師主導(dǎo)作用解疑為主與發(fā)揮學(xué)生主體作用為主。但都是為了培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)的積極的創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、方法和能力。前面介紹研究“A≥G”公式證明有創(chuàng)見(jiàn)（即通過(guò)學(xué)習(xí)探討獲得新知識(shí)）的學(xué)生，爾后學(xué)數(shù)學(xué)的興趣愈濃，參加1986年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲自治區(qū)三等獎(jiǎng)，他所在班級(jí)（即筆者任教并試行此法的八七理二班）學(xué)數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)的空氣很濃，參加1986年全國(guó)高中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽時(shí)，有12人獲地區(qū)一、二、三等獎(jiǎng)，有一人獲自治區(qū)一等獎(jiǎng)，二人獲自治區(qū)二等獎(jiǎng)，有一人獲自治區(qū)三等獎(jiǎng)，體現(xiàn)了學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，創(chuàng)造性思維能力都有很大提高。
提問(wèn)質(zhì)疑，其目和是喚起學(xué)生的興趣，求知欲，好奇心，必須難度適當(dāng)，不能脫離教學(xué)大綱和學(xué)生實(shí)際，而應(yīng)該是能體現(xiàn)教學(xué)大綱，讓學(xué)生通過(guò)自己的積極努力能理解并感到克服學(xué)習(xí)困難產(chǎn)生一種樂(lè)趣的這種適當(dāng)難度?？梢赃@樣說(shuō)，讓學(xué)生跳一跳才能摘到樹(shù)上的果子。若伸手可得或高不可攀都是不可取的，適當(dāng)?shù)馁|(zhì)疑，讓學(xué)生經(jīng)?！疤惶闭焦樱@樣多跳幾次，“彈跳力”---自學(xué)能力，分析能力等就隨之提高了。
在“自學(xué)求索”這一階段，必須培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)習(xí)慣。讀書(shū)的方法和鉆研的精神，即自學(xué)能力。例如在立體幾何關(guān)于《直線與平面平行的判定定理》一節(jié)中，在課前預(yù)習(xí)提出下列問(wèn)題：1、直線與平面有幾種位置關(guān)系？判定方法怎樣？2、直線與平面判定定理怎樣證明？還有其他方法嗎？課堂上，學(xué)生都可以回答上述兩個(gè)問(wèn)題，特別是對(duì)第二問(wèn)題討論熱烈，列舉各種證法，經(jīng)過(guò)總結(jié)，提高了學(xué)生對(duì)反證法的運(yùn)用能力。然而，向?qū)W生提出“直線與平面平行的判定方法是怎樣思考到的？”這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生都無(wú)從回答，其原因是學(xué)生在“自學(xué)求索”這一過(guò)程中，學(xué)生僅在預(yù)習(xí)課本時(shí)，直接記出定理，沒(méi)有求索探因，對(duì)第一個(gè)問(wèn)題（這是本節(jié)最基本問(wèn)題）覺(jué)得似乎易懂而放棄思索研究，筆者帶領(lǐng)學(xué)生再進(jìn)一步研究直線與平面的直線在平面內(nèi)，直線與平面相交平行三種位置的特點(diǎn)：用一支細(xì)直棍（代表直線）在一平面進(jìn)行“在平面內(nèi)”“平行”的變化過(guò)程的演示。
將直線先從在平面內(nèi)，再平行移動(dòng)到平面外，來(lái)找到線向平行的判定方法。這樣做使學(xué)生對(duì)教材深入鉆研，自學(xué)求索。過(guò)去，筆者是先從上述演示而引起線與平面平行判定定理，再證明，這樣做可稱“啟發(fā)式”，而現(xiàn)在采取先提出問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)自學(xué)研究等階段來(lái)總結(jié)提高，可稱“研究式”。
研究式的教學(xué)方法可應(yīng)用于課堂教學(xué)（如立幾的線面平行判定定理一節(jié)）中，可與其他教學(xué)形式有機(jī)結(jié)合在一起進(jìn)行課堂教學(xué)，也可應(yīng)用于課外研究，數(shù)學(xué)講座，數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組，指導(dǎo)個(gè)別數(shù)學(xué)優(yōu)等生學(xué)習(xí)。（如公式“A≥G”的證明）
對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究，不應(yīng)畢其功于一役，而應(yīng)該結(jié)合學(xué)生掌握知識(shí)的程度的不斷提高而引導(dǎo)學(xué)生在“自學(xué)求索”“討論研究”兩個(gè)階段中逐漸深入研究問(wèn)題。
在解析幾何《橢圓》一節(jié)中有這樣一個(gè)例題：我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)A距地面439公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面2384公里，地球半徑為6371公里，求衛(wèi)星軌道方程。
此題計(jì)算不難，學(xué)生很容易掌握，但下課前，提出問(wèn)題，為什么地球的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)分別在橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)（實(shí)際上，在預(yù)習(xí)此課時(shí)，已有少數(shù)養(yǎng)成研究習(xí)慣的學(xué)生提出此問(wèn)題），并結(jié)合題目分析歸納成一個(gè)極值問(wèn)題：為什么橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近點(diǎn)分別這橢圓長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)？
課后，有的學(xué)生利用代數(shù)方法解決這一問(wèn)題，但不少學(xué)生在遇到函數(shù)自變量為二個(gè)變量x.y時(shí)忘記了，“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)必滿足這曲線方程”這一基本概念，或者運(yùn)算化簡(jiǎn)過(guò)程中配方法不熟練。
當(dāng)學(xué)習(xí)到圓錐曲線統(tǒng)一定義時(shí)，第二次提出此問(wèn)題讓學(xué)生研究，掌握用“求圓錐曲線點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可化這點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”來(lái)解決，減少變量個(gè)數(shù)。
當(dāng)學(xué)習(xí)參數(shù)方程時(shí)，第三次提出此問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用以角為參數(shù)方程，使代數(shù)極值問(wèn)題化為三角函數(shù)極值問(wèn)題來(lái)解決。
【正文】
本文有兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)的目標(biāo)：第一，對(duì)科學(xué)哲學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的重要影響作出綜合分析；第二，對(duì)新的研究與基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)進(jìn)行比較，從而清楚地指明數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的革命性質(zhì)。
一、從一些具體的研究談起
如眾所知，由1890年至1940年的這五十年，可以被看成數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的黃金時(shí)代：在這一時(shí)期中，弗雷格、羅素、布勞維爾和希爾伯特等，圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)和深入的研究，并發(fā)展起了邏輯主義、直覺(jué)主義和形式主義等具有廣泛和深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)觀，從而為數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究開(kāi)拓出了一個(gè)嶄新的時(shí)代，其影響也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)的范圍，特別是，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)曾對(duì)維也納學(xué)派的科學(xué)哲學(xué)研究產(chǎn)生了十分重要的影響，而后者則曾在科學(xué)哲學(xué)的領(lǐng)域長(zhǎng)期占據(jù)主導(dǎo)的地位。
然而，在四十年代以后，上述的情況發(fā)生了重要的變化。盡管邏輯主義等學(xué)派作出了極大的努力，他們的研究規(guī)劃卻都沒(méi)有能夠獲得成功，從而，在經(jīng)歷了所說(shuō)的“黃金時(shí)代”以后，數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展就一度“進(jìn)入了一個(gè)悲觀的、停滯的時(shí)期”；與數(shù)學(xué)哲學(xué)的困境相對(duì)照，科學(xué)哲學(xué)則已逐步擺脫邏輯實(shí)證主義的傳統(tǒng)進(jìn)入了一個(gè)欣欣向榮的、新的發(fā)展時(shí)期。也正因?yàn)榇?，科學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展就對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)家產(chǎn)生了巨大的吸引力，并對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展產(chǎn)生了十分重要的影響。
就科學(xué)哲學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的影響而言，在最初主要是一些直接的推廣或移植。例如，作為新方向上研究工作的一個(gè)先驅(qū)，拉卡托斯就曾直接把波普爾的證偽主義科學(xué)哲學(xué)推廣應(yīng)用到了數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。盡管推廣和移植的工作是較為簡(jiǎn)單的，但這仍然依賴于獨(dú)立的分析與深入的研究，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)與一般自然（經(jīng)驗(yàn)）科學(xué)之間顯然存在有重要的質(zhì)的區(qū)別。
為了使得由科學(xué)哲學(xué)中所吸取的觀念、概念、方法等確實(shí)有益于數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究，最好的方法就是集中于相應(yīng)的研究問(wèn)題，也即是希望通過(guò)以科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中某一（或某些）理論作為直接的研究背景以解決數(shù)學(xué)哲學(xué)中的某些基本問(wèn)題。例如，M.Hallett的論文“數(shù)學(xué)研究綱領(lǐng)方法論的發(fā)展”就以拉卡托斯的科學(xué)哲學(xué)理論，也即所謂的“科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論”作為直接的研究背景，但Hallett在這一論文中所真正關(guān)注的則是數(shù)學(xué)的方法論問(wèn)題。因而，盡管其聲稱“希望能找到與科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論相類似的數(shù)學(xué)發(fā)展的方法論準(zhǔn)則”，Hallett的實(shí)際工作卻與拉卡托斯的科學(xué)哲學(xué)理論表現(xiàn)出了一定的差異。特別是，由于Hallett清楚地認(rèn)識(shí)到：“數(shù)學(xué)與經(jīng)驗(yàn)科學(xué)之間的差異無(wú)疑是十分重要的”；“物理學(xué)可以依賴于不斷增加的事實(shí)性命題，但是數(shù)學(xué)中卻不存在這樣的對(duì)應(yīng)物?！币虼?，在Hallett看來(lái)，相應(yīng)的科學(xué)方法論準(zhǔn)則（即新的理論能作出某些預(yù)言，這些預(yù)言并已得到了確證），就不可能被直接推廣到數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。
與上述的方法論原則相對(duì)照，Hallett提出，新的理論在解決非特設(shè)性的重要問(wèn)題方面的成功可以被用作判斷數(shù)學(xué)進(jìn)步的準(zhǔn)則。Hallett并指出，這一準(zhǔn)則即是對(duì)希爾伯特在先前所已明確提出的相應(yīng)思想的一種改進(jìn)。從而，這就確實(shí)不能被看成對(duì)于科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論的直接推廣。
在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)我們并可看到一種不斷增長(zhǎng)的自覺(jué)性，即是關(guān)于科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中的思想或理論對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)“可應(yīng)用性”或“可推廣性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的論文“庫(kù)恩的理論與數(shù)學(xué)：關(guān)于數(shù)學(xué)的‘新編年史’的討論”一文中，就明確提出了這樣的思想：在將庫(kù)恩的理論推廣應(yīng)用到數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先考慮兩個(gè)問(wèn)題：第一，“在數(shù)學(xué)中是否存在有這類東西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的話，“這一概念對(duì)數(shù)學(xué)編年史的研究是否有確定的、富有成果的應(yīng)用？”
顯然，即使前一個(gè)問(wèn)題可以說(shuō)是一種直接的推廣或移植，后一問(wèn)題的解答則依賴于更為深入的分析和獨(dú)立的研究，因?yàn)?，這不僅涉及到了對(duì)庫(kù)恩理論的評(píng)價(jià)，而且也直接依賴于關(guān)于應(yīng)當(dāng)如何去從事數(shù)學(xué)哲學(xué)（和數(shù)學(xué)史）研究的基本思想。
正是從這樣的立場(chǎng)出發(fā)，Mehrtens提出：“盡管（數(shù)學(xué)中）存在有可以稱之為‘革命’或‘危機(jī)’的現(xiàn)象，我對(duì)這兩個(gè)概念持否定的態(tài)度，因?yàn)?，它們并不能成為歷史研究的有利工具。”
當(dāng)然，上述的結(jié)論并不意味著Mehrtens對(duì)庫(kù)恩的理論持完全否定的態(tài)度；恰恰相反，Mehrtens明確地指出，庫(kù)恩所提出的“范式”和“科學(xué)共同體”這兩個(gè)概念對(duì)于數(shù)學(xué)史（和數(shù)學(xué)哲學(xué)）的研究有著十分重要的意義。Mehrtens寫(xiě)道：“圍繞著科學(xué)共同體的社會(huì)學(xué)概念具有很大的解釋力量——在我看來(lái)——它們?yōu)閿?shù)學(xué)編年史提供了關(guān)鍵的概念?！?/p>
上述的批判態(tài)度和深入分析顯然表明了一種獨(dú)立研究的態(tài)度，從而，與簡(jiǎn)單的推廣或移植相比，這就是一種真正的進(jìn)步。作為這種進(jìn)步的又一實(shí)例，我們還可看基切爾（P.Kitcher）的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究。
一般地說(shuō)，基切爾在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的工作主要就是將庫(kù)恩的科學(xué)哲學(xué)理論推廣應(yīng)用到了數(shù)學(xué)之中，特別是，基切爾不僅由庫(kù)恩的理論中吸取了很多具體的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如關(guān)于科學(xué)活動(dòng)社會(huì)—文化性質(zhì)的分析等。另外，基切爾所主要關(guān)注的則是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的合理性問(wèn)題。例如，正是從這一立場(chǎng)出發(fā)，基切爾首先考察了什么是數(shù)學(xué)變化的基本單位。基切爾寫(xiě)道：“一個(gè)首要的任務(wù)，就是應(yīng)當(dāng)以關(guān)于數(shù)學(xué)變化單位的更為精確的描述去取代關(guān)于‘?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)狀況’的模糊說(shuō)法。這一問(wèn)題與關(guān)注科學(xué)知識(shí)增長(zhǎng)的哲學(xué)家們所面臨的問(wèn)題在形式上是互相平行的。我認(rèn)為，在這兩種情形中，我們都應(yīng)借助于一個(gè)多元體，也即由多種不同成分所組成的實(shí)踐（practice）的變化，來(lái)理解知識(shí)的增長(zhǎng)。”
在基切爾看來(lái)，后者事實(shí)上也就是庫(kù)恩的“范式”概念的主要涵義。然而，基切爾在此并沒(méi)有逐一地去尋找“范式”（或“專業(yè)質(zhì)基”）的各個(gè)成分（如“符號(hào)的一般化”、“模型”、“價(jià)值觀”、“范例”等）在數(shù)學(xué)中的對(duì)應(yīng)物，而是對(duì)“數(shù)學(xué)實(shí)踐（活動(dòng)）”的具體內(nèi)容作出了自己的獨(dú)立分析?；袪柼岢?，“我以為我們應(yīng)當(dāng)集中于數(shù)學(xué)實(shí)踐的變化，并把數(shù)學(xué)實(shí)踐看成是由以下五個(gè)成分所組成的：語(yǔ)言，所接受的命題，所接受的推理，被認(rèn)為是重要的問(wèn)題，和元數(shù)學(xué)觀念?！憋@然，這即是對(duì)庫(kù)恩基本思想的創(chuàng)造性應(yīng)用。
