時間：2023-02-28 15:59:29
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性、準(zhǔn)確性，幫助學(xué)生學(xué)會用集合語言描述數(shù)學(xué)對象，發(fā)展學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言進行交流的能力.
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，本章把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí)，強調(diào)結(jié)合實際問題，使學(xué)生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程與方法，從而發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識.
1.了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，掌握某些數(shù)集的專用符號.
2.理解集合的表示法，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用.
3、理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、歸納的邏輯思維能力.
4、能在具體情境中，了解全集與空集的含義.
5、理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集,培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維能力.
6.理解在給定集合中，一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.
7.能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.
8.學(xué)會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，理解函數(shù)符號y=f(x)的含義;了解函數(shù)構(gòu)成的三要素，了解映射的概念;體會函數(shù)是一種刻畫變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，并熟練使用區(qū)間表示法.
9.了解函數(shù)的一些基本表示法(列表法、圖象法、分析法)，并能在實際情境中，恰當(dāng)?shù)剡M行選擇;會用描點法畫一些簡單函數(shù)的圖象.
10.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.
11.結(jié)合熟悉的具體函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義，了解奇偶性和周期性的含義，通過具體函數(shù)的圖象，初步了解中心對稱圖形和軸對稱圖形.
12.學(xué)會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.
13.通過實習(xí)作業(yè)，使學(xué)生初步了解對數(shù)學(xué)發(fā)展有過重大影響的重大歷史事件和重要人物,了解生活中的函數(shù)實例.
二.編寫意圖與教學(xué)建議
1.教材不涉及集合論理論，只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能夠使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，從而體會集合語言的簡潔性和準(zhǔn)確性，發(fā)展運用數(shù)學(xué)語言進行交流的能力.教材力求緊密結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有數(shù)學(xué)知識，通過列舉豐富的實例，使學(xué)生了解集合的含義，理解并掌握集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算.
教材突出了函數(shù)概念的背景教學(xué)，強調(diào)從實例出發(fā)，讓學(xué)生對函數(shù)概念有充分的感性基礎(chǔ)，再用集合與對應(yīng)語言抽象出函數(shù)概念，這樣比較符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，同時有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括的能力，增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)概念的背景教學(xué).
2.教材盡量創(chuàng)設(shè)使學(xué)生運用集合語言進行表達和交流的情境和機會，并注意運用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，幫助學(xué)生借助直觀圖示認(rèn)識抽象概念.教學(xué)中，要充分體現(xiàn)這種直觀的數(shù)學(xué)思想，發(fā)揮圖形在子集以及集合運算教學(xué)中的直觀作用。
3.教材在例題、習(xí)題教學(xué)中注重運用集合的觀點研究、處理數(shù)學(xué)問題，這一觀點，一直貫穿到以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.
4.在例題和習(xí)題的編排中，滲透了集合中的分類思想，讓學(xué)生體會到分類思想在生活中和數(shù)學(xué)中的廣泛運用，這是學(xué)生在初中階段所缺少的.在教學(xué)中，一定要循序漸進，從繁到難，逐步滲透這方面的訓(xùn)練.
5.教材對函數(shù)的三要素著重從函數(shù)的實質(zhì)上要求理解，而對定義域、值域的繁難計算，特別是人為的過于技巧化的訓(xùn)練不做提倡，教師要準(zhǔn)確把握這方面的要求，防止撥高教學(xué).
6.函數(shù)的表示是本章的主要內(nèi)容之一，教材重視采用不同的表示法(列表法、圖象法、分析法)，目的是豐富學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識，幫助理解抽象的函數(shù)概念.在教學(xué)中，既要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，又要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度研究圖象，使學(xué)生深刻體會數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)方法.
7.教材將映射作為函數(shù)的一種推廣，進行了邏輯順序上的調(diào)整，體現(xiàn)了特殊到一般的思維規(guī)律，有利于學(xué)生對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的連續(xù)性.
8.教材加強了函數(shù)與信息技術(shù)整合的要求，通過電腦繪制簡單函數(shù)動態(tài)圖象,使學(xué)生初步感受到信息技術(shù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要作用.
9.為了體現(xiàn)教材的選擇性,在練習(xí)題安排上加大了彈性,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實際,合理地取舍.
三.教學(xué)內(nèi)容及課時安排建議
本章教學(xué)時間約13課時。
1.1集合4課時
1.2函數(shù)及其表示4課時
1.3函數(shù)的性質(zhì)3課時
實習(xí)作業(yè)1課時
復(fù)習(xí)1課時
§1.1.1集合的含義與表示
一.教學(xué)目標(biāo)：
l.知識與技能
(1)通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系;
(2)知道常用數(shù)集及其專用記號;
(3)了解集合中元素的確定性.互異性.無序性;
(4)會用集合語言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對象;
(5)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.
2.過程與方法
(1)讓學(xué)生經(jīng)歷從集合實例中抽象概括出集合共同特征的過程，感知集合的含義.
(2)讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識.
3.情感.態(tài)度與價值觀
使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)集合的必要性，增強學(xué)習(xí)的積極性.
二.教學(xué)重點.難點
重點：集合的含義與表示方法.
難點：表示法的恰當(dāng)選擇.
三.學(xué)法與教學(xué)用具
1.學(xué)法：學(xué)生通過閱讀教材，自主學(xué)習(xí).思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).
2.教學(xué)用具：投影儀.
四.教學(xué)思路
(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題
1.教師首先提出問題：在初中，我們已經(jīng)接觸過一些集合，你能舉出一些集合的例子嗎?
引導(dǎo)學(xué)生回憶.舉例和互相交流.與此同時，教師對學(xué)生的活動給予評價.
2.接著教師指出：那么，集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
(二)研探新知
1.教師利用多媒體設(shè)備向?qū)W生投影出下面9個實例：
(1)1—20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù);
(2)我國古代的四大發(fā)明;
(3)所有的安理會常任理事國;
(4)所有的正方形;
(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交橋;
(6)到一個角的兩邊距離相等的所有的點;
(7)方程的所有實數(shù)根;
(8)不等式的所有解;
(9)洞口一中2007年9月入學(xué)的高一學(xué)生的全體.