其次，基切爾又具體地指明了若干個(gè)這樣的條件，在滿足這些條件的情況下，數(shù)學(xué)實(shí)踐的變化可被看成是合理的。從而，這也就十分清楚地表明了在基切爾與庫(kù)恩之間所存在的一個(gè)重要區(qū)別：盡管前者從庫(kù)恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主義、而并非是像庫(kù)恩那樣的非理性主義立場(chǎng)。這一轉(zhuǎn)變當(dāng)然也是批判性的立場(chǎng)和獨(dú)立思考的直接結(jié)果。
二、新方向上研究的共同特征
盡管在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家有著不同的研究背景和工作重點(diǎn)，在觀念上也可能具有一定的分歧和差異；但是，從整體上說(shuō)，這些工作又有著明顯的共同點(diǎn)，后者事實(shí)上更為清楚地表明了來(lái)自科學(xué)哲學(xué)的重要影響。
1.對(duì)于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)性和擬經(jīng)驗(yàn)性的肯定
所謂數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性，就其原始的意義而言，即是對(duì)數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)同一性（analogy，或similarity）的確認(rèn)。這一認(rèn)識(shí)事實(shí)上構(gòu)成新方向上所有工作的共同出發(fā)點(diǎn)。
關(guān)于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)性的斷言顯然正是對(duì)于傳統(tǒng)觀念的直接否定，即數(shù)學(xué)知識(shí)不應(yīng)被看成無(wú)可懷疑的絕對(duì)真理，數(shù)學(xué)的發(fā)展也并非數(shù)學(xué)真理在數(shù)量上的簡(jiǎn)單積累。從而，這也就如Echeverria等人所指出的，它將“數(shù)學(xué)從柏拉圖所置于的寶座上拉下來(lái)了?！?/p>
事實(shí)上，人們?cè)鴱母鞣N不同的角度對(duì)數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的同一性進(jìn)行了論證。諸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法論的同一性”，基切爾的“認(rèn)識(shí)論的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托瑪茲克（T.Tymoczko）的“本體論的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“結(jié)構(gòu)的同一性”，等等。另外，在筆者看來(lái)，對(duì)于經(jīng)驗(yàn)性的肯定事實(shí)上也可被看成關(guān)于數(shù)學(xué)的社會(huì)—文化觀念（這是在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家所普遍接受的）的一個(gè)直接結(jié)論。這就是說(shuō)，如果數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)一樣，最終都應(yīng)被看成人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng)，并構(gòu)成了整個(gè)人類文化的一個(gè)有機(jī)組成成分，那么，數(shù)學(xué)的發(fā)展無(wú)疑就是一個(gè)包含有猜想與反駁、錯(cuò)誤與嘗試的復(fù)雜過(guò)程，而且，“數(shù)學(xué)的內(nèi)涵與改變最終是由我們的實(shí)際利益與其它科學(xué)的認(rèn)識(shí)論目標(biāo)所決定的?！?/p>
其次，如果說(shuō)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性集中地反映了數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)的同一性，那么，對(duì)于數(shù)學(xué)擬經(jīng)驗(yàn)性（quasi-empirical）的強(qiáng)調(diào)則就突出地表明了數(shù)學(xué)的特殊性。
具體地說(shuō)，我們?cè)诖怂婕暗闹饕沁@樣一個(gè)問(wèn)題：除去在實(shí)際活動(dòng)中的成功應(yīng)用外，就數(shù)學(xué)理論而言，是否還存在其它的判斷標(biāo)準(zhǔn)？另外，擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀的核心就在于明確肯定了數(shù)學(xué)有自己特殊的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)，這就是新的研究工作對(duì)于數(shù)學(xué)自身的意義，即如其是否有利于已有問(wèn)題的解決或方法的改進(jìn)等。顯然，后者事實(shí)上也就是實(shí)際數(shù)學(xué)工作者真實(shí)態(tài)度的一個(gè)直接反映。例如，美國(guó)著名數(shù)學(xué)家麥克萊恩（S.MacLane）就曾這樣寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中的進(jìn)步包括兩個(gè)互補(bǔ)的方面：重要問(wèn)題的解決以及對(duì)于所獲得結(jié)果的理解?！?/p>
由此可見(jiàn)，我們就應(yīng)同時(shí)肯定數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性和擬經(jīng)驗(yàn)性。顯然，就本文的論題而言，這事實(shí)上也就表明了：為了在數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究中取得實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，我們不僅應(yīng)當(dāng)保持頭腦的開(kāi)放性，也即應(yīng)當(dāng)努力從科學(xué)哲學(xué)中吸取更多有益的思想、概念和問(wèn)題，同時(shí)也應(yīng)高度重視數(shù)學(xué)的特殊性，即在一定程度上保持?jǐn)?shù)學(xué)哲學(xué)的相對(duì)獨(dú)立性。
2.對(duì)于數(shù)學(xué)方法論的高度重視
理性主義與非理性主義的長(zhǎng)期爭(zhēng)論無(wú)疑是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的一個(gè)重要特點(diǎn)；與此相對(duì)照，理性主義的立場(chǎng)在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中卻似乎沒(méi)有受到嚴(yán)重的挑戰(zhàn)，但是，后者并不意味著現(xiàn)已存在某種為人們所普遍接受的關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展合理性的理論，恰恰相反，后一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)還有待于長(zhǎng)期的努力。
然而，在這一方面確已取得了一定的進(jìn)步，特別是，相對(duì)于早期的簡(jiǎn)單“移植”而言，現(xiàn)今人們普遍地更加重視對(duì)那些源自科學(xué)哲學(xué)的概念、觀點(diǎn)和理論的分析和批判。例如，就庫(kù)恩的影響而言，人們現(xiàn)已認(rèn)識(shí)到，對(duì)于數(shù)學(xué)的社會(huì)—文化性質(zhì)的確認(rèn)，并不意味著我們必須采取相對(duì)主義或非理性主義的立場(chǎng)；另外，在肯定數(shù)學(xué)歷史發(fā)展合理性的同時(shí)，人們也認(rèn)識(shí)到了這種發(fā)展并不能簡(jiǎn)單地被納入某一特定的模式。事實(shí)上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一個(gè)歷史的概念：“‘理性’在一定程度上是社會(huì)化建構(gòu)的，……即包括有一個(gè)社會(huì)協(xié)商的過(guò)程?！睆亩诖怂枰木褪且环N辯證的綜合。例如，正是從這樣的立場(chǎng)出發(fā)，格拉斯提出，我們應(yīng)對(duì)庫(kù)恩和拉卡托斯的理論進(jìn)行整合：“拉卡托斯的方法論立場(chǎng)至少應(yīng)當(dāng)用像庫(kù)恩那樣的社會(huì)和歷史的觀點(diǎn)予以補(bǔ)充和平衡?！?/p>
值得指出的是，這種整合的立場(chǎng)事實(shí)上也就是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的一個(gè)重要特點(diǎn)，特別是，這即是科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中所謂的“新歷史主義學(xué)派”所采取的一個(gè)基本立場(chǎng)：他們對(duì)先前的各種理論（包括理性主義與非理性主義）普遍地采取了批評(píng)的立場(chǎng)，并希望能通過(guò)對(duì)立理論的整合發(fā)展出關(guān)于科學(xué)發(fā)展合理性的新理論。從而，在這一方面我們也就可以看到科學(xué)哲學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的重要影響。
艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切爾這樣寫(xiě)道：“……數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注與那些研究人類知識(shí)其它領(lǐng)域（特別是，自然科學(xué)）同一類型的問(wèn)題。例如，哲學(xué)家們應(yīng)當(dāng)考慮這樣的問(wèn)題：數(shù)學(xué)知識(shí)是如何增長(zhǎng)的？什么是數(shù)學(xué)進(jìn)步？是什么使得某一數(shù)學(xué)觀點(diǎn)（或理論）優(yōu)于其它的觀點(diǎn)（或理論）？什么是數(shù)學(xué)解釋？”特別是，“數(shù)學(xué)在其發(fā)展中是否遵循任何方法論的原則？”事實(shí)上，在艾斯帕瑞和基切爾看來(lái)，如何對(duì)數(shù)學(xué)方法論作出恰當(dāng)?shù)恼f(shuō)明就構(gòu)成了在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家的核心問(wèn)題。顯然，這一立場(chǎng)也是與現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)中對(duì)于科學(xué)方法論的高度重視完全一致的。
3.對(duì)于數(shù)學(xué)史的強(qiáng)調(diào)
如眾所知，對(duì)于科學(xué)史的突出強(qiáng)調(diào)也是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的一個(gè)重要特征。正如克倫瓦（M.Crowe）所指出的：“在庫(kù)恩以前，科學(xué)哲學(xué)長(zhǎng)期為邏輯實(shí)證主義所支配，后者認(rèn)為科學(xué)史是與他們的研究毫不相關(guān)的；但是，這種形勢(shì)現(xiàn)在已經(jīng)有了改變……科學(xué)哲學(xué)家們現(xiàn)已認(rèn)識(shí)到了歷史研究的重要性?！边@就是說(shuō)，“如果沒(méi)有給予科學(xué)史應(yīng)有的重視，科學(xué)性質(zhì)的分析就是不可能的?！笨茖W(xué)哲學(xué)的上述變化對(duì)在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家也產(chǎn)生了極大的影響。例如，在以上所提及的各篇論文和著作中，歷史案例的分析都占據(jù)了十分重要的位置。可以說(shuō)歷史方法事實(shí)上已成為數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的基本方法之一。
作為一種自覺(jué)的努力，我們?cè)诖诉€可特別提及以下的四部論文集：（1）由艾斯帕瑞和基切爾所編輯的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所編輯的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所編輯的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz編輯的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即將出版）。
這些編輯者的一個(gè)共同特點(diǎn)是，他們不僅認(rèn)為數(shù)學(xué)方法論的任一理論都應(yīng)用歷史的案例加以檢驗(yàn)，而且更大力提倡數(shù)學(xué)史家與數(shù)學(xué)哲學(xué)家的密切合作，并認(rèn)為雙方都可以從這種合作中得益匪淺。例如，Breger和Grosholz在他們的序言中這樣寫(xiě)道：“這一論文集源自編輯者的這樣一個(gè)信念，即數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要論題可以由哲學(xué)家與歷史學(xué)家的有組織對(duì)話得到啟示。……我們希望歷史的材料能在數(shù)學(xué)哲學(xué)家那里獲得更為深入和系統(tǒng)的應(yīng)用；同樣地，我們也希望哲學(xué)家由歷史所激發(fā)的思考能給歷史學(xué)家提供新的問(wèn)題和思想。”顯然，這種態(tài)度與傳統(tǒng)的把數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史絕對(duì)地分割開(kāi)來(lái)的作法是截然相反的。
最后，我們?cè)诖诉€可提及所謂的“奠基于數(shù)學(xué)史之上的數(shù)學(xué)哲學(xué)”。具體地說(shuō)，相關(guān)的數(shù)學(xué)哲學(xué)家在此所希望的就是能發(fā)展出關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的這樣一種理論，它能正確地反映數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，即“現(xiàn)代的數(shù)學(xué)知識(shí)是由初始的狀態(tài)經(jīng)由一系列的合理轉(zhuǎn)變得以形成的”（基切爾語(yǔ)）。顯然，按照這樣的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要性就得到了進(jìn)一步的強(qiáng)化：正是前者為數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究提供了基本的素材和最終的檢驗(yàn)。這也就是說(shuō)，“數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)來(lái)說(shuō)，不僅不是無(wú)關(guān)的，并事實(shí)上占有核心的地位?！?/p>
4.實(shí)際數(shù)學(xué)工作者的“活的哲學(xué)”
應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于數(shù)學(xué)史的高度重視不僅直接涉及到了數(shù)學(xué)方法論的研究，而且也標(biāo)志著數(shù)學(xué)哲學(xué)研究立場(chǎng)的重要轉(zhuǎn)變。在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家們幾乎一致地認(rèn)為，實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)哲學(xué)理論研究的出發(fā)點(diǎn)和最終依據(jù)?！罢軐W(xué)沒(méi)有任何理由可以繼續(xù)無(wú)視實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng)。事實(shí)上，正是這種實(shí)踐應(yīng)當(dāng)為數(shù)學(xué)哲學(xué)提供問(wèn)題及其解決所需要的素材?！?/p>
當(dāng)然，上述的轉(zhuǎn)變直接反映了實(shí)際數(shù)學(xué)工作者的心聲。這也就如麥克萊恩所指出的：“數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在對(duì)于這一領(lǐng)域（按指數(shù)學(xué)）中所實(shí)際發(fā)生的一切的仔細(xì)觀察之上?！?/p>
最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切爾并曾從這樣的角度對(duì)數(shù)學(xué)方法論研究的意義進(jìn)行了分析。他們這樣寫(xiě)道：“如果我們具有了這樣的原則，歷史學(xué)家就可以此為依據(jù)對(duì)實(shí)際歷史與理想狀況之間的差距作出研究，從而發(fā)現(xiàn)這樣的有趣情況，在其間由于某些外部力量造成了對(duì)于方法論的偏離。另外，數(shù)學(xué)家們則可能會(huì)發(fā)現(xiàn)以下的研究具有一定的啟示意義，即他們所選擇的研究領(lǐng)域是如何由過(guò)去的數(shù)學(xué)演變而生成的，某些方法論的原則又如何在核心概念的更新中始終發(fā)揮了特別重要的作用。并非言過(guò)其實(shí)的是，這些答案……—還可能對(duì)數(shù)學(xué)家關(guān)于各種研究途徑合理性及某些觀念意義的爭(zhēng)論起到一定的啟發(fā)作用。”顯然，這一認(rèn)識(shí)與現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)中對(duì)于方法論的強(qiáng)調(diào)是完全一致的。
三、數(shù)學(xué)哲學(xué)的革命
從整體上說(shuō)，與先前的基礎(chǔ)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)相比，新方向上的研究無(wú)論就基本的數(shù)學(xué)觀，或是就研究問(wèn)題、研究方法和基本的研究立場(chǎng)而言，都已發(fā)生了十分重要的變化。我們就可以說(shuō)，數(shù)學(xué)哲學(xué)已經(jīng)歷了一場(chǎng)深刻的革命。
1.研究立場(chǎng)的轉(zhuǎn)移，即由與實(shí)際數(shù)學(xué)活動(dòng)的嚴(yán)重分離轉(zhuǎn)移到了與它的密切結(jié)合。
由于深深地沉溺于對(duì)已有的數(shù)學(xué)理論和方法可靠性的疑慮或不安，因此，邏輯主義等學(xué)派在基礎(chǔ)研究中普遍地采取了“批判和改造”的立場(chǎng)，即都認(rèn)為應(yīng)當(dāng)對(duì)已有的數(shù)學(xué)理論和方法進(jìn)行嚴(yán)格的批判或?qū)彶?，并通過(guò)改造或重建以徹底解決數(shù)學(xué)的可靠性問(wèn)題。從而，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)主要地就是一種規(guī)范性的研究，而也正因?yàn)榇?，基礎(chǔ)研究在整體上就暴露出了嚴(yán)重脫離實(shí)際數(shù)學(xué)活動(dòng)的弊病。
與此相對(duì)照，在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家普遍采取了相反的立場(chǎng)，即是認(rèn)為數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)成為實(shí)際數(shù)學(xué)工作者的“活的哲學(xué)”，也即應(yīng)當(dāng)“真實(shí)地反映當(dāng)我們使用、講授、發(fā)現(xiàn)或發(fā)明數(shù)學(xué)時(shí)所作的事”（赫斯語(yǔ)）。顯然，基本立場(chǎng)的上述轉(zhuǎn)移事實(shí)上也就意味著數(shù)學(xué)哲學(xué)性質(zhì)的重要改變：這已不再是實(shí)際數(shù)學(xué)工作者所必須遵循的某些先驗(yàn)的、絕對(duì)的教條。
2.對(duì)于數(shù)學(xué)史的高度重視。
由于邏輯主義等學(xué)派所關(guān)注的主要是數(shù)學(xué)的邏輯重建，因此，在這些學(xué)派看來(lái)，數(shù)學(xué)的真實(shí)歷史就不具有任何的重要性，或者說(shuō)即是與數(shù)學(xué)的哲學(xué)分析完全不相干的，而數(shù)學(xué)哲學(xué)家所唯一應(yīng)當(dāng)重視的則就是邏輯分析的方法。
與基礎(chǔ)主義者的上述作法相對(duì)立，在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家則普遍地對(duì)數(shù)學(xué)史給予了高度的重視。例如，這就正如Echeverria等人所指出的：“對(duì)于數(shù)學(xué)活動(dòng)的歷史和社會(huì)層面的關(guān)注清楚地表明了‘新’的數(shù)學(xué)哲學(xué)與傳統(tǒng)的新弗雷格主義傾向的區(qū)別，而后者在本世紀(jì)前半葉曾在這一學(xué)科中占據(jù)支配的地位?！憋@然，這事實(shí)上也就可以被看成上述的基本立場(chǎng)的一個(gè)直接表現(xiàn)。
更為一般地說(shuō)，人們并逐步確立了這樣的認(rèn)識(shí)：“沒(méi)有數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)哲學(xué)是空洞的；沒(méi)有數(shù)學(xué)哲學(xué)的數(shù)學(xué)史是盲目的?！保ɡㄍ兴拐Z(yǔ)）這不僅標(biāo)志著方法論的重要變革，而且也為深入開(kāi)展數(shù)學(xué)哲學(xué)（和數(shù)學(xué)史）的研究指明了努力的方向。
3.研究問(wèn)題的轉(zhuǎn)移。
由于對(duì)已有的數(shù)學(xué)理論和方法可靠性的極大憂慮構(gòu)成了邏輯主義等學(xué)派的基礎(chǔ)研究工作的共同出發(fā)點(diǎn)，因此，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)主要地就是圍繞所謂的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題”展開(kāi)的。這也就是指：如何為數(shù)學(xué)奠定可靠的基礎(chǔ)，從而徹底地解決數(shù)學(xué)的可靠性問(wèn)題？
與此相對(duì)照，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)家一般不再關(guān)心數(shù)學(xué)的可靠性問(wèn)題，而這事實(shí)上也就是數(shù)學(xué)工作者實(shí)際態(tài)度的直接反映。這就正如斯坦納（M.Steiner）等人所指出的，這是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的一個(gè)明顯和無(wú)可辯駁的出發(fā)點(diǎn)，即人們具有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，這些數(shù)學(xué)知識(shí)并已獲得了證實(shí)，從而就是可靠的。
對(duì)于力圖為實(shí)際數(shù)學(xué)工作者建立“活的哲學(xué)”的數(shù)學(xué)哲學(xué)家來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的核心問(wèn)題無(wú)疑就在于：如何對(duì)數(shù)學(xué)（活動(dòng)）作出合理的解釋？托瑪茲克說(shuō)：“數(shù)學(xué)哲學(xué)始于這樣的思考，即是如何為數(shù)學(xué)提供一般的解釋，也即提供一種能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)特性并對(duì)人們?nèi)绾文軌驈氖聰?shù)學(xué)活動(dòng)作出解釋的綜合觀點(diǎn)?！憋@然，這也就表明了，方法論的問(wèn)題何以會(huì)在數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)代研究中占據(jù)特別重要的位置。
4.動(dòng)態(tài)的、經(jīng)驗(yàn)和擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀對(duì)于靜態(tài)的、絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀的取代。
盡管邏輯主義等學(xué)派對(duì)什么是數(shù)學(xué)的最終基礎(chǔ)有著不同的看法，但是，從總體上說(shuō)，他們所體現(xiàn)的又都可以說(shuō)是一種靜態(tài)的、絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀，因?yàn)?，他們都希望能通過(guò)自己的工作為數(shù)學(xué)奠定一個(gè)“永恒的、可靠的基礎(chǔ)”，這樣，數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展也就可以被看成無(wú)可懷疑的真理在數(shù)量上的單純積累。
如果說(shuō)靜態(tài)的、絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀在基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)中占據(jù)了主導(dǎo)的地位，那么，由于把著眼點(diǎn)轉(zhuǎn)移到了實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng)，人們現(xiàn)已不再把數(shù)學(xué)的發(fā)展看成是無(wú)可懷疑的真理在數(shù)量上的簡(jiǎn)單積累；與此相反，作為人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng)，數(shù)學(xué)發(fā)展顯然是一個(gè)包含有猜測(cè)、錯(cuò)誤和嘗試、證明和反駁、檢驗(yàn)與改進(jìn)的復(fù)雜過(guò)程，并依賴于個(gè)體與群體的共同努力。從而，這種動(dòng)態(tài)的、經(jīng)驗(yàn)和擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀就已逐漸取代傳統(tǒng)的靜態(tài)的和絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀在這一領(lǐng)域中占據(jù)了主導(dǎo)的地位。
綜上可見(jiàn)，相對(duì)于基礎(chǔ)主義而言，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)無(wú)論就研究問(wèn)題、研究方法，或是就研究的基本立場(chǎng)和主要觀念而言，都已發(fā)生了質(zhì)的變化。因而，我們可以明確地?cái)嘌裕涸跀?shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展中已經(jīng)發(fā)生了革命性的變化。由于所有這些變化都與來(lái)自科學(xué)哲學(xué)的影響有著十分緊密的聯(lián)系，因此，這也就最為清楚地表明了這種影響對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的特殊重要性。
【參考文獻(xiàn)】
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新課程下的教育，是關(guān)愛(ài)學(xué)生生命發(fā)展，弘揚(yáng)學(xué)生靈性的教育。新課程理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)是以思維能力培養(yǎng)為核心，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的理解與把握。讓學(xué)生從看似枯燥的數(shù)字、圖形和抽象的邏輯思維中，體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，讓數(shù)學(xué)之花在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上盡情綻放，這是我多年來(lái)在課堂教學(xué)中一直努力追求的境界。下面結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐和探索，談一談自己的一些做法和體會(huì)。
一、良好的學(xué)習(xí)情境------數(shù)學(xué)之花生長(zhǎng)的土壤
“讓學(xué)生在生動(dòng)具體的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”，“讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》給我們廣大數(shù)學(xué)教師提出的教學(xué)建議。良好的學(xué)習(xí)情境是讓數(shù)學(xué)之花生長(zhǎng)的土壤。妙地創(chuàng)設(shè)各種情境，最大限度地激發(fā)孩子的求知欲，像磁鐵把每一個(gè)孩子的心緊緊地吸在一起，把有限的課堂時(shí)空變?yōu)槿巳藚⑴c、個(gè)個(gè)思考的無(wú)限空間。
在教學(xué)《誰(shuí)先走》一課時(shí)，我一開(kāi)始就創(chuàng)設(shè)一個(gè)“下棋比賽誰(shuí)先走”的游戲情境，大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將學(xué)生帶入游戲規(guī)則是否公平的討論之中；然后通過(guò)“擲骰子”和“擲硬幣”兩個(gè)游戲活動(dòng)讓學(xué)生驗(yàn)證、體會(huì)游戲規(guī)則的公平性，修改不公平的游戲規(guī)則；再通過(guò)玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，給轉(zhuǎn)盤(pán)游戲制定公平的游戲規(guī)則；最后組織學(xué)生自己設(shè)計(jì)一些對(duì)雙方都公平的游戲等，給全體學(xué)生再次參加游戲活動(dòng)的機(jī)會(huì)，并引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，關(guān)注身邊的不確定現(xiàn)象，應(yīng)用所學(xué)去解釋、解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。本節(jié)課自始至終都是在各種游戲活動(dòng)的情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探究知識(shí)，解決問(wèn)題，學(xué)生在玩中學(xué)，學(xué)中悟，課堂成了歡樂(lè)的海洋，原來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也可以這樣的生動(dòng)活潑、快樂(lè)有趣。
再如北師版第四冊(cè)《整理與復(fù)習(xí)（一）》是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“除法”、“混合運(yùn)算”、“方向與路線”“、生活中的大數(shù)”幾個(gè)單元之后的一節(jié)綜合復(fù)習(xí)課。在教學(xué)此課時(shí)，我針對(duì)春天來(lái)了，學(xué)生都特別喜歡外出游玩的心理特點(diǎn)，結(jié)合生活實(shí)際為學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)“淮南草莓節(jié)一日游”的教學(xué)情境，把枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)變得生動(dòng)、有趣、貼近生活。在讓學(xué)生說(shuō)行車(chē)路線和各個(gè)景點(diǎn)相互位置關(guān)系時(shí)復(fù)習(xí)了方向與路線這一知識(shí)點(diǎn)；接著在不同時(shí)間景區(qū)游玩人數(shù)的比較中，有效地復(fù)習(xí)了萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的讀寫(xiě)法；然后在購(gòu)買(mǎi)旅游食品這一環(huán)節(jié)巧妙的復(fù)習(xí)了四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算方法，以及運(yùn)用混合運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。整節(jié)課學(xué)生興趣盎然，在精心創(chuàng)設(shè)的一日游情境中進(jìn)行綜合的復(fù)習(xí)和運(yùn)用。良好的學(xué)習(xí)情境是數(shù)學(xué)之花生長(zhǎng)的肥沃土壤。
二、積極的探究活動(dòng)------數(shù)學(xué)之花孕育中綻放
《新課標(biāo)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！薄皩W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程。”探究式學(xué)習(xí)為每一層次的學(xué)生提供了選擇的空間，人人都能參與，人人都有收獲。在課堂上我根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際情況，給學(xué)生提供充分的探究活動(dòng)空間，讓學(xué)生在活動(dòng)中探究，探究中體驗(yàn)，體驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)中提高。數(shù)學(xué)之花就在實(shí)踐和創(chuàng)新的過(guò)程中盡情綻放。
在教學(xué)《三角形內(nèi)角和》時(shí)，我先請(qǐng)學(xué)生測(cè)量并標(biāo)出各種不同三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后報(bào)出其中任意兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，請(qǐng)老師猜一猜第三個(gè)角是多少度，老師對(duì)答如流，準(zhǔn)確無(wú)誤。學(xué)生帶著驚奇和疑問(wèn)，走進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和探索中，有的用測(cè)量后再計(jì)算的方法，有的用折紙的方法，有的把三個(gè)角撕下來(lái)，重新拼在一起，還有的用長(zhǎng)方形對(duì)折成兩個(gè)三角形推導(dǎo)等不同的方法探究得出了三角形內(nèi)角和是180°。學(xué)生們很快揭穿了“老師總能猜對(duì)”的秘密。接下來(lái)又是一次具有挑戰(zhàn)性的探究——“根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，你能推導(dǎo)出五邊形、六邊形……一百邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？”在積極的探究活動(dòng)中，孩子們通過(guò)自己的努力，終于發(fā)現(xiàn)了多邊形內(nèi)角和等于180°×(邊數(shù)－2)的規(guī)律。課上有疑問(wèn)、有猜想、有驚訝、有爭(zhēng)議、有沉思、有聯(lián)想……學(xué)生在探究、交流、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程中處處閃現(xiàn)著智慧之花，數(shù)學(xué)之花在攀登數(shù)學(xué)高峰的征程中盡情綻放。
三、適時(shí)的激勵(lì)賞識(shí)------數(shù)學(xué)之花盛開(kāi)的催化劑