2.教師組織學(xué)生分組討論：這9個實例的共同特征是什么?
3.每個小組選出——位同學(xué)發(fā)表本組的討論結(jié)果，在此基礎(chǔ)上，師生共同概括出9個實例的特征，并給出集合的含義.
一般地，指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集).集合中的每個對象叫作這個集合的元素.
4.教師指出：集合常用大寫字母A，B，C，D，…表示，元素常用小寫字母…表示.
(三)質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維
1.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，思考：集合中元素有什么特點?并注意個別輔導(dǎo)，解答學(xué)生疑難.使學(xué)生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無序性.只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合相等.
2.教師組織引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：
判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：
(1)大于3小于11的偶數(shù);
(2)我國的小河流.
讓學(xué)生充分發(fā)表自己的建解.
3.讓學(xué)生自己舉出一些能夠構(gòu)成集合的例子以及不能構(gòu)成集合的例子，并說明理由.教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)活動給予及時的評價.
4.教師提出問題，讓學(xué)生思考
(1)如果用A表示高—(3)班全體學(xué)生組成的集合，用表示高一(3)班的一位同學(xué)，是高一(4)班的一位同學(xué)，那么與集合A分別有什么關(guān)系?由此引導(dǎo)學(xué)生得出元素與集合的關(guān)系有兩種：屬于和不屬于.
如果是集合A的元素，就說屬于集合A，記作.
如果不是集合A的元素，就說不屬于集合A，記作.
(2)如果用A表示“所有的安理會常任理事國”組成的集合，則中國.日本與集合A的關(guān)系分別是什么?請用數(shù)學(xué)符號分別表示.
(3)讓學(xué)生完成教材第6頁練習(xí)第1題.
5.教師引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)集擴充過程，然后閱讀教材中的相交內(nèi)容，寫出常用數(shù)集的記號.并讓學(xué)生完成習(xí)題1.1A組第1題.
6.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，并思考.討論下列問題：
(1)要表示一個集合共有幾種方式?
(2)試比較自然語言.列舉法和描述法在表示集合時，各自有什么特點?適用的對象是什么?
(3)如何根據(jù)問題選擇適當(dāng)?shù)募媳硎痉?
使學(xué)生弄清楚三種表示方式的優(yōu)缺點和體會它們存在的必要性和適用對象。
(四)鞏固深化，反饋矯正
教師投影學(xué)習(xí)：
(1)用自然語言描述集合{1，3，5，7，9};
(2)用例舉法表示集合
(3)試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希航滩牡?頁練習(xí)第2題.
(五)歸納整理，整體認(rèn)識
在師生互動中，讓學(xué)生了解或體會下例問題：
1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些知識內(nèi)容?
2.你認(rèn)為學(xué)習(xí)集合有什么意義?
3.選擇集合的表示法時應(yīng)注意些什么?
(六)承上啟下，留下懸念
性、準(zhǔn)確性，幫助學(xué)生學(xué)會用集合語言描述數(shù)學(xué)對象，發(fā)展學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言進行交流的能力.
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，本章把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí)，強調(diào)結(jié)合實際問題，使學(xué)生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程與方法，從而發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識.
1.了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，掌握某些數(shù)集的專用符號.
2.理解集合的表示法，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用.
3、理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、歸納的邏輯思維能力.
4、能在具體情境中，了解全集與空集的含義.
5、理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集,培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維能力.
6.理解在給定集合中，一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.
7.能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.
8.學(xué)會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，理解函數(shù)符號y=f(x)的含義;了解函數(shù)構(gòu)成的三要素，了解映射的概念;體會函數(shù)是一種刻畫變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，并熟練使用區(qū)間表示法.
9.了解函數(shù)的一些基本表示法(列表法、圖象法、分析法)，并能在實際情境中，恰當(dāng)?shù)剡M行選擇;會用描點法畫一些簡單函數(shù)的圖象.
10.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.
11.結(jié)合熟悉的具體函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義，了解奇偶性和周期性的含義，通過具體函數(shù)的圖象，初步了解中心對稱圖形和軸對稱圖形.
12.學(xué)會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.
13.通過實習(xí)作業(yè)，使學(xué)生初步了解對數(shù)學(xué)發(fā)展有過重大影響的重大歷史事件和重要人物,了解生活中的函數(shù)實例.
二.編寫意圖與教學(xué)建議
1.教材不涉及集合論理論，只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能夠使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，從而體會集合語言的簡潔性和準(zhǔn)確性，發(fā)展運用數(shù)學(xué)語言進行交流的能力.教材力求緊密結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有數(shù)學(xué)知識，通過列舉豐富的實例，使學(xué)生了解集合的含義，理解并掌握集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算.
教材突出了函數(shù)概念的背景教學(xué)，強調(diào)從實例出發(fā)，讓學(xué)生對函數(shù)概念有充分的感性基礎(chǔ)，再用集合與對應(yīng)語言抽象出函數(shù)概念，這樣比較符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，同時有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括的能力，增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)概念的背景教學(xué).
2.教材盡量創(chuàng)設(shè)使學(xué)生運用集合語言進行表達和交流的情境和機會，并注意運用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，幫助學(xué)生借助直觀圖示認(rèn)識抽象概念.教學(xué)中，要充分體現(xiàn)這種直觀的數(shù)學(xué)思想，發(fā)揮圖形在子集以及集合運算教學(xué)中的直觀作用。
3.教材在例題、習(xí)題教學(xué)中注重運用集合的觀點研究、處理數(shù)學(xué)問題，這一觀點，一直貫穿到以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.
4.在例題和習(xí)題的編排中，滲透了集合中的分類思想，讓學(xué)生體會到分類思想在生活中和數(shù)學(xué)中的廣泛運用，這是學(xué)生在初中階段所缺少的.在教學(xué)中，一定要循序漸進，從繁到難，逐步滲透這方面的訓(xùn)練.
5.教材對函數(shù)的三要素著重從函數(shù)的實質(zhì)上要求理解，而對定義域、值域的繁難計算，特別是人為的過于技巧化的訓(xùn)練不做提倡，教師要準(zhǔn)確把握這方面的要求，防止撥高教學(xué).