德國(guó)教育家第斯多惠曾說(shuō):“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授的本領(lǐng),而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞。”可見(jiàn),激勵(lì)學(xué)生,充分發(fā)揮學(xué)生的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性,營(yíng)造出一種“海闊憑魚(yú)躍,天高任鳥(niǎo)飛”的育人氛圍是非常重要的。一句充滿期待的話語(yǔ)能激活一個(gè)人潛在的巨大的自信。一次成功的體驗(yàn)?zāi)芗ぐl(fā)學(xué)生濃厚地學(xué)習(xí)興趣。我始終堅(jiān)持用激勵(lì)和賞識(shí)去評(píng)價(jià)學(xué)生，我努力地尋找契機(jī)，挖掘他們內(nèi)在的潛能，真誠(chéng)地贊許他們，激發(fā)他們向上的動(dòng)力。“你的思維很獨(dú)特，你能具體說(shuō)說(shuō)自己的想法嗎？”“你發(fā)現(xiàn)了這么重要的方法，老師為你感到驕傲！”“試一試，相信自己，老師知道你能行！”“你是個(gè)求上進(jìn)的孩子，你能夠?qū)W得更好！”……一句真誠(chéng)的鼓勵(lì)，一個(gè)關(guān)注的眼神，一次溫柔地?fù)崦屨n堂變得溫情四溢，充滿生機(jī)和活力。我精心創(chuàng)設(shè)使他們都能獲得成功的機(jī)會(huì)，營(yíng)造一個(gè)享受成功的氛圍，使不同學(xué)生都能品嘗到成功的喜悅和勝利的自豪。不斷的激勵(lì)，不斷的賞識(shí)，不斷地享受成功帶來(lái)的快樂(lè)和自信，培養(yǎng)了孩子們熱愛(ài)數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)的濃厚興趣，而孩子們的不斷投入，使得一朵朵數(shù)學(xué)之花在不斷的賞識(shí)和激勵(lì)中含苞欲放。
二、加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)
如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)呢？我是這樣做的：
（1）重視對(duì)新生入學(xué)的啟蒙教育。從一年級(jí)開(kāi)始不斷對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必要性的教育，使全體學(xué)生都愿意上數(shù)學(xué)課，培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)學(xué)意識(shí)。
（2）充分利用活動(dòng)課，介紹數(shù)學(xué)家、科學(xué)家的事跡，介紹先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)，說(shuō)明數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)中的重要地位，用事實(shí)鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。
（3）重視新教材、新內(nèi)容的引入教學(xué)。數(shù)學(xué)第六冊(cè)第119頁(yè)“面積和面積單位”中寫(xiě)道“看看數(shù)學(xué)課本的封面和鉛筆盒蓋的面，說(shuō)出哪一個(gè)比較大，哪一個(gè)比較小，你會(huì)比嗎？”向?qū)W生說(shuō)明比較大小要用到數(shù)學(xué)，通過(guò)面積的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)。
（4）學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)不可能一樣。對(duì)那些愛(ài)好數(shù)學(xué)的“尖子”，要注重培養(yǎng)他們抗挫折的堅(jiān)韌不拔的毅力，樹(shù)立更遠(yuǎn)大的學(xué)習(xí)目標(biāo)。對(duì)于成績(jī)較差的學(xué)生，要針對(duì)他們各自的情況，對(duì)癥下藥。對(duì)他們的每一點(diǎn)進(jìn)步都要給予特殊的鼓勵(lì)，使他們樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，增長(zhǎng)克服困難的決心，激發(fā)學(xué)生愛(ài)數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，提高他們的數(shù)學(xué)意識(shí)。
三、注重學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)
（1）思維獨(dú)立性的培養(yǎng)。思維的獨(dú)立性是指善于思考的品質(zhì)。具有思維獨(dú)立性的人，遇事總要問(wèn)一個(gè)為什么，總要運(yùn)用自己的大腦去思考問(wèn)題，尋求答案，決不盲從別人。
（2）思維邏輯性的培養(yǎng)。思維邏輯性是指思維的嚴(yán)密程度，它表現(xiàn)在思考問(wèn)題時(shí)遵循邏輯的規(guī)律，提出的問(wèn)題明確而不含糊，推理合乎邏輯規(guī)則，論證問(wèn)題時(shí)條理清楚，有理有據(jù)，具有說(shuō)服力和雄辯力。這是一種比較高級(jí)的思維品質(zhì)，需要從小培養(yǎng)和訓(xùn)練。
解析觀察發(fā)現(xiàn)這里正方形內(nèi)的七巧板有5塊是等腰直角三角形，1塊正方形和1塊銳角為45°的平行四邊形。利用數(shù)字標(biāo)出組成正方形和小貓的七巧板之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖2所示，∠AOB內(nèi)部的兩塊是等腰直角三角形，則∠AOB=90°.
例2(湖北荊門(mén)市)用四個(gè)全等的矩形和一個(gè)小正方形拼成如圖3所示的大正方形，已知大正方形的面積是144，小正方形的面積是4,若用x，y表示矩形的長(zhǎng)和寬(x＞y)，則下列關(guān)系式中不正確的是()
(A)x+y=12．(B)x－y=2．(C)xy=35．(D)x＋y=144．
解析觀察拼圖3可發(fā)現(xiàn):大正方形的邊長(zhǎng)是矩形的長(zhǎng)和寬之和；小正方形的邊長(zhǎng)是矩形的長(zhǎng)和寬之差.由大正方形的面積是144可知其邊長(zhǎng)是12,即x+y=12①；由小正方形的邊長(zhǎng)是4可知其邊長(zhǎng)是2,即x-y=2②,因此選項(xiàng)A和B的關(guān)系式均正確.解①、②得x=7,y=5.因此：xy=35,x＋y=74.所以答案為選擇D.
點(diǎn)評(píng)例1、例2的拼圖試題在教材中是具有相應(yīng)原型的，這里改編成中考試題可謂老樹(shù)發(fā)新枝。事實(shí)上學(xué)生若能認(rèn)真觀察圖形的本身特點(diǎn)進(jìn)而找到相應(yīng)數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確解答并不是件難事。
2與多邊形、圓相結(jié)合,注重考察學(xué)生對(duì)幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用.
例3(陜西省)如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系是．
解析此題中所求三個(gè)正方形的面積S1、S2、S3之間的關(guān)系實(shí)質(zhì)是求梯形ABCD的兩個(gè)腰長(zhǎng)及上底邊邊長(zhǎng)
三者的平方關(guān)系.可利用梯形的高來(lái)建立橋梁
作用.如圖5，分別過(guò)點(diǎn)
A、B做AEDC,BFDC,
垂足分別為E、F.設(shè)
梯形ABCD的高為h,
AB=a,DE=x,則DC=2a,FC=a-x.由于∠ADC+∠BCD=90°，可證得AED∽CFB，有h2=ax-x.S1=AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+(a－x)2=a2－ax.因此:S1+S3=S2.
例4(江蘇南通市)在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組要制作一個(gè)圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設(shè)計(jì)了如圖6所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計(jì)了如圖7所示的方案二．（兩個(gè)方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）
（1）請(qǐng)說(shuō)明方案一不可行的理由；
（2）判斷方案二是否可行？若可行，請(qǐng)確定圓錐的母線長(zhǎng)及其底面圓半徑；若不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解析(1)因?yàn)樯刃蜛BC的弧長(zhǎng)＝×16×2π＝8π，因此圓的半徑應(yīng)為4cm．由于所給正方形紙片的對(duì)角線長(zhǎng)為cm，而制作這樣的圓錐實(shí)際需要正方形紙片的對(duì)角線長(zhǎng)為cm，由于，所以方案一不可行．
(2)設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為R，則①,②,由①②，可解得，．故所求圓錐的母線長(zhǎng)為cm，底面圓的半徑為cm．
點(diǎn)評(píng)將正方形與多邊形、圓結(jié)合是中考中出現(xiàn)頻率較高的題目。此類題目涉及知識(shí)點(diǎn)較多，跨度較大，需要學(xué)生具有較為扎實(shí)的基本功，具有綜合運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。
3與“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”相結(jié)合,注重考察學(xué)生對(duì)不變因素的探究能力.
例5(湖北武漢市)正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PFCD于點(diǎn)F。如圖8，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF＝CF．
(1)如圖9，若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PEPB且PE交CD于點(diǎn)E.
①求證：DF＝EF；
②寫(xiě)出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)若點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），PEPB且PE交直線CD于點(diǎn)E。請(qǐng)完成圖10并判斷(1)中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論（所寫(xiě)結(jié)論均不必證明）
解析(1)①如圖11過(guò)點(diǎn)P做PHBC,垂足為點(diǎn)H,連接PD.此時(shí)四邊形PFCH為正方形.容易證出APB≌APD,推得∠BPC=∠DPC，進(jìn)一步可得∠BPH=∠DPF；由∠BPH+∠HPE=90°,∠EPF+∠HPE=90°，得∠BPH=∠EPF.因?yàn)镻EDC,可證得DF=FE.
②由EF+CE=PC得:DF=EF=PC－EC.因?yàn)镻F∥AD,有,將DF=PC－EC代入得:PC=PA+CE.
(2)連接PB、PD,做PFDC,PHBC,垂足分別為F、H,在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使得PEPB.此時(shí)有結(jié)論①DF=EF成立.而結(jié)論②不成立,PC、PA、EC存在PA=PC+EC關(guān)系.證明與②類似,略.
點(diǎn)評(píng)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考熱點(diǎn)問(wèn)題之一，它要求學(xué)生善于抓住運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律性和不變因素，把握運(yùn)動(dòng)與靜止的辨證關(guān)系.例5中,無(wú)論動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上如何運(yùn)動(dòng),∠BPE是直角以及四邊形PFCH為正方形是不變的.
4與對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合,注重考察學(xué)生變換的數(shù)學(xué)思想.
例6（重慶市）如圖13，在正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合.展開(kāi)后，折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G，.連接GF.下列結(jié)論：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③SAGD=SOGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.
解析由題意可知AED和FED關(guān)于ED所在的直線對(duì)稱,有AE=EF,AG=GF,∠ADE=∠FDE=∠ADB=22.5°.則∠AGD=180°－∠ADE－∠DAG=112.5°.由于易求得∠AGE=∠AEG=67.5°,則AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四邊形AEFG是菱形.設(shè)AE=k,容易證得EFB和OGF均是等腰直角三角形，則EB=k,OG=k.因此EB=2OG.所以正確的結(jié)論是①、④、⑤，其余結(jié)論顯然不成立。
例7（黑龍江齊齊哈爾市）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB,DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M,N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)（如圖14），易證BM+DN=MN．
（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖15），線段BM,ND和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明．
（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖16的位置時(shí)，線段BM,ND和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．
解析(1)如圖17，把AND繞點(diǎn)A順時(shí)針90°，得到ABE，則有DN=BE,∠EAM=∠MAN=45°.進(jìn)而可證得：AEM≌AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.
(2)線段BM,ND和MN之間存在MN=DN－MB.
點(diǎn)評(píng)平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是初中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對(duì)應(yīng)的邊、角均相等.巧妙的運(yùn)用變換的基本性質(zhì)或構(gòu)造變換圖形，均可以使題目的解答簡(jiǎn)易而順暢.
5與函數(shù)圖象相結(jié)合,注重考察學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.
例8（湖南長(zhǎng)沙市）在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）從M（1，0）出發(fā)，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四點(diǎn)組成的正方形邊線（如圖18）按一定方向運(yùn)動(dòng)。圖19是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s（個(gè)單位）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間（秒）之間的函數(shù)圖象，圖20是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s之間的函數(shù)圖象的一部分.
（1）s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：；
（2）與圖20相對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是：；P點(diǎn)出發(fā)秒首次到達(dá)點(diǎn)B；
（3）寫(xiě)出當(dāng)3≤s≤8時(shí)，y與s之間的函數(shù)關(guān)系式，并在圖16中補(bǔ)全函數(shù)圖象.
解析（1）圖19是正比例函數(shù)圖象，易求得s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=(t≥0)
（2）從圖20的函數(shù)圖象可以看出，動(dòng)點(diǎn)P的縱y在運(yùn)動(dòng)時(shí)隨時(shí)間t的增大開(kāi)始時(shí)逐漸增大，而后又不變，最后又減小至0，說(shuō)明P點(diǎn)在正方形的運(yùn)動(dòng)路徑是：MDAN.由圖18、19可知，P點(diǎn)從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的路程為5，速度為0.5，所以首次到達(dá)點(diǎn)B需要時(shí)間為10秒.
(3)結(jié)合圖18和圖20，分析可得，第1秒之前，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)D處運(yùn)動(dòng)；第1至3秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D向點(diǎn)A處運(yùn)動(dòng)；第3至5秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B處運(yùn)動(dòng)；第5至7秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C處運(yùn)動(dòng)；第7至8秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C向點(diǎn)M處運(yùn)動(dòng).時(shí)間段不同，函數(shù)關(guān)系不同，因此列分段函數(shù)為：當(dāng)3≤s＜5，y=4－s；當(dāng)5≤s＜7，y=－1；當(dāng)7≤s≤8，y=s－8．補(bǔ)全的函數(shù)圖象如圖21.
點(diǎn)評(píng)函數(shù)圖象問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn)，在中考試卷中也往往作為具有一定區(qū)分度的題目出現(xiàn)。例8是一個(gè)分段函數(shù)問(wèn)題，其關(guān)鍵是依據(jù)函數(shù)圖象弄清楚點(diǎn)P在正方形ABCD上的哪一段運(yùn)動(dòng),坐標(biāo)與時(shí)間、路程如何變化.
6與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合,注重考察學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力.
例9（湖北荊門(mén)市）某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖21所示）是邊長(zhǎng)為0.4米的正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖22所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．
(1)判斷圖22中四邊形EFGH是何形狀，并說(shuō)明理由；
(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最省？
一、數(shù)學(xué)知識(shí)研究
傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識(shí)。班級(jí)授課制成熟后，人們開(kāi)始同意這樣一個(gè)原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識(shí)。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)、概念、命題、法則等知識(shí)是不夠的?！酥?，教師還要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個(gè)方式是句法性地(syntactically)，另一個(gè)方式是實(shí)體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來(lái)的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無(wú)理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個(gè)論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對(duì)這三個(gè)概念含義的理解，只能通過(guò)產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實(shí)體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計(jì)角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識(shí)稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。它是指知識(shí)從哪里來(lái)，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。
主要有三個(gè)維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進(jìn)位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒(méi)有定義或者任意一個(gè)數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問(wèn)的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動(dòng)：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實(shí)解法和尋求一般化。
對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究，拓寬了人們對(duì)教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是很復(fù)雜的，除了術(shù)語(yǔ)、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。這些知識(shí)對(duì)于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會(huì)產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會(huì)有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來(lái)的，為什么要定義這個(gè)概念，怎樣定義，它會(huì)有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒(méi)有這些必要。但是，有效地?cái)?shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識(shí)還不夠。它缺少對(duì)學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過(guò)推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對(duì)有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過(guò)度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識(shí)與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識(shí)的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性要求更精致的框架來(lái)描述。
二、教材分析研究
有效的教學(xué)必須考慮學(xué)生已有的知識(shí)和知識(shí)呈現(xiàn)的最佳序列。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，馬力平的知識(shí)包(Knowledgepackage)是國(guó)際上較為典型的此類研究。知識(shí)包是圍繞著一個(gè)中心概念而組織起來(lái)的一系列相關(guān)概念，是在學(xué)生的頭腦里培育這樣一個(gè)領(lǐng)域的縱向過(guò)程。(n知識(shí)包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結(jié)點(diǎn)，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內(nèi)數(shù)的加減法的知識(shí)包(圖1)。在這個(gè)知識(shí)包內(nèi)，中心概念是20至100數(shù)的“借位減法”，它是學(xué)習(xí)多位數(shù)的加減的關(guān)鍵前提。
馬力平的知識(shí)包實(shí)際上是我國(guó)內(nèi)地傳統(tǒng)的教材分析研究。這類研究結(jié)果是教學(xué)參考書(shū)的主要內(nèi)容之一。它是一種課程知識(shí)，是教師對(duì)課程的分析，比對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的分析更接近教學(xué)用的數(shù)學(xué)。但它也不是教師教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)。它最多是教師對(duì)教學(xué)的考慮，沒(méi)有考慮師生互動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)需求。教師在教學(xué)時(shí)，能夠動(dòng)員起來(lái)的知識(shí)不一定符合教學(xué)情境的需要。比如教師預(yù)期的一種學(xué)生的反應(yīng)在與學(xué)生的互動(dòng)中沒(méi)有出現(xiàn)，教師以學(xué)生的這種反應(yīng)為跳板的后繼知識(shí)就沒(méi)有了用武之地。馬力平概括出的知識(shí)包，與教師在課堂教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)還有一段距離，教師在教學(xué)時(shí)可能用得上，也可能用不上。教師在教學(xué)時(shí)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教材分析所能提供的內(nèi)容。
三、教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究
Ball開(kāi)創(chuàng)了教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究。她通過(guò)分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識(shí)及其影響。下面以Ball的一個(gè)課例來(lái)說(shuō)明其研究方法與結(jié)果。該課內(nèi)容是三年級(jí)多位數(shù)減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問(wèn)Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學(xué)生在解題過(guò)程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數(shù)l7開(kāi)始向后數(shù)數(shù)，一直數(shù)到32得到答案。ba認(rèn)為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對(duì)，數(shù)一下表示32的教具中剩余的沒(méi)有配對(duì)的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數(shù)一下剩余的就行了。Cassandia提供了標(biāo)準(zhǔn)的減法算法，Scan受到啟發(fā)，提供了另一種解法：16+16=32，整節(jié)課，學(xué)生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認(rèn)為，這節(jié)課教學(xué)的核心活動(dòng)是處理數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和控制課堂討論。知識(shí)的關(guān)聯(lián)涉及到在具體和符號(hào)的模式中，減法和加法是如何關(guān)聯(lián)的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關(guān)聯(lián)的、教具的表征如何轉(zhuǎn)化為符號(hào)表征、Betsy的配對(duì)比較法如何轉(zhuǎn)化為Sean的向后數(shù)數(shù)的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協(xié)調(diào)，控制課堂討論首先表現(xiàn)在提供線索和解釋，推動(dòng)正確的方法的發(fā)展；其次表現(xiàn)在擱置有問(wèn)題的方法。比如擱置Riba的說(shuō)法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學(xué)生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來(lái)證明Sean的結(jié)論超過(guò)了三年級(jí)學(xué)生的理解能力。
Ball對(duì)這節(jié)課教師需要使用的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了歸納。除了傳統(tǒng)的教材分析提供的借位減法的符號(hào)算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識(shí)。首先需要知道問(wèn)題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數(shù)的加法16+?=32)是等價(jià)的。其次，還要知道此問(wèn)題的一些表征：比如像Sean的從17數(shù)到32，或者M(jìn)ei的從32里拿走l6個(gè)等等。第三，教師還需要具有深刻的數(shù)學(xué)眼光去審查、分析和協(xié)調(diào)學(xué)生的多種解法。最后，教師還需要一些關(guān)于數(shù)學(xué)論證的知識(shí)。通過(guò)上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分，其余大部分只能在分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)中才能得到。
四、啟示
1．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是有效教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)。它與數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識(shí)、教材分析得出的數(shù)學(xué)知識(shí)是不一樣的。它具有一種教學(xué)上有用的數(shù)學(xué)理解，這種理解主要集中于學(xué)生的觀念和誤解上。學(xué)生對(duì)特定內(nèi)容的理解是有差異的，教師需要調(diào)和學(xué)生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生把知識(shí)進(jìn)一步組織，促進(jìn)學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上有效學(xué)習(xí)。
2．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)知識(shí)，它聯(lián)系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學(xué)三年級(jí)的兩位數(shù)退位減法，但是，通過(guò)對(duì)課堂教學(xué)核心數(shù)學(xué)活動(dòng)的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數(shù)學(xué)的等價(jià)、同構(gòu)、相似性和表征之間的轉(zhuǎn)化等概念。從結(jié)構(gòu)上說(shuō)，前五種解法是同構(gòu)的，前五種解法和最后一種缺失加數(shù)的加法是等價(jià)的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上理清這些解法的關(guān)系，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生在不同的方法之間轉(zhuǎn)換并分清這些方法的異同，促進(jìn)學(xué)生高效地組織自己的數(shù)學(xué)知識(shí)。香港的“課堂學(xué)習(xí)研究”也證實(shí)，數(shù)學(xué)專家參與的教研活動(dòng)，能提升課堂教學(xué)的有效性。
指導(dǎo)教師：XXX
學(xué)生：XXX
一、研究意義:從提高職校數(shù)學(xué)教學(xué)的角度出發(fā)，使數(shù)學(xué)教學(xué)更好地服務(wù)職校職業(yè)化、專業(yè)化人才的培養(yǎng)目標(biāo)，
二、文獻(xiàn)綜述
情感教學(xué)是指教師在教學(xué)過(guò)程中，在充分考慮認(rèn)知因素的同時(shí)，充分發(fā)揮情感因素的積極作用，以完善教學(xué)目標(biāo)、增強(qiáng)教學(xué)效果的教學(xué)。
三、研究的主要內(nèi)容，重點(diǎn)和難點(diǎn)
本研究的目標(biāo):本次論文詳細(xì)闡述發(fā)揮教師情感作用，讓數(shù)學(xué)教學(xué)與情感教學(xué)相結(jié)合，成為一種新型教學(xué)策略。該策略在職校教學(xué)中的重要性與可行性將是本論文講敘的重頭戲。
本研究的主要內(nèi)容:中職數(shù)學(xué)情感教學(xué)策略益處分析
中職數(shù)學(xué)情感教學(xué)策略有助于高效地利用有限的課堂教學(xué)時(shí)間，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。提升學(xué)生的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且還可以間接激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)自己所學(xué)的專業(yè)。打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
（1）中職數(shù)學(xué)情感教學(xué)策略價(jià)值所在
由于職中生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)多數(shù)較差，學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力不足，因此在職校數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)揮教師的情感作用就顯得非常有價(jià)值。
（2）不實(shí)行中職數(shù)學(xué)情感教學(xué)策略弊端。
其一在于沒(méi)有情感教學(xué)，數(shù)學(xué)的本身具有枯燥性、乏味性，這使得學(xué)生聽(tīng)聽(tīng)不喜歡聽(tīng)了，新舊知識(shí)的連接不好，學(xué)生不懂新的知識(shí)，就不樂(lè)于、不易于接受新知識(shí)信息。相當(dāng)于喪失了學(xué)習(xí)內(nèi)部的驅(qū)動(dòng)力，表現(xiàn)為學(xué)習(xí)消極、缺乏信心，雖經(jīng)補(bǔ)課，不僅沒(méi)能達(dá)到預(yù)期的效果，反而加劇了失敗心態(tài)的發(fā)展，致使教師束手無(wú)策。在情感教學(xué)中，實(shí)施尊重學(xué)生、信任學(xué)生，尊重和信任是溝通師生情感的橋梁。尤其是差生，對(duì)教師的教學(xué)要求，往往取決于師生間有無(wú)相互尊重和信賴的情感。學(xué)生的自尊心和自信心又是建立教學(xué)情感的重要因素。
二、、中職數(shù)學(xué)情感教學(xué)策略的實(shí)施
（1）教學(xué)應(yīng)對(duì)學(xué)生的情感和態(tài)度的培養(yǎng)給予特別關(guān)注.首先探討了情感與態(tài)度對(duì)教學(xué)學(xué)習(xí)的意義,進(jìn)而從教師的積極作用,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng),數(shù)學(xué)研究的價(jià)值和必備的品質(zhì)以及數(shù)學(xué)與科學(xué)精神、世界觀的形成五個(gè)方面具體闡述數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生情感與態(tài)度的培養(yǎng)途徑