6.函數(shù)的表示是本章的主要內(nèi)容之一，教材重視采用不同的表示法(列表法、圖象法、分析法)，目的是豐富學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識，幫助理解抽象的函數(shù)概念.在教學(xué)中，既要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，又要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度研究圖象，使學(xué)生深刻體會數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)方法.
7.教材將映射作為函數(shù)的一種推廣，進行了邏輯順序上的調(diào)整，體現(xiàn)了特殊到一般的思維規(guī)律，有利于學(xué)生對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的連續(xù)性.
8.教材加強了函數(shù)與信息技術(shù)整合的要求，通過電腦繪制簡單函數(shù)動態(tài)圖象,使學(xué)生初步感受到信息技術(shù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要作用.
9.為了體現(xiàn)教材的選擇性,在練習(xí)題安排上加大了彈性,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實際,合理地取舍.
三.教學(xué)內(nèi)容及課時安排建議
本章教學(xué)時間約13課時。
1.1集合4課時
1.2函數(shù)及其表示4課時
1.3函數(shù)的性質(zhì)3課時
實習(xí)作業(yè)1課時
復(fù)習(xí)1課時
§1.1.1集合的含義與表示
一.教學(xué)目標(biāo)：
l.知識與技能
(1)通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系;
(2)知道常用數(shù)集及其專用記號;
(3)了解集合中元素的確定性.互異性.無序性;
(4)會用集合語言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對象;
(5)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.
2.過程與方法
(1)讓學(xué)生經(jīng)歷從集合實例中抽象概括出集合共同特征的過程，感知集合的含義.
(2)讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識.
3.情感.態(tài)度與價值觀
使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)集合的必要性，增強學(xué)習(xí)的積極性.
二.教學(xué)重點.難點
重點：集合的含義與表示方法.
難點：表示法的恰當(dāng)選擇.
三.學(xué)法與教學(xué)用具
1.學(xué)法：學(xué)生通過閱讀教材，自主學(xué)習(xí).思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).
2.教學(xué)用具：投影儀.
四.教學(xué)思路
(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題
1.教師首先提出問題：在初中，我們已經(jīng)接觸過一些集合，你能舉出一些集合的例子嗎?
引導(dǎo)學(xué)生回憶.舉例和互相交流.與此同時，教師對學(xué)生的活動給予評價.
2.接著教師指出：那么，集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
(二)研探新知
1.教師利用多媒體設(shè)備向?qū)W生投影出下面9個實例：
(1)1—20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù);
(2)我國古代的四大發(fā)明;
(3)所有的安理會常任理事國;
(4)所有的正方形;
(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交橋;
(6)到一個角的兩邊距離相等的所有的點;
(7)方程的所有實數(shù)根;
(8)不等式的所有解;
(9)洞口一中2007年9月入學(xué)的高一學(xué)生的全體.
2.教師組織學(xué)生分組討論：這9個實例的共同特征是什么?
3.每個小組選出——位同學(xué)發(fā)表本組的討論結(jié)果，在此基礎(chǔ)上，師生共同概括出9個實例的特征，并給出集合的含義.
一般地，指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集).集合中的每個對象叫作這個集合的元素.
4.教師指出：集合常用大寫字母A，B，C，D，…表示，元素常用小寫字母…表示.
(三)質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維
1.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，思考：集合中元素有什么特點?并注意個別輔導(dǎo)，解答學(xué)生疑難.使學(xué)生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無序性.只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合相等.
2.教師組織引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：
判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：
(1)大于3小于11的偶數(shù);
(2)我國的小河流.
讓學(xué)生充分發(fā)表自己的建解.
3.讓學(xué)生自己舉出一些能夠構(gòu)成集合的例子以及不能構(gòu)成集合的例子，并說明理由.教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)活動給予及時的評價.
4.教師提出問題，讓學(xué)生思考
(1)如果用A表示高—(3)班全體學(xué)生組成的集合，用表示高一(3)班的一位同學(xué)，是高一(4)班的一位同學(xué)，那么與集合A分別有什么關(guān)系?由此引導(dǎo)學(xué)生得出元素與集合的關(guān)系有兩種：屬于和不屬于.
如果是集合A的元素，就說屬于集合A，記作.
如果不是集合A的元素，就說不屬于集合A，記作.
(2)如果用A表示“所有的安理會常任理事國”組成的集合，則中國.日本與集合A的關(guān)系分別是什么?請用數(shù)學(xué)符號分別表示.
(3)讓學(xué)生完成教材第6頁練習(xí)第1題.
5.教師引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)集擴充過程，然后閱讀教材中的相交內(nèi)容，寫出常用數(shù)集的記號.并讓學(xué)生完成習(xí)題1.1A組第1題.
6.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，并思考.討論下列問題：
(1)要表示一個集合共有幾種方式?
(2)試比較自然語言.列舉法和描述法在表示集合時，各自有什么特點?適用的對象是什么?
(3)如何根據(jù)問題選擇適當(dāng)?shù)募媳硎痉?
使學(xué)生弄清楚三種表示方式的優(yōu)缺點和體會它們存在的必要性和適用對象。
(四)鞏固深化，反饋矯正
教師投影學(xué)習(xí)：
(1)用自然語言描述集合{1，3，5，7，9};
(2)用例舉法表示集合
(3)試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希航滩牡?頁練習(xí)第2題.
(五)歸納整理，整體認(rèn)識
在師生互動中，讓學(xué)生了解或體會下例問題：
1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些知識內(nèi)容?
2.你認(rèn)為學(xué)習(xí)集合有什么意義?
3.選擇集合的表示法時應(yīng)注意些什么?