（2）數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要有感情地教，學(xué)生才會(huì)有感情地學(xué)。教師可以借助生活體驗(yàn)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情景，通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情景；教師可揭示數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在美，發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感；通過(guò)增強(qiáng)數(shù)學(xué)探究意識(shí)，深化學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感。教師應(yīng)用風(fēng)趣、幽默、富有情趣的言語(yǔ)講解相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)提示數(shù)學(xué)知識(shí)背后隱藏著的人物軼事，將數(shù)學(xué)知識(shí)與人有血有肉、有情有感的創(chuàng)造性活動(dòng)聯(lián)系起來(lái)，會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生親切感。
（3）中職數(shù)學(xué)情感教學(xué)策略的實(shí)施，盡量讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，多獲取成功的喜悅，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)過(guò)程中的自信心，要有利于他們對(duì)知識(shí)的消化，理解和運(yùn)用，一切都要易而漸難，由淺入深，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)始終處于可望、可及、有收獲、想進(jìn)取的積極學(xué)習(xí)狀態(tài)
本研究的重點(diǎn)、難點(diǎn):中職數(shù)學(xué)情感教學(xué)策略的實(shí)施
論文的框架結(jié)構(gòu):
提出研究中職數(shù)學(xué)情感教學(xué)策略意義，查閱文獻(xiàn)，分析前人研究成果和方法，提出中職數(shù)學(xué)情感教學(xué)構(gòu)思通過(guò)舉例研究方法進(jìn)行研究統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù)，得出中職數(shù)學(xué)情感教學(xué)的益處分析及實(shí)施方案。
研究進(jìn)度或計(jì)劃
1、4周研究國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究綜述、存在的不足。查閱大量文獻(xiàn)資料
2、2周明確本研究命題的初步框架結(jié)構(gòu)，
數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本要素，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心。數(shù)學(xué)定理、公式和方法都是反映數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)概念間的關(guān)系，只有具有正確明晰的概念，才能牢固的掌握基礎(chǔ)知識(shí)。同時(shí)，在深入理解數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中使得學(xué)生的抽象思維得到發(fā)展。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生學(xué)習(xí)概念有一個(gè)準(zhǔn)備過(guò)程，這個(gè)過(guò)程就稱為“概念的引入”。
一、從與概念有關(guān)的趣事引入
興趣可以喚起某種動(dòng)機(jī)，興趣可以培養(yǎng)人的意志，改變?nèi)说膽B(tài)度，引導(dǎo)學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。因此我們?cè)趥湔n時(shí)要充分挖掘知識(shí)的趣味因素，找一些有關(guān)本節(jié)概念的，易于理解的趣題作引例，牢牢抓住學(xué)生注意力，調(diào)動(dòng)其積極思維，使學(xué)生既對(duì)概念感興趣，又大致了解這個(gè)概念的知識(shí)用途。
舉例說(shuō)明：介紹“點(diǎn)的軌跡”。老師事先準(zhǔn)備好一段麻繩和一個(gè)彩色小球，將彩球綁在麻繩的一端。教師從一進(jìn)教室可以邊走邊演示——彩色小球不停地旋轉(zhuǎn)。這樣一來(lái)，學(xué)生注意力一下子被吸引，并且表現(xiàn)出極大興趣。老師在講桌前站定后，便立即停止演示，隨后要求學(xué)生解釋剛才的現(xiàn)象。學(xué)生的思維被調(diào)動(dòng)起來(lái)。在對(duì)學(xué)生的解釋作出評(píng)價(jià)后，引出課題“點(diǎn)的軌道”然后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活中常見(jiàn)的“點(diǎn)的軌道”現(xiàn)象給下定義。這樣，一個(gè)抽象的概念就在有趣的實(shí)驗(yàn)中得到充分的展示，學(xué)生對(duì)于點(diǎn)的軌跡也有了形象的理解。從實(shí)物引入概念，反映了概念的物質(zhì)性、現(xiàn)實(shí)性，符合認(rèn)識(shí)規(guī)律，給學(xué)生留下的印象比較深刻持久。
二、問(wèn)題引入
波利亞說(shuō)過(guò)：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟。先提出一個(gè)典型問(wèn)題，讓學(xué)生動(dòng)腦思考，在問(wèn)題的解決中引入概念，使得學(xué)生對(duì)概念的理解更加深入。
舉例說(shuō)明：按比例分配的概念。在學(xué)習(xí)按比例分配時(shí)，老師可以提出這樣的問(wèn)題：“同學(xué)們，今天老師帶了12個(gè)乒乓球作為禮物送給3個(gè)同學(xué)，應(yīng)該如何分配？”“平均分?！薄凹偃绨堰@12個(gè)乒乓球作為獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)給在運(yùn)動(dòng)會(huì)中獲得一二三等獎(jiǎng)的同學(xué)，又該如何分配呢？”在學(xué)生積極思考后，老師可以說(shuō)：“其實(shí)，在我們的日常生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)等各項(xiàng)工作中，都會(huì)遇到很多不能平均分配的問(wèn)題。例如，我們喝的酸奶中的水、牛奶、糖的成分會(huì)一樣多嗎？”由此就可以引出按照比例分配的概念，這樣使得學(xué)生在思考的過(guò)程中加深對(duì)概念的理解！
三、舊知引入
中國(guó)古典小說(shuō)，在每章節(jié)末說(shuō)，“要知后事如何？且聽(tīng)下回分解”。在每回開(kāi)頭“上回講到------且說(shuō)-------?！倍潭痰膸拙湓?，承先啟后，銜接自然，使人看了上章想看下章，恨不得一口氣把這本書(shū)讀完。這種古老的說(shuō)書(shū)技巧，也可以用來(lái)引入概念，使新舊概念自然街按，連為一體。
舉例說(shuō)明：幾何概念的貫穿。在學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)，按照一條線----二條線（平行與垂直）------三條線（三角形）-----四條線（四邊形）-----多于四條線（多邊形）-----圓這樣的結(jié)構(gòu)，且用數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系作支柱，隨著知識(shí)的增加，新知識(shí)不斷納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。比如還可以在已經(jīng)學(xué)習(xí)了“平行四邊形”的概念的基礎(chǔ)上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”等等。利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以定義的方式給出，讓學(xué)生主動(dòng)地與自己的頭腦中原有的知識(shí)相互聯(lián)系、相互作用，理解它的意義，從而獲得新概念。
四、聯(lián)系實(shí)際引入
新課程標(biāo)準(zhǔn)要求：“數(shù)學(xué)教育應(yīng)努力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，將數(shù)學(xué)與學(xué)生生活、學(xué)習(xí)聯(lián)系起來(lái)，學(xué)習(xí)有活力的、活生生的數(shù)學(xué)”。那么，用生活中的實(shí)際例子來(lái)引入數(shù)學(xué)概念，聯(lián)系生活實(shí)際講數(shù)學(xué)，把生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化，把數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化，更有利于學(xué)生掌握和理解概念。
舉例說(shuō)明：比例的意義與性質(zhì)。老師說(shuō)：“同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了比，在我們?nèi)梭w上有許多有趣的比。例如：拳頭滾動(dòng)一周的長(zhǎng)度與腳的長(zhǎng)度的比是1：1，身高和胸圍長(zhǎng)度比大約是2：1。這些有趣的比作用非常大，比如你到商店去買(mǎi)襪子，只要將襪底在你的拳頭上繞一周，就會(huì)知道這雙襪子是否適合你穿。而這些奧秘是用比例知識(shí)來(lái)計(jì)算的，今天我們就來(lái)研究比例的意義和性質(zhì)?！崩蠋熯x取一些生動(dòng)形象的實(shí)際例子來(lái)引入數(shù)學(xué)概念，既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，又符合學(xué)生由感性到理性的認(rèn)識(shí)規(guī)律。
五、通過(guò)類比引入
根據(jù)新舊知識(shí)的連結(jié)點(diǎn)、相似點(diǎn)，采用類比的方法引入概念。數(shù)學(xué)有著嚴(yán)密的科學(xué)體系，數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性很強(qiáng)，多數(shù)概念都產(chǎn)生于或者發(fā)展與相應(yīng)的原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，所以用類比引入新概念有利于學(xué)生在思維中將一定的知識(shí)和技能從已知的對(duì)象遷移到未知的對(duì)象上去，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)能力。
舉例說(shuō)明：（1）類比“方程”和“不等式”：方程：含有未知數(shù)的等式；不等式：表示兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式不相等的算式。（2）類比“分?jǐn)?shù)”和“分式”：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。分母表示把一個(gè)物體平均分成幾份,分子表示取了其中的幾份；分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么稱為分式。這種方法導(dǎo)入自然，使學(xué)生能從類推中促進(jìn)知識(shí)的遷移，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，從而掌握新知識(shí)。
參考文獻(xiàn)
由于學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的影響，這些權(quán)威性的論斷和流行的看法，竟被認(rèn)為是正確的!但是一般人忽視數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)仍然是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧。這些技巧只不過(guò)是它微不足道的方標(biāo)題是本文譯者加的，副標(biāo)題為原標(biāo)題面：它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫(huà)一樣。
技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。如果我們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一定的了解，就會(huì)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在形成現(xiàn)代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。
因此，讓我們看一看20世紀(jì)人們對(duì)這門(mén)學(xué)科的態(tài)度。首先，數(shù)學(xué)主要是一種尋求眾所周知的公理法思想的。這種方法包括明確地表述出將要討論的概念的定義，以及準(zhǔn)確地表述出作為推理基礎(chǔ)的公設(shè)。具有極其嚴(yán)密的邏輯思維能力的人從這些定義和公設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出結(jié)論。數(shù)學(xué)的這一特征由17世紀(jì)一位著名的作家在論及數(shù)學(xué)和科學(xué)時(shí)，以某種不同的方式表述過(guò)：“數(shù)學(xué)家們像戀人?！姓J(rèn)一位數(shù)學(xué)家的最初的原理，那么他由此將會(huì)推導(dǎo)出你也必須承認(rèn)的另一結(jié)論，從這一結(jié)論又推導(dǎo)出其他的結(jié)論?！?/p>
僅僅把數(shù)學(xué)看作一種探求的方法，就如同把達(dá)?芬奇“最后的晚餐”看作是畫(huà)布上顏料的組合一樣。數(shù)學(xué)也是一門(mén)需要?jiǎng)?chuàng)造性的學(xué)科。在預(yù)測(cè)能被證明的時(shí)，和構(gòu)思證明的方法時(shí)一樣，數(shù)學(xué)家們利用高度的直覺(jué)和想象。例如，牛頓和開(kāi)普勒就是極富于想象力的人，這使得他們不僅打破了長(zhǎng)期以來(lái)僵化的傳統(tǒng)，而且建立了新的、革命性的概念。在數(shù)學(xué)中，人的創(chuàng)造能力運(yùn)用的范圍，只有通過(guò)檢驗(yàn)這些創(chuàng)造本身才能決定。有些創(chuàng)造性成果將在后面討論，但這里只需說(shuō)一下現(xiàn)在這門(mén)學(xué)科已有八十多個(gè)廣泛的分支就夠了。
如果數(shù)學(xué)的確是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，那么驅(qū)使人們?nèi)プ非笏膭?dòng)力是什么呢?數(shù)學(xué)最明顯的、盡管不一定是最重要的動(dòng)力是為了解決因需要而直接提出的。商業(yè)和金融事務(wù)、航海、歷法的、橋梁、水壩、教堂和宮殿的建造、作戰(zhàn)武器和工事的設(shè)計(jì)，以及許多其他的人類需要，數(shù)學(xué)能對(duì)這些問(wèn)題給出最完滿的解決。在我們這個(gè)工程，數(shù)學(xué)被當(dāng)作普遍工具這一事實(shí)更是毋庸置疑。數(shù)學(xué)的另外一個(gè)基本作用(的確，這一點(diǎn)在現(xiàn)代特別突出)，那就是提供現(xiàn)象的合理結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的概念、方法和結(jié)論是物的基礎(chǔ)。這些學(xué)科的成就大小取決于它們與數(shù)學(xué)結(jié)合的程度。數(shù)學(xué)已經(jīng)給互不關(guān)聯(lián)的事實(shí)的干枯骨架注入了生命，使其成了有聯(lián)系的有機(jī)體，并且還將一系列彼此脫節(jié)的觀察研究納入科學(xué)的實(shí)體之中。
智力方面的好奇心和對(duì)純思維的強(qiáng)烈興趣，激勵(lì)許多數(shù)學(xué)家研究數(shù)的性質(zhì)和幾何圖形，并且取得了富有創(chuàng)造性的成果。今天很受重視的概率論，就開(kāi)始于牌賭中的一個(gè)問(wèn)題——一場(chǎng)賭博在結(jié)束之前就被迫中止了，那么賭注如何分配才合理?另外一個(gè)與社會(huì)需要或科學(xué)沒(méi)有什么聯(lián)系的最突出的成就，就是由古代希臘人創(chuàng)造出來(lái)的，他們把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變成了抽象的、演繹的和公理化的思想系統(tǒng)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)科中一些最偉大的成就——射影幾何、數(shù)論、超窮數(shù)和非歐幾何，這里我只提到我們將要討論的內(nèi)容——都是為了解決純智力的挑戰(zhàn)。
進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最主要的趨策力是對(duì)美的追求。羅素，這位抽象數(shù)學(xué)思想的大師曾直言不諱地說(shuō)：數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具有……至高無(wú)上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒(méi)有繪畫(huà)或的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的才能顯示的那種完美的境地。一種真實(shí)的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺(jué)得高于人的意識(shí)——這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩(shī)里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里得到。
除了完善的結(jié)構(gòu)美以外，在證明和得出結(jié)論的過(guò)程中，運(yùn)用必不可少的想象和直覺(jué)也給創(chuàng)造者提供了高度的美學(xué)上的滿足。如果美的組成和藝術(shù)作品的特征包括洞察力和想象力，對(duì)稱性和比例、簡(jiǎn)潔，以及精確地適應(yīng)達(dá)到目的的手段，那么數(shù)學(xué)就是一門(mén)具有其特有完美性的藝術(shù)。
盡管已清楚地表明，上述所有因素推動(dòng)了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和，但是依然存在許多錯(cuò)誤的觀點(diǎn)。有這樣的指責(zé)(經(jīng)常是用來(lái)為對(duì)這門(mén)學(xué)科的忽視作辯解的)，認(rèn)為數(shù)學(xué)家們喜歡沉湎于毫無(wú)意義的臆測(cè);或者認(rèn)為數(shù)學(xué)家們是笨拙和毫無(wú)用處的夢(mèng)想家。對(duì)這種指責(zé)，我們可以立刻作出使其無(wú)言以對(duì)的駁斥。事實(shí)證明，即使是純粹抽象的，更不用說(shuō)由于和工程的需要而進(jìn)行的研究了，也是有極大用處的。圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)自被發(fā)現(xiàn)二干多年來(lái)，曾被認(rèn)為不過(guò)是“富于思辨頭腦中的無(wú)利可圖的娛樂(lè)”，可是最終它卻在天文學(xué)、仿射運(yùn)動(dòng)和萬(wàn)有引力定律中發(fā)揮了作用。
另一方面，一些“具有頭腦”的作家斷言：數(shù)學(xué)完全或者主要是由于實(shí)際需要，如需要建筑橋梁、制造雷達(dá)和飛機(jī)而產(chǎn)生或發(fā)展的。這種斷言也是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)已經(jīng)使這些對(duì)人類方便有用的東西成為可能，但是偉大的數(shù)學(xué)家在進(jìn)行思考和研究時(shí)卻很少把這些放在心上。有些人對(duì)實(shí)際漠不關(guān)心，這可能是因?yàn)樗麄兂晒膽?yīng)用在幾百年后才實(shí)現(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖的唯心主義數(shù)學(xué)玄想，比起貨棧職員采用“+”號(hào)和“一”號(hào)的實(shí)際行動(dòng)來(lái)(這曾使某一作家深信“數(shù)學(xué)史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)乃是由日常的社會(huì)活動(dòng)所致”)，所作的貢獻(xiàn)要大得多。確實(shí)，幾乎每一個(gè)偉大的人物所考慮的都是他那個(gè)的，流行的觀點(diǎn)會(huì)制約和限制他的思想。如果牛頓早生二百年，他很有可能會(huì)成為一位出色的神學(xué)家。偉大的思想家追求時(shí)代智力風(fēng)尚，就如同婦女在服飾上趕時(shí)髦一樣。即使是把數(shù)學(xué)作為純粹業(yè)余愛(ài)好的富有創(chuàng)造性的天才，也會(huì)去研究令專業(yè)數(shù)學(xué)家和科學(xué)家感到十分激動(dòng)的問(wèn)題。但是，那些“業(yè)余愛(ài)好者”和數(shù)學(xué)家們一般并不十分關(guān)心他們工作的實(shí)用價(jià)值。
實(shí)用的、科學(xué)的、美學(xué)的和的因素，共同促進(jìn)了數(shù)學(xué)的形成。把這些做出貢獻(xiàn)、產(chǎn)生的因素中的任何一個(gè)除去，或者抬高一個(gè)而去貶低另外一個(gè)都是不可能的，甚至不能斷定這些因素中誰(shuí)具有相對(duì)的重要性。一方面，對(duì)美學(xué)和哲學(xué)因素作出反應(yīng)的純粹思維，決定性地塑造了數(shù)學(xué)的特征，并且作出了像歐氏幾何和非歐幾何這樣不可超越的貢獻(xiàn)。另一方面，數(shù)學(xué)家們登上純思維的頂峰不是靠他們自己一步步攀登，而是借助于社會(huì)力量的推動(dòng)。如果這些力量不能為數(shù)學(xué)家們注入活力，那么他們就立刻會(huì)身疲力竭;然后他們就僅僅只能維持這門(mén)學(xué)科處于孤立的境地。雖然在短時(shí)期內(nèi)還有可能光芒四射，但所有這些成就會(huì)是曇花一現(xiàn)。
數(shù)學(xué)的另一個(gè)重要特征是它的符號(hào)語(yǔ)言。如同音樂(lè)利用符號(hào)來(lái)代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和空間形式。與日常講話用的語(yǔ)言不同，日常語(yǔ)言是習(xí)俗的產(chǎn)物，也是社會(huì)和運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)語(yǔ)言則是慎重地、有意地而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的、憑借數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)密性和簡(jiǎn)潔性，數(shù)學(xué)家們就可以表達(dá)和研究數(shù)學(xué)思想，這些思想如果用普通語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，就會(huì)顯得冗長(zhǎng)不堪。這種簡(jiǎn)潔性有助于思維的效率。J．K．杰羅姆(J．K．Jerome)，為了需要求諸于代數(shù)符號(hào)，在下面一段描寫(xiě)中，盡管與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，卻清楚地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性和明了性：
當(dāng)一個(gè)12世紀(jì)的青年墮入情網(wǎng)時(shí)，他不會(huì)后退三步，看著他心愛(ài)的姑娘的眼睛，對(duì)他說(shuō)她是世界上最漂亮的人兒。他說(shuō)他要冷靜下來(lái)，仔細(xì)考慮這件事。如果他在外面碰上一個(gè)人，并且打破了他的腦袋——我指另外一個(gè)人的腦袋——于是那就證明了他的——前面那個(gè)小伙子——姑娘是個(gè)漂亮姑娘。如果是另外一個(gè)小伙子打破了他的腦袋——不是他自己的，你知道，而是另外那個(gè)人的——對(duì)第二個(gè)小伙子來(lái)說(shuō)的另外一個(gè)。因?yàn)榱硗庖粋€(gè)小伙子只是對(duì)他來(lái)說(shuō)是另外一個(gè)，而不是對(duì)前面那個(gè)小伙子——那么，如果他打破了他的頭，那么他的姑娘——不是另外一個(gè)小伙子，而是那個(gè)小伙子，他……。瞧：如果A打破了月B腦袋，那么A的姑娘是一個(gè)漂亮的姑娘。但如果B打破了A的頭，那么A的姑娘就不是一個(gè)漂亮的姑娘，而B(niǎo)的姑娘是一個(gè)漂亮的姑娘。
簡(jiǎn)潔的符號(hào)能夠使數(shù)學(xué)家們進(jìn)行復(fù)雜的思考時(shí)應(yīng)付自如，但也會(huì)使門(mén)外漢聽(tīng)數(shù)學(xué)討論如墜五里云霧。
數(shù)學(xué)語(yǔ)言中使用的符號(hào)十分重要，它們能區(qū)別日常語(yǔ)言中經(jīng)常引起混亂的意義。例如，中使用“is”一詞時(shí)，就有多種不同的意義。在“他在這兒”(Heishere)這個(gè)句子中，“is”就表示一種物理位置。在“天使是白色的”(Anangeliswhite)這個(gè)句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無(wú)關(guān)的屬性。在“那個(gè)人正在跑”(manisrunning)這個(gè)句子中，這個(gè)詞"is”表示的是動(dòng)詞時(shí)態(tài)。在“二加二等于四"(TwoandTwoarefour)這個(gè)句子中，is的形式被用于表示數(shù)字上的相等。在“人是兩足的能思維的哺乳動(dòng)物”(Menarethetwo—leggedthinkingmammals)這個(gè)句子中，is的形式被用來(lái)斷言兩組之間的等同。當(dāng)然，在一般日常會(huì)話中引用各種各樣不同的詞來(lái)解釋is的所有這些意義，不過(guò)是畫(huà)蛇添足，因?yàn)楸M管有這些意義上的混亂，人們也不會(huì)因此產(chǎn)生什么誤會(huì)。但是，數(shù)學(xué)的精確性——它與和的精確性一樣，要求數(shù)學(xué)領(lǐng)域的者們更加謹(jǐn)慎。
數(shù)學(xué)語(yǔ)言是精確的，它是如此精確，以致常常使那些不習(xí)慣于它特有形式的人覺(jué)得莫名其妙。如果一個(gè)數(shù)學(xué)家說(shuō)：“今天我沒(méi)看見(jiàn)一個(gè)人”(Ididnotseeonepersontoday)，那么他的意思可能是他要么一個(gè)人也沒(méi)看見(jiàn)，要么他看見(jiàn)了許多人。一般人則可能簡(jiǎn)單地認(rèn)為他一個(gè)人也沒(méi)看見(jiàn)。數(shù)學(xué)的這種精確性，在一個(gè)還沒(méi)有認(rèn)識(shí)到它對(duì)于精密思維的重要性的人看來(lái)，似乎顯得過(guò)于呆板，過(guò)于拘泥于形式。然而任何精密的思維和精確的語(yǔ)言都是不可分割的數(shù)學(xué)風(fēng)格以簡(jiǎn)潔和形式的完美作為其目標(biāo)，但有時(shí)由于過(guò)分地拘泥于形式上的完美和簡(jiǎn)潔，以致喪失了精確竭力要達(dá)到的清晰。假定我們想用一般術(shù)語(yǔ)表述圖1所示的，我們很有可能說(shuō)：“有一個(gè)直角三角形，畫(huà)兩個(gè)以該三角形的直角邊作為其邊的正方形，然后再畫(huà)一個(gè)以該三角形斜邊作為其邊的正方形，那么第二個(gè)正方形的面積就等于前面兩個(gè)正方形面積之和?！钡菦](méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家會(huì)用這樣的方式來(lái)表達(dá)自己的想法。他會(huì)這樣說(shuō)：“直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@種簡(jiǎn)潔的用詞使表述更為精煉，而且這種數(shù)學(xué)表達(dá)式具有重要的意義，因?yàn)樗拇_是言簡(jiǎn)意賅。還有，由于這種惜墨如金的做法，任何數(shù)學(xué)的讀者有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的耐心受到了極大的考驗(yàn)。
數(shù)學(xué)不僅是一種、一門(mén)或一種語(yǔ)言。數(shù)學(xué)更主要的是一門(mén)有著豐富內(nèi)容的知識(shí)體系，其內(nèi)容對(duì)科學(xué)家、科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時(shí)著家和神學(xué)家的學(xué)說(shuō);滿足了人類探索宇宙的好奇心和對(duì)美妙的冥想;甚至可能有時(shí)以難以察覺(jué)到的方式但無(wú)可置疑地影響著的進(jìn)程。
數(shù)學(xué)是一門(mén)知識(shí)體系，但是它卻不包含任何真理。與之相反的觀點(diǎn)卻認(rèn)為數(shù)學(xué)是無(wú)可辯駁的真理的匯集，認(rèn)為數(shù)學(xué)就像是信仰《圣經(jīng)》的教徒們從上帝那兒獲得最后的啟示錄一樣，這是一個(gè)難以消除的、流傳甚廣的謬論。直到1850年為止，甚至數(shù)學(xué)家們也贊同這種謬論。幸運(yùn)的是，19世紀(jì)發(fā)生的一些數(shù)學(xué)事件(這些我們隨后將進(jìn)行討論)向這些數(shù)學(xué)家表明，這種看法是錯(cuò)誤的。在這門(mén)學(xué)科中沒(méi)有真理，而且在它的一些分支中的定理與另外一些分支中的定理是矛盾的。例如，上個(gè)世紀(jì)創(chuàng)立的幾何中所確定的一些定理，與歐幾里得在他的幾何學(xué)中所證明的定理就是矛盾的。盡管沒(méi)有真理，數(shù)學(xué)卻一直給予了人類征服自然的神奇的力量。解決人類思想史上這個(gè)最大的悖論將是我們所關(guān)注的課題之一。
由于20世紀(jì)必須將數(shù)學(xué)知識(shí)與真理區(qū)分開(kāi)，因此也必須將數(shù)學(xué)與區(qū)分開(kāi)，因?yàn)榭茖W(xué)確在尋求關(guān)于物質(zhì)世界的真理。然而數(shù)學(xué)卻無(wú)疑地是科學(xué)的燈塔，而且還繼續(xù)幫助科學(xué)獲得在文明中所占的位置。我們甚至可以正確地宣稱，正是由于有了數(shù)學(xué)，現(xiàn)代科學(xué)才取得了輝煌的成就。但是我們將會(huì)看到，這兩個(gè)領(lǐng)域有著明顯的區(qū)別。
在最廣泛的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地人類的物質(zhì)、道德和生活;試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的;努力去理解和控制;盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻的和最完美的內(nèi)涵。在本書(shū)中，我們最為關(guān)心的將是這種精神的作用。
數(shù)學(xué)還有一個(gè)更加典型的特征與我們的論述密切相關(guān)。數(shù)學(xué)是一棵富有生命力的樹(shù)，她隨著文明的興衰而榮枯。它從史前誕生之時(shí)起，就為自己的生存而斗爭(zhēng)，這場(chǎng)斗爭(zhēng)經(jīng)歷了史前的幾個(gè)世紀(jì)和隨后有文字記載的幾個(gè)世紀(jì)，最后終于在肥沃的希臘土壤中扎穩(wěn)了生存的根基，并且在一個(gè)較短的時(shí)期里茁壯成長(zhǎng)起來(lái)了。在這個(gè)時(shí)期，它綻出了一朵美麗的花——?dú)W氏幾何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔細(xì)觀察，還可以看到三角和代數(shù)學(xué)的雛形;但是這些花朵隨著希臘文明的衰亡而枯萎了，這棵樹(shù)也沉睡了一千年之久。
這就是數(shù)學(xué)那時(shí)的狀況。后來(lái)這棵樹(shù)被移植到了歐洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又獲得了在古希臘頂峰時(shí)期曾有過(guò)的旺盛的生命力，而且準(zhǔn)備開(kāi)創(chuàng)史無(wú)前例的光輝燦爛的前景。如果我們將17世紀(jì)以前所了解的數(shù)學(xué)稱為初等數(shù)學(xué)，那么我們能說(shuō)，初等數(shù)學(xué)與從那以后創(chuàng)造出的數(shù)學(xué)相比是徽不足道的。事實(shí)上，一個(gè)人擁有牛頓處于頂峰時(shí)期所掌握的知識(shí)，在今天不會(huì)被認(rèn)為是一位數(shù)學(xué)家。因?yàn)榕c普通的觀點(diǎn)相反，現(xiàn)在應(yīng)該說(shuō)數(shù)學(xué)是從微積分開(kāi)始，而不是以之為結(jié)束。在我們這個(gè)世紀(jì)，這門(mén)學(xué)科已具有非常廣泛的，以致沒(méi)有任何數(shù)學(xué)家能夠宣稱他已精通全部數(shù)學(xué)。
數(shù)學(xué)的這幅素描，盡管簡(jiǎn)略，但卻表明數(shù)學(xué)的生命力正是根植于養(yǎng)育她的文明的社會(huì)生活之中。事實(shí)上，數(shù)學(xué)一直是文明和文化的重要組成部分，因此許多歷史學(xué)家通過(guò)數(shù)學(xué)這面鏡子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典時(shí)期的古希臘文化為例，它大約從公元前600年延續(xù)到公元前300年。由于古希臘數(shù)學(xué)家強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密的推理以及由此得出的結(jié)論，因此他們所關(guān)心的并不是這些成果的實(shí)用性，而是人們?nèi)ミM(jìn)行抽象的推理，和激發(fā)人們對(duì)理想與美的追求。因此，看到這個(gè)具有很難為后世超越的優(yōu)美文學(xué)，極端理性化的，以及理想化的建筑與雕刻，也就不足為奇了。
數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的缺乏也表現(xiàn)在一個(gè)時(shí)代文明的文化里，這一點(diǎn)也是真實(shí)的?？纯戳_馬的情況吧。在數(shù)學(xué)史上，羅馬人在一定時(shí)期內(nèi)曾作出過(guò)貢獻(xiàn)，但從那以后他們就開(kāi)始停滯不前了。阿基米德，最偉大的古希臘數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，在公元前221年被突然闖入的羅馬士兵殺害了，當(dāng)時(shí)他正在畫(huà)在沙盤(pán)中的幾何圖形。對(duì)此，A．N．懷特海(AlfredNorthWhitehead)說(shuō)過(guò)：阿基米德死于一個(gè)羅馬士兵之手，是一個(gè)世界發(fā)生頭等重要變化的標(biāo)志;愛(ài)好抽象科學(xué)、善長(zhǎng)推理的古希臘在歐洲的霸主地位，被重實(shí)用的羅馬取代了。洛德?比肯斯菲爾德(LordBeaconsfield)，在他的一部小說(shuō)中，曾把重實(shí)用的人稱為是重復(fù)其先輩錯(cuò)誤的人。羅馬是一個(gè)偉大的民族，但是他們卻由于只重實(shí)用而導(dǎo)致了創(chuàng)造性的缺乏。他們沒(méi)有發(fā)展其祖先的知識(shí)，他們所有的進(jìn)步都局限于工程技術(shù)的細(xì)枝末葉。他們并不是那種能夠提出新觀點(diǎn)的夢(mèng)想家，這些新觀點(diǎn)能給人以更好地主宰自然界的力量。沒(méi)有一個(gè)羅馬人因?yàn)槌龄嫌跀?shù)學(xué)圖形而喪命。
關(guān)鍵詞：激發(fā)興趣、運(yùn)用類比、巧設(shè)問(wèn)題