(六)承上啟下，留下懸念
數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具，符號化、形式化是數(shù)學(xué)的顯著特點。從某種意義上來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)一種有特定含義的形式化語言，以及用這種形式化語言去表述解釋解決各種問題。集合論是數(shù)學(xué)家康托爾在19世紀(jì)末創(chuàng)立的，集合語言是近代數(shù)學(xué)的基本語言，利用它可以簡潔準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象，為理解函數(shù)概念，研究函數(shù)的性質(zhì)提供有力的工具。作為高中數(shù)學(xué)的起始課，教學(xué)中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想和方法，加強數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)，對于剛剛步入高中學(xué)生來說至關(guān)重要，良好的開端是成功前提，所以集合章節(jié)的教學(xué)要引起我們的充分重視?，F(xiàn)結(jié)合筆者對集合的教學(xué)體會，談?wù)勛约旱睦斫狻?/p>
一、教材內(nèi)容分析
本章包含了集合的含義、表示方法和運算三個部分的內(nèi)容，整體設(shè)計思路是從具體到理論，再回到具體，螺旋上升。教材通過實例，引導(dǎo)學(xué)生理解集合的特征，并從不同的角度學(xué)習(xí)和理解集合的表示方法。通過觀察具體的集合，從“數(shù)”和“形”兩方面使學(xué)生感受并歸納出集合與集合的關(guān)系。教材中充分利用韋恩圖和數(shù)軸等幫助學(xué)生形象地理解集合的含義與運算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。所以在教學(xué)中要滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，在引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、抽象、類比得到集合與集合的關(guān)系等數(shù)學(xué)知識的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。集合的章節(jié)內(nèi)容教與學(xué)，為學(xué)生提供了一個由初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過度平臺，為高中階
（下轉(zhuǎn)第4頁）
（上接第3頁）
段函數(shù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，從集合和對應(yīng)的角度去理解函數(shù)概念，用符號語言來表示函數(shù)和精確刻畫函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達數(shù)學(xué)內(nèi)容。
二、學(xué)生在集合學(xué)習(xí)中暴露的問題
集合內(nèi)容是高一新生進入高中接觸的全新內(nèi)容，符號化、形式化是它的顯著特征。集合作為一種數(shù)學(xué)語言，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中是一種重要的工具（利用集合語言表示函數(shù)定義域值域，方程及不等式的解等等），在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生使用恰當(dāng)集合語言表述數(shù)學(xué)內(nèi)容。理解集合含義，解決數(shù)學(xué)問題就顯得格外重要了。為了學(xué)生能夠順利的進行后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在教學(xué)中我們要重視學(xué)生在學(xué)習(xí)集合時出現(xiàn)的以下問題：數(shù)學(xué)形式化表示不規(guī)范，邏輯連接詞“或”“且”不理解導(dǎo)致使用不恰當(dāng)，主要出現(xiàn)在集合的交并補運算中；對集合中元素代表的意義不理解或理解錯誤；由具體到一般的抽象表達能力欠缺，主要體現(xiàn)在文字語言敘述轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)?shù)募媳硎荆涣信e法、描述法、圖示法的有效轉(zhuǎn)化與靈活運用；利用韋恩圖或數(shù)軸解決集合子、交、并、補問題時漏洞百出，缺少數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。
三、教學(xué)中采取的有效策略
1.加深理解，規(guī)范表達
集合章節(jié)內(nèi)容對于剛剛由初中步入高中的學(xué)生來說是比較陌生抽象的，并且涉及的概念較多，表達形式各有不同，在集合的表示和理解上都存在一定的困難所以在教學(xué)中要加強學(xué)生對概念的理解，規(guī)范集合的表示對集合的意義理解是初學(xué)者的難點，這也是集合子交并補運算錯誤的一個重要原因。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對列舉法表示的集合理解和運用表現(xiàn)的更好，而對描述法表示的集合理解運用則是錯誤不斷。對集合理解關(guān)鍵要抓住“代表元”這個“語法”特征，例如：
2.教材為主，以變引申，以辨激趣
集合的符號化、形式化、工具化的特征決定了它是枯燥無味的，僅局限于教材的例習(xí)題的講解會讓學(xué)生滿足于現(xiàn)狀，不利于思維能力的提高。以課本為主，對某個數(shù)學(xué)問題進行由淺入深的拓展變式引申激發(fā)學(xué)生火熱的思考從學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，搭建平臺，引導(dǎo)學(xué)生主動參與，積極辨析，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣（好多同學(xué)本有一顆火熱的心，但集合學(xué)完心變得冰涼）。
例如：已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+mx+n=0}且B？哿A求m，n的關(guān)系。本題講解時可由課本題目逐漸變式引申至本題：
問題1：集合A={1，2}列舉集合A的所有子集。（蘇教版必修1P91（2））
問題2：已知集合A={1，2}，B={x|mx+1=0}，B？哿A，求m的值。
問題3：已知集合A={1，2}，B={x|x2+mx+n=0}且B？哿A求m，n的關(guān)系。
讓學(xué)生觀察和比較，矯正辨析，當(dāng)問題3解決了，我們要講的問題也就自然解決了，在考察集合子集關(guān)系時學(xué)生就不那么容易忽略空集了，同時也滲透了分類討論的思想。本題還可以拓展到兩個無限數(shù)集之間的子集關(guān)系求解，如：已知集合A={x|1≤x≤9}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，且B？哿A求a的取值范圍。本題可在“已知A={x|x
3.細(xì)化教學(xué)過程，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法
集合章節(jié)概念比較多，數(shù)學(xué)概念本身往往蘊含某種思想方法，教學(xué)時我們要重視其發(fā)生過程的教學(xué)。應(yīng)當(dāng)善于引導(dǎo)學(xué)生通過感性的直觀背景材料或已有的知識發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不過早的給出結(jié)論，應(yīng)弄清抽象概括的過程，充分展示自己是怎樣去思考的，使學(xué)生領(lǐng)悟其中的思想方法。例如在講解子集和補集概念時，教材列舉幾組具體的集合：
（1）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2} （2）A={x|x≥1}，B={x|x≥2} （3）S=R，A={x|x≥1}，B={x|x≥1}讓學(xué)生通過元素與集合之間的關(guān)系體會集合與集合的關(guān)系。對于列舉法表示的集合可以韋恩圖來形象的表示子集和補集，對于描述法表示的無限數(shù)集可借助數(shù)軸幫助學(xué)生理解這些概念。蘇教版必修1第9頁的例題3的求解方法使學(xué)生加深了概念的理解，并會用數(shù)軸進行補集運算，學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。在補集概念之后可以讓學(xué)生通過思考：若S={1，2，5}，A=？準(zhǔn)，則CSA=_____；CSS=____。再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合韋恩圖討論得出補集的性質(zhì)，由圖形的直觀性進一步理解補集的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。
集合章節(jié)的教學(xué)中，要讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中感悟數(shù)學(xué)思想。在學(xué)法上，鼓勵學(xué)生多動腦，多動口，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，加深對概念的理解。通過積極的參與，逐漸增強理解力，掌握數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，體驗成功的喜悅，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
集合教學(xué)中，常用的符號有兩種?！啊省北硎驹嘏c集合之間的關(guān)系，“”表示集合與集合之間的關(guān)系。初學(xué)者由于沒有弄清符號“∈”與“”之間的區(qū)別，在做題中，往往出現(xiàn)下面的錯誤：
例如、用∈， 填空：{π} R..錯解：{π}R. 正解：{π}R
分析：{π} 表示集合，R也是集合。集合與集合的關(guān)系用“”
二、忽視空集的特殊性
空集是一種特殊的集合，是任何集合的子集，正是由于它的特殊性，往往會被忽略，產(chǎn)生漏解的錯誤。
分析：以上只討論了A≠φ的情形，忽視了空集，還應(yīng)討論A=φ的情形。
三、忽略元素的互異性
錯解：A∩B={3，7}，
必有 a2+4a+2=7，
a2+4a-5=0，（a+5）（a-1）=0a=-5或a=1，
分析：正是由于忽視集合中元素互異性這一特征，產(chǎn)生了增解的錯誤。求出a的值后，還必須檢驗是否滿足集合中元素互異性這一特征。
正解：解a值同上，驗證：
（1） 當(dāng)a=-5時，a2+4a-2=3，2-a=7，不滿足集合B中元素應(yīng)互異這一特征，故a=-5應(yīng)舍去。
（2） 當(dāng)a=1時，a2+4a-2=3，2a=1，滿足A∩B={3，7}且集合B中元素互異.
a的值為1.
四、沒有弄清全集的含義
全集是一個相對的概念，如果所研究的集合都是某個集合的子集，那么這個集合就可以作為全集。注意，所研究的集合的元素都在全集內(nèi)，不然就會導(dǎo)致增解錯誤
例如、設(shè)全集S={2，3，a2+2a-3}，A={|2a-1|，2}，CSA={5}求a的值.
錯解：CSA={5}，5∈S且5A，
a2+2a-3=5，a2+2a-8=0a=2或a=-4.
分析：沒有正確理解全集的含義，產(chǎn)生了增解的錯誤。全集中應(yīng)討論集合中的一切元素，所以還要檢驗。
正解：求a值同上。（1）當(dāng)a=2時，|2a-1|=3，此時滿足3∈S.
（2）當(dāng)a=-4時，|2a-1|=9 S，a=-4應(yīng)舍去. a=2.
五、混淆集合元素的屬性
研究集合時，要弄清集合中元素的形式和意義，不要混淆了點集和數(shù)集的形式。
例如、集合A{（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|x-y=2}，則A∩B=
錯解：解方程組x+y=0x-y=2，得x=1y=1，A∩B={1，-1}.
2．在小學(xué)與初中的基礎(chǔ)上，結(jié)合實例，初步理解集合的概念，并知道常用數(shù)集及其記法。
3.從集合及其元素的概念出發(fā)，初步了解屬于關(guān)系的意義。
二、內(nèi)容分析
1．集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要的基本概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進一步應(yīng)用集合的語言表述一些問題。例如，在代數(shù)中用到的有數(shù)集、解集等；在幾何中用到的有點集。至于邏輯，可以說，從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就離不開對邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中，也是認(rèn)識問題、研究問題不可缺少的工具。這些可以幫助學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義，也是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。
把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數(shù)學(xué)的最開始，是因為在高中數(shù)學(xué)中，這些知識與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)。例如，下一章講函數(shù)的概念與性質(zhì)，就離不開集合與邏輯。
2.1.1節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實例對集合的概念作了說明。然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子。
3．這節(jié)課主要學(xué)習(xí)全章的引言和集合的基本概念。學(xué)習(xí)引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義。本節(jié)課的教學(xué)重點是集合的基本概念。
4．在初中幾何中，點、直線、平面等概念都是原始的、不定義的概念，類似地，集合則是集合論中的原始的、不定義的概念。在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念有一個初步認(rèn)識。教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集。”這句話，只是對集合概念的描述性說明。
三、教學(xué)過程
提出問題：
教科書引言所給的問題。
組織討論：
為什么“回答有20名同學(xué)參賽”不一定對，怎么解決這個問題。
歸納總結(jié)：
1．可能有的同學(xué)兩次運動會都參加了，因此，不能簡單地用加法解決這個問題.