思維能力是一切能力的核心，它是通過(guò)對(duì)事物的感知、表象進(jìn)行分析、概括、歸納而獲得事物本質(zhì)的能力。一個(gè)人的思維能力強(qiáng)弱，不僅與知識(shí)理論、水平有關(guān)，而且與思維方式有關(guān)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生思維能力的培養(yǎng)至關(guān)重要，我在數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐中，從以下幾方面加強(qiáng)了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維能力，并收到了較好成效。
一、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟迪學(xué)生的思維
興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的直接動(dòng)力，它是求知欲的外在表現(xiàn)，它能促進(jìn)學(xué)生積極思考，勇于探索。
1、用實(shí)踐操作喚起學(xué)生的興趣
教師在教學(xué)實(shí)踐中動(dòng)手操作或讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，最能喚起學(xué)生的興趣，保持學(xué)生穩(wěn)定的注意力。如在推導(dǎo)圓柱體的體積公式時(shí)，我通過(guò)讓學(xué)生自己推導(dǎo)將一個(gè)圓柱體拼割成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，并讓學(xué)生掌握了圓柱體的體積公式后，我要求學(xué)生認(rèn)真觀察教師的推導(dǎo)過(guò)程，并讓學(xué)生觀察將一個(gè)圓柱體拼割成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體后，這個(gè)近似的長(zhǎng)方體的體積、表面積同原來(lái)的圓柱體的體積及表面積相比是否發(fā)生變化。在學(xué)生掌握了圓柱體的體積公式后，我出示了這樣一道題目：“將一個(gè)圓柱體拼割成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體后，這個(gè)近似的長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)增加了40平方厘米，已知這個(gè)長(zhǎng)方體的高為1分米，求這個(gè)圓柱體的體積是多少立方厘米?”學(xué)生由于剛剛自己動(dòng)手推導(dǎo)圓柱體的體積公式，因此很快可以求出這個(gè)圓柱體的底面半徑為：40÷2÷10＝2（厘米），這個(gè)圓柱體的體積為：3.14×2×2×10＝125.6（立方厘米）。
2、讓學(xué)生在實(shí)踐中提高學(xué)習(xí)興趣并獲得知識(shí)
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐是有效提高課堂教學(xué)的一種重要手段。如教學(xué)了行程問(wèn)題后，我出示了這樣一題：“已知客車(chē)每小時(shí)行60千米，貨車(chē)每小時(shí)行50千米?，F(xiàn)在兩車(chē)同時(shí)從相距200千米的甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)2小時(shí)兩車(chē)相距多少千米？”
由于題中未說(shuō)明行駛方向，所以兩車(chē)出發(fā)2小時(shí)，兩車(chē)相距的路程應(yīng)是多少并無(wú)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，因此，我組織兩個(gè)學(xué)生在教室中按四種情況進(jìn)行了演示：1、兩個(gè)學(xué)生同時(shí)相向而行；2、兩個(gè)同學(xué)同時(shí)相背而行；3、兩個(gè)學(xué)生同時(shí)向同一方向而行，走得快的同學(xué)在前；4、兩個(gè)學(xué)生同時(shí)向同一方向而行，走得慢的同學(xué)在前。因此我再啟發(fā)學(xué)生，這道題應(yīng)該如何進(jìn)行解答。這樣，學(xué)生很快到，這道題應(yīng)分以下四種情況進(jìn)行討論
（1）、兩車(chē)同時(shí)相對(duì)而行，相遇后又拉開(kāi)距離：（60＋50）×2－200=20（千米）。
（2）、兩車(chē)同時(shí)相背而行：（60＋50）×2＋200＝420（千米）
（3）、兩車(chē)同向而行，客車(chē)在前面貨車(chē)在后面：60×2＋200－50×2＝220（千米）
（4）、兩車(chē)同向而行，貨車(chē)在前面客車(chē)在后面：50×2＋200－60×2＝180（千米）。
二、運(yùn)用類比方法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維
類比方法是根據(jù)兩類物質(zhì)之間一些相似性質(zhì)從而推導(dǎo)出其它方面也類似的推理方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比是一種非常重要的方法。
1、運(yùn)用比較辨別，啟迪學(xué)生思維想象
如在教學(xué)了數(shù)的整除的知識(shí)后，我出示了這樣一道例題：“一個(gè)大于10的數(shù)，被6除余4，被8除余2，被9除余1，這個(gè)最小是幾？”應(yīng)該說(shuō)這道題是有一定的難度的，學(xué)生求解會(huì)感到無(wú)從下手，這時(shí)，我出示了這樣一題比較題：“一個(gè)數(shù)被6除余10，被8除余10，被9除余10，這個(gè)數(shù)最小是幾？”這道題學(xué)生很快能求出答案：這個(gè)數(shù)即是6、8和9的最小公倍數(shù)多10，6、8和9的最小公倍數(shù)為72，因此這個(gè)數(shù)為：72＋10＝82；然后我引導(dǎo)學(xué)生將上面一道例題與這道比較題進(jìn)行比較和思考，學(xué)生很快知道，上道題只要假設(shè)被6除少商1余數(shù)即為10，被8除少商1余數(shù)也為10、被9除時(shí)少商1余數(shù)也為10，因此可迅速求得這個(gè)數(shù)只要減去10，就同時(shí)能被6、8和9整除，而6、8和9的最小公倍數(shù)為72，因此這個(gè)數(shù)為：72＋10＝82。這樣通過(guò)讓學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想和比較，不但可以提高學(xué)生的想象能力，同時(shí)也能提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。
2、通過(guò)分析歸納，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維
又如在教學(xué)完了平面圖形的面積計(jì)算公式后，我要求學(xué)生歸納出一個(gè)能概括各個(gè)平面圖形面積計(jì)算的公式，我讓學(xué)生進(jìn)行討論，經(jīng)過(guò)討論，學(xué)生們歸納出，在小學(xué)階段學(xué)過(guò)的面積公式都可以用梯形的面積計(jì)算公式來(lái)進(jìn)行概括，因?yàn)樘菪蔚拿娣e計(jì)算公式是：（上底+下底）×高÷2。而長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的上底和下底相等，即可將這公式變成：底（長(zhǎng)、邊長(zhǎng)）×高（寬、邊長(zhǎng)）×2÷2=底（長(zhǎng)、邊長(zhǎng)）×高（寬、邊長(zhǎng)）；又因?yàn)閷A面積公式是根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出來(lái)的，因此，梯形的面積公式對(duì)圓也同樣適用；當(dāng)梯形的上底是零時(shí)，即梯形成了一個(gè)三角形，這時(shí)梯形的面積公式成了：底×高÷2。這即成了三角形的面積公式。這樣，不僅使學(xué)生能熟練掌握已學(xué)過(guò)的平面圖形的面積公式，同時(shí)，也培養(yǎng)和提高了學(xué)生的創(chuàng)新能力。
三、巧設(shè)探索性問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維
現(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)為：為教學(xué)時(shí)應(yīng)設(shè)法為學(xué)生創(chuàng)設(shè)逼真的問(wèn)題情境，喚起學(xué)生思考的欲望。在教學(xué)實(shí)踐中，我們?nèi)缒茏寣W(xué)生置身于逼真的問(wèn)題情境中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實(shí)際生活的聯(lián)系，學(xué)生也會(huì)品嘗到用所學(xué)知識(shí)解釋生活現(xiàn)象以及解決實(shí)際問(wèn)題的樂(lè)趣，感受到借助數(shù)學(xué)的思想方法，會(huì)真正體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，我盡量做到在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中加強(qiáng)實(shí)踐活動(dòng)，使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)接觸生活和生產(chǎn)實(shí)踐中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的聯(lián)系與區(qū)別。
1、設(shè)計(jì)開(kāi)放性習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)踐中提高創(chuàng)新思維。
如在教學(xué)了百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題后，我出示了這樣一題：張教老師欲購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)筆記本電腦，為了盡可能少花錢(qián)，他考察了A、B、C三個(gè)商場(chǎng)，他想購(gòu)買(mǎi)的筆記本電腦三個(gè)商場(chǎng)都有，且標(biāo)價(jià)都有是9980元，不過(guò)三個(gè)商場(chǎng)的優(yōu)惠方法各不相同，具體如下：
A商場(chǎng)：全場(chǎng)九折。
B商場(chǎng)：購(gòu)物滿1000元送100元。
C商場(chǎng)：購(gòu)物滿1000元九折，滿10000元八八折。
張老師應(yīng)該到哪個(gè)商場(chǎng)去購(gòu)買(mǎi)電腦？請(qǐng)說(shuō)明理由。
這道題顯然不同于一般的應(yīng)用題，因此我啟發(fā)學(xué)生，應(yīng)該充分考慮如何才能做到盡可能少花錢(qián)這一個(gè)特定的條件去進(jìn)行分析與解答。學(xué)生進(jìn)行了認(rèn)真的分析和討論，最后得出如下的結(jié)論：
因?yàn)槊颗_(tái)電腦的價(jià)格均為9980元，而去A商場(chǎng)是全場(chǎng)九折，因此張老師如果去A商場(chǎng)購(gòu)電腦，那么張老師應(yīng)該付：9980×90%＝8982（元）。
因?yàn)锽商場(chǎng)是購(gòu)物滿1000元送100元，張老師如果只買(mǎi)電腦，需付：9980－900＝9080（元）；張老師如果再買(mǎi)其它的物品湊滿10000元，需付：10000－1000＝9000（元）。
因?yàn)镃商場(chǎng)是購(gòu)物滿1000元九折，滿10000元八八折，張老師在C商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)電腦時(shí)，只要再多買(mǎi)20元物品，即湊滿10000元，最多需付：10000×88%＝8800（元）。
因此，張老師去C商場(chǎng)購(gòu)電腦花錢(qián)最少。
2、培養(yǎng)學(xué)生打破傳統(tǒng)的思維模式，開(kāi)啟學(xué)生創(chuàng)新思維大門(mén)
創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，要讓學(xué)生敢于打破傳統(tǒng)的思維模式，對(duì)一些問(wèn)題提出具有獨(dú)特的的、富有說(shuō)服力的新觀點(diǎn)和新境界，開(kāi)啟學(xué)生的創(chuàng)新思維大門(mén)。
如教學(xué)了“長(zhǎng)方體和正方體的體積”后，我出示了這樣一題：“一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從里面量，長(zhǎng)40厘米，寬25厘米，高20厘米，箱中水面高10厘米。如果在長(zhǎng)方體水箱中放進(jìn)一個(gè)長(zhǎng)和高都為20厘米，寬為10厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，那么水面將上升多少厘米？
這道題大部分同學(xué)都只想到將以20×20作為底面放進(jìn)水箱中這一種情況，這時(shí)鐵塊全部浸沒(méi)在水中，這時(shí)候水面上升的高度即為：20×20×10÷（40×25）＝4（厘米）。但還有另一種情況，即不是將20×20作為底面，而是以20×10作為底面放進(jìn)水箱中的這一種情況，同學(xué)們卻忽略了。這時(shí)我向?qū)W生進(jìn)行了演示：我將一塊鐵塊按未曾全部浸沒(méi)在水中的情況進(jìn)行了演示，并啟發(fā)學(xué)生除了將以20×20作為底面放進(jìn)水箱中這一種情況，還有沒(méi)有其它的情況，學(xué)生通過(guò)觀察并進(jìn)行了討論，認(rèn)識(shí)到還要考慮到另一種情況，即以20×10作為底面放入水中，因此很快得出結(jié)論，如果以20×10作為底面放進(jìn)水箱中，這時(shí)候鐵塊沒(méi)有全部浸沒(méi)在水中，這時(shí)水面上升的高度應(yīng)該為：
40×25×10÷（40×25－20×10）－10＝2.5（厘米）。
或者用方程進(jìn)行求解。設(shè)水面上升X厘米，則可得方程：
以創(chuàng)設(shè)情境為主線，根據(jù)教材的特點(diǎn)、教學(xué)的方法和學(xué)生的具體學(xué)情，把學(xué)生引入一種與問(wèn)題有關(guān)的情境中，讓學(xué)生通過(guò)觀察，不斷積累豐富的感性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在實(shí)踐感受中逐步認(rèn)知，發(fā)展，乃至創(chuàng)造，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中情境教學(xué)的運(yùn)用，可以達(dá)到提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的目的。教育學(xué)家烏申斯基說(shuō)：沒(méi)有絲毫興趣的強(qiáng)制學(xué)習(xí)，將會(huì)扼殺學(xué)生探求真理的欲望。興趣是學(xué)習(xí)的重要?jiǎng)恿?，也是最好的老師。在?shí)踐中，我經(jīng)常巧妙地創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生從害怕數(shù)學(xué)到愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，取得了事半功倍的效果。如常常用實(shí)際問(wèn)題或設(shè)置懸念導(dǎo)入新課來(lái)激發(fā)學(xué)生的求知欲；或者在教學(xué)過(guò)程中為研究需要而臨時(shí)產(chǎn)生一些嘗試性的研究活動(dòng)，以及在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生提出了意想不到的觀點(diǎn)或方案等。顯然，關(guān)鍵在教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好問(wèn)題情境，必須要從學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣出發(fā)，
要從知識(shí)的形成過(guò)程出發(fā)，要貼近學(xué)生生活，要帶有激勵(lì)性和挑戰(zhàn)性。只有這樣，才能引發(fā)學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)，使學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程和情感過(guò)程統(tǒng)一起來(lái)。
2.自主探究，建構(gòu)新知
“以學(xué)生的發(fā)展為本”是新課程理念的最高境界，要發(fā)展學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生能力，教師在教學(xué)過(guò)程中，始終把學(xué)生放在主體的位置，教師所做的備課、組織教學(xué)、教學(xué)目標(biāo)的確定、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)、教學(xué)方法的選用等等工作，都從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，要在課堂上最大限度地盡量地使學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦，極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，養(yǎng)成良好的自學(xué)習(xí)慣，培養(yǎng)刻苦鉆研精神。促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與、主動(dòng)探索、主動(dòng)思考、主動(dòng)實(shí)踐。如果創(chuàng)設(shè)的情境達(dá)到了前面的要求，那么學(xué)生會(huì)自然地產(chǎn)生一種探究的欲望。教師只要適當(dāng)?shù)亟M織引導(dǎo)，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自主地嘗試、操作、觀察、動(dòng)手、動(dòng)腦，完成探究活動(dòng)。因?yàn)閷W(xué)生是信息加工的主體，是意義的主動(dòng)建構(gòu)者，教師是學(xué)生意義建構(gòu)的幫助者、促進(jìn)者。
3.合作交流，完善認(rèn)知