2．怎么解決這個問題呢？以前我們解一個問題，通常是先用代數(shù)式表示問題中的數(shù)量關(guān)系，再進一步求解，也就是先用數(shù)學(xué)語言描述它，把它數(shù)學(xué)化。這個問題與我們過去學(xué)過的問題不同，是屬于與集合有關(guān)的問題，因此需要先用集合的語言描述它，完全解決問題，還需要更多的集合與邏輯的知識，這就是本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容了。
新課講解：
1．集合的概念：（具體舉例后，進行描述性定義）
(1)某種指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集。
(2)元素：集合中的每個對象叫做這個集合的元素。
(3)集合中的元素與集合的關(guān)系：
a是集合A的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A；
a不是集合A的元素，稱a不屬于集合A，記作。
例如，設(shè)B＝{1，2，3，4，5}，那么5∈B，
注：集合、元素概念是數(shù)學(xué)中的原始概念，可以結(jié)合實例理解它們所描述的整體與個體的關(guān)系，同時，應(yīng)著重從以下三個元素的屬性，來把握集合及其元素的確切含義。
①確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了。
例如，像“我國的小河流”、“年輕人”、“接近零的數(shù)”等都不能組成一個集合。
②互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復(fù)的。
此外，集合還有無序性，即集合中的元素?zé)o順序。
例如，集合{1，2}，與集合{2，1｝表示同一集合。
2．常用的數(shù)集及其記法：
全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡稱非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N，非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成或；
全體整數(shù)的集合通常簡稱整數(shù)集，記作Z；
全體有理數(shù)的集合通常簡稱有理數(shù)集，記作Q；
全體實數(shù)的集合通常簡稱實數(shù)集，記作R。
注：①自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0，這與小學(xué)和初中學(xué)習(xí)的可能有所不同；
②非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也就是正整數(shù)集，表示成或。其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成或。負(fù)整數(shù)集、正有理數(shù)集、正實數(shù)集等，沒有專門的記法。
課堂練習(xí)：
教科書1．1節(jié)第一個練習(xí)第1題。
歸納總結(jié)：
1．集合及其元素是數(shù)學(xué)中的原始概念，只能作描述性定義。學(xué)習(xí)時應(yīng)結(jié)合實例弄清其含義。
GSPN，也就是廣義隨機Petri網(wǎng)，它是一種以普通的Petri網(wǎng)為基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上對類型形式進行擴展變化而形成的一種較為高級的Petri網(wǎng)，它的一個顯著特點就是可以對計算機硬件系統(tǒng)的動態(tài)變化運行過程進行準(zhǔn)確的描述，并且在很多領(lǐng)域的可靠性分析中得到了應(yīng)用。
1建模的基本方法
1.1什么是GSPN
從廣義的角度來講，隨機Petri網(wǎng)可以定義為一個8元組，即GSPN＝（P、T、I、O、H、M、W0、λ）[1]。這幾個元組分別代表不同的含義，P代表的是庫所的所有有窮集合；T代表的是變遷的所有集合；I代表的是輸入弧的有窮集合；O代表的是輸出弧的有窮集合；H代表的是禁止弧的有窮集合；M0代表的是系統(tǒng)初始標(biāo)識的集合；W代表的是弧權(quán)函數(shù)的有窮集合；λ是和變遷集合相對應(yīng)的。1.2GSPN建模元素的用法庫所：用來對計算機硬件系統(tǒng)工作過程中的資源和狀態(tài)進行描述。時間變遷：用來對計算機硬件系統(tǒng)工作過程中的各種事件進行描述。瞬時變遷：用來對計算機硬件系統(tǒng)工作過程中的控制和運行邏輯進行描述。有向弧：用來對計算機硬件系統(tǒng)工作中的狀態(tài)與時間之間的因果聯(lián)系進行描述。禁止?。河脕韺τ嬎銠C硬件系統(tǒng)工作中的控制和運行邏輯進行描述。標(biāo)記：用來對計算機硬件系統(tǒng)的動態(tài)行為變化進行描述。
2硬件系統(tǒng)基本單元GSPN模型闡述
2.1庫所及其含義
庫所結(jié)構(gòu)中，它的含義各有不同，其中，P1表示的是計算機硬件系統(tǒng)處于正常運行狀態(tài)；P2表示運行出現(xiàn)了異常；P3表示的是出現(xiàn)了臨時性故障；P4表示的是硬件系統(tǒng)的故障是永久性的；P5表示的是異常故障計算機可以自動恢復(fù)；P6表示的是異常故障不能自動恢復(fù)，需要對其進行人工檢查和維修。
2.2變遷及其含義
變遷的每一項含義各有不同，其中，T1表示的是計算機硬件系統(tǒng)在運行過程中出現(xiàn)了異常；T2表示的是永久性故障；T3表示的是臨時性故障；T4表示的是系統(tǒng)在經(jīng)過維修后可以正常工作；T5表示的是系統(tǒng)可以自行恢復(fù)；T6表示的是不能恢復(fù)的故障；T7表示的是轉(zhuǎn)化為永久性故障。我們從實際的計算機硬件系統(tǒng)來看，模型的運作原理是，如果計算機硬件系統(tǒng)基本單元在正常狀態(tài)下發(fā)生了故障，它的基本單元發(fā)生了異常，這個異常狀況還不確定，可能是臨時性的也可能是永久性的，如果是臨時性的話，又很可能轉(zhuǎn)化為兩種狀態(tài)，即可以自動恢復(fù)和不可以自動恢復(fù)，如果是可以自動恢復(fù)的話，在系統(tǒng)基本單元下可以自行恢復(fù)，如果是不可自動恢復(fù)的話，就需要進行人工維修恢復(fù)，如果故障轉(zhuǎn)化為了永久性故障時，經(jīng)過恢復(fù)后會進入正常的工作狀態(tài)。
3系統(tǒng)基本單元GSPN模型設(shè)計分析
計算機硬件系統(tǒng)基本單元GSPN模型的描述粒度精度，它的描述也有一定的針對性，對于結(jié)構(gòu)簡單單一的硬件系統(tǒng)描述具有很好的效果，對于復(fù)雜的則很難描述完整。
3.1簡化假設(shè)
簡化假設(shè)的體現(xiàn)主要是在哪些地位較為關(guān)鍵的模型分析來說的，對于這部分的模型分析，要按照既定的流程，首要做的是區(qū)分運行狀態(tài)，也就是屬于正常和故障哪一類，然后假設(shè)硬件系統(tǒng)中基本單元出現(xiàn)的故障都可以在λ基礎(chǔ)上進入到泊松過程中，最后可以把所有硬件系統(tǒng)全部維修成功為條件，直接處于維修率的泊松過程中。
3.2精化模型
從計算機硬件系統(tǒng)基本單位GSPN的自身運作原理和作用來看，它的主要作用是可以反映出計算機硬件系統(tǒng)的故障變化情況，PW表示的是計算機處于正常的工作狀態(tài)，Pf表示的是它的硬件系統(tǒng)出現(xiàn)了故障，Tf表示的是硬件系統(tǒng)基本單元受到某些因素的干擾發(fā)生了故障，Tr表示的是出現(xiàn)的故障經(jīng)過維修后可以正常運作[2]。
4對于計算機硬件系統(tǒng)的分析
4.1出現(xiàn)的故障分析
在其模型建立后，模型中的矩形S表示的是計算機硬件系統(tǒng)出現(xiàn)了全局性的故障，矩形Yi（其中i＝1、2、3），它所表示的是在第i個功能模塊出現(xiàn)了故障異常，那么圓形Xi（其中i＝1、2、3）表示的是硬件系統(tǒng)基本單元出現(xiàn)了故障異常，需要注意的是，這個故障的邏輯關(guān)系是這樣的：功能模塊的障礙以或門邏輯引起了全局性的故障，計算機硬件系統(tǒng)基本單元故障以與門邏輯引起了故障產(chǎn)生。
4.2系統(tǒng)GSPN的可靠性分析
對于它的分析主要是通過模型實現(xiàn)的，也就是計算機硬件系統(tǒng)GSPN可靠性分析的模型，這種模型的運行條件是需要TimeNET軟件支持的，通過實際的研究證明，計算機硬件系統(tǒng)的可用度是PSA＝1－P{＃PS＞0}，那么它的功能模塊的可用度是PYiA＝1－P{＃PYi＞0}，需要注意的是，i的取值是1、2、3。本文主要對計算機硬件系統(tǒng)的可靠性進行了分析探討，研究以GSPN為基礎(chǔ)，相對于傳統(tǒng)的描述方法來說具有明顯的優(yōu)勢特性，可以準(zhǔn)確描述出簡單結(jié)構(gòu)的計算機硬件系統(tǒng)。
參考文獻
中圖分類號:TP391
文獻標(biāo)識碼:A
1引言
XML已經(jīng)成為Web上信息表達和數(shù)據(jù)交換的事實標(biāo)準(zhǔn)｡它提供了一種非常靈活的方式來表達數(shù)據(jù):用戶可以制定自己的標(biāo)簽來表示他們的數(shù)據(jù),XML在描述數(shù)據(jù)內(nèi)容的同時能突出對結(jié)構(gòu)的描述,從而體現(xiàn)出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系｡
但XML的一個重要不足是: XML規(guī)范只聲明了數(shù)據(jù)在結(jié)構(gòu)上的關(guān)系,不能表達出被標(biāo)簽標(biāo)記的數(shù)據(jù)在語義上的聯(lián)系｡這造成兩個問題:1)同一種語義能夠用多種不同結(jié)構(gòu)的XML文檔表達,而這些異構(gòu)的XML文檔之間很難實現(xiàn)相互操作;2)許多XML標(biāo)簽它們所表達出的含義是相同的,但是XML處理程序無法將其識別｡
本體因其對概念的明確形式化描述,以及對概念的屬性和概念間的聯(lián)系的清楚表達,為解決 上面的問題提供一種有效的手段｡
2相關(guān)知識和研究背景
2.1XML模式和語義定義1一個XML的模式可以被表示成下面的形式[1]:S=(E,A,root,σ,τ)的形式,其中E表示所有元素的集合, A表示所有屬性的集合,root表示根元素｡σ和τ是兩個映射,其中δ∶E2E表示元素與其子元素之間的映射,如果一個元素包含了多個相同的子元素,則認(rèn)為這些元素表達的語義是相同的;τ∶E2 A表示元素與其包含的屬性之間的映射｡映射δ和τ體現(xiàn)了XML的結(jié)構(gòu)關(guān)系｡
XML的語義體現(xiàn)在XML的模式上｡XML沒有提供任何對語義表達的約束,因此XML模式只能表達語法而不能表達形式化語義,但是XML的元素與其屬性之間以及元素間的嵌套結(jié)構(gòu)中蘊含著語義信息[2]｡
2.2語義Web和本體
語義Web以XML作為語法基礎(chǔ),建立數(shù)據(jù)在更深層次D語義上的互操作｡語義Web的主要特點是引入了本體的概念｡本體是共享概念模型的形式化規(guī)范說明,主要用來對描述屬性或類的術(shù)語的含義及術(shù)語間的關(guān)系進行規(guī)約,為人和應(yīng)用程序系統(tǒng)之間在某個主題的交流上提供的共同理解｡
定義2б桓鐾暾的本體被定義為七元組的形式:O=(C, A,C, R, A,R, H,C, H,R, X)其中C表示概念的集合｡A C表示多個屬性集合組成的集合,其中每個屬性集合對應(yīng)于一個概念｡R是一個關(guān)系集合｡A R是由多個屬性集合組成的集合,其中每個屬性集合對應(yīng)于R中的一個關(guān)系｡H C表示概念之間的層次結(jié)構(gòu)關(guān)系,H R表示關(guān)系間的層次關(guān)系,X表示公理集合｡‘
3XML模式的語義映射和集成
3.1映射規(guī)則和算法
映射的目的是在S和O中包含的術(shù)語之間建立一種關(guān)聯(lián),以實現(xiàn)XML在語義層上的互操作｡雖然S和O覆蓋不同的層次,我們認(rèn)為它們有符合人們主觀認(rèn)識的對應(yīng)關(guān)系:1)S中定義的元素可以看作是O中定義的概念;2)元素包含的屬性(attribute)可以看作是概念所具有的屬性(property);3)元素之間的嵌套結(jié)構(gòu)可以看作是概念之間的關(guān)系｡
定義3對模式S中的任意元素e來說,當(dāng)δ(e)為空并且τ(e)也為空時,稱e是simpletype元素;當(dāng)δ(e)非空時,稱e是complextype元素;其余情況則稱e是commontype元素｡
由于映射只涉及到概念､概念的屬性和概念間的關(guān)系,我們在本體完整定義的基礎(chǔ)上,給出簡單本體的定義:Os=(C, A c, R),用作與XML模式進行相互映射｡這里選擇OWL DL作為描述本體Os的語言,在OWL中概念用建模原語owl:Class表示;概念的屬性用數(shù)據(jù)類型屬性owl:DatatypeProperty表示,概念間的關(guān)系用對象屬性owl:ObjectProperty表示｡下面是映射規(guī)則以及在OWL 中的表示形式:表1映射規(guī)則及本體表示:
我們用下面的方式定義每個本體的基本命名空間:如果某個OWL本體o是由XML模式文件s映射而得到的,那么它的基本命名空間為:/schemafile.owl,其中schemafile是s的文件名｡下面具體的算法表示:
算法:CreateOnto-by-Mapping
輸入:已解析的XML模式Si
輸出:根據(jù)映射規(guī)則生成OWL本體Oi
步驟:1)使用Si構(gòu)建Oi的默認(rèn)命名空間前綴:prefixi;
2)對Si中每個complextype類型的元素ex,執(zhí)行:
(1) 在Oi中新建概念prefixi :cx;
(2) 對δ(ex)中的所有元素en,執(zhí)行:如果en是simple type類型元素,則新建數(shù)據(jù)類型屬性prefixi:cxn,否則新建概念prefixi: en和對象屬性prefixi:contain(cx,cn);
(3) 對τ(ex)中的所有屬性ax,新建新的數(shù)據(jù)類型屬性prefixi:cxx;
3) 對Si中的每個commontype類型的元素ec,執(zhí)行:
(1) 新建概念prefixi:cc;
(2) 對τ(ec)中的所有屬性aj,新建數(shù)據(jù)類型屬性prefixi:ccj;
3.2本體集成和語義補充
經(jīng)過映射,每一個XML模式文件都對應(yīng)到一個用來注釋該文件語義的本體上,這些本體雖然描述的是同一個領(lǐng)域的知識,但彼此之間卻并沒有聯(lián)系｡另外本體中概念之間的真正關(guān)系通過上面的規(guī)則并沒有體現(xiàn)出來｡為解決這兩個問題,我們需要預(yù)先構(gòu)建一領(lǐng)域本體,里面定義該領(lǐng)域內(nèi)所涉及到的概念之間的復(fù)雜邏輯和語義關(guān)系｡該領(lǐng)域本體稱作全局本體,與定義2中的本體定義相同,用OG表示;而XML模式映射得到的本體稱為局部本體,用OL表示｡多個局部本體構(gòu)成一個集合,成為局部本體集,用OLSet表示｡本文采用混合本體的方法[5]對OLSet中的局部本體OL進行集成,這種方法利用OG提供的建立在原語基礎(chǔ)上的共享詞匯集,使不同OL中的術(shù)語可以進行相互比較｡與傳統(tǒng)的方法不同,我們參考了WordNet和SUMO本體之間映射的思想[6],引入同義詞典這個概念,采取一種本體加同義詞典的方法實現(xiàn)這種集成,并手工建立OG和同義詞典之間的映射｡同義詞典的表示如下:
定義4 同義詞典T=(CSynseti, ASynseti) i=1,2,3…其中CSynset表示概念的同義詞集,包含了局部本體中可能出現(xiàn)的具有相同語義的概念｡ASynset集合表示概念的屬性的同義詞集,包含了局部本體中可能出現(xiàn)的具有相同語義的屬性｡同義詞集在這里是指里面的詞匯在上下文中可以相互替換的集合｡映射將一個 CSynset對應(yīng)到全局本體中的某個概念,ASynset對應(yīng)到某個屬性｡這里我們只考慮同義關(guān)系映射,即同義詞集里面詞語的含義與它映射到的概念或?qū)傩缘暮x是相同的｡
由于CSynset和ASynset分別包含了所有OL中可能出現(xiàn)的概念和屬性,只要找出OL中的概念和屬性在T中對應(yīng)的同義詞集,再根據(jù)T與OG之間的映射關(guān)系,就可以得到所有OL中概念/屬性與OG中語義相同概念/屬性的對應(yīng)關(guān)系,最后只需保存OLSet與同義詞典T的集成關(guān)系即可｡
對OL中關(guān)系的集成我們采用不同的方法,通過每個關(guān)系在OWL語法中的domain值和range值來確定這些關(guān)系的語義,然后對語義相同的關(guān)系集成｡具體做法是:
(1)定義集合R,稱為關(guān)系集,OLSet中所有局部本體中的關(guān)系都保存在R中,每個關(guān)系都有代表命名空間的前綴來保證不會出現(xiàn)命名沖突｡根據(jù)前綴還可以找到該關(guān)系所屬的局部本體｡
(2) 定義作用在概念上的操作:mapc和hc,mapc(cl)返回OL中概念cl在OG中所對應(yīng)的概念表示;hc(cg)返回OG中概念cg自身及其所有的父概念｡
(3) 對R中的每個關(guān)系r:contain(Cdom, Cran),在OG中找到同時滿足r.domain∈hc[mapc(Cdom)]和 r.range∈hc[mapc(Cran)]的關(guān)系｡然后在兩關(guān)系之間建立映射｡如果R中有多個關(guān)系映射到全局本體的同一個關(guān)系上,則將每個關(guān)系中的Cdom和Cran分別放入同一集合中,從而實現(xiàn)不同OL中關(guān)系的集成｡
本體集成及語義補充的過程中,OG､OL和OLSet的關(guān)系如圖1所示:
4基于映射集成的語義查詢實驗
4.1查詢實驗方法
在上述映射與集成方法的基礎(chǔ)上,本文設(shè)計出一語義查詢系統(tǒng),實現(xiàn)對不同模式的XML數(shù)據(jù)進行語義上的查詢,語義查詢利用全局本體對查詢語句中概念間的語義約束進行DL推理,然后利用集成得到的豐富的語義信息對查詢進行重構(gòu),最終轉(zhuǎn)換為針對不同XML模式的多個結(jié)構(gòu)查詢｡語義查詢隱藏了底層數(shù)據(jù)格式的細(xì)節(jié),是一種面向多個異構(gòu)數(shù)據(jù)源的查詢,并且能夠利用本體找到隱藏的等價語義信息,實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的內(nèi)容而不是關(guān)鍵字匹配的查詢｡實驗的整體框架如圖2所示:
其中XML數(shù)據(jù)庫我們選擇eXist原生數(shù)據(jù)庫,數(shù)據(jù)庫中存放了全局本體､通過映射規(guī)則得到的局部本體集和語義集成的結(jié)果,同義詞典以表的形式存儲在MySQL關(guān)系數(shù)據(jù)庫中,關(guān)系數(shù)據(jù)庫里面還包含了與全局本體之間的映射信息;為實現(xiàn)在全局本體中的推理,我們使用Jena2開發(fā)包中自帶的OWLMini推理機｡整個框架建立在Java 1.5的運行平臺上｡圖2實驗結(jié)構(gòu)框圖
4.2實驗結(jié)果測試
查詢是完全依賴與語義集成的,在語義查詢XML數(shù)據(jù)之前,必須先完成對模式文件的集成｡因篇幅原因,我們僅給出測試結(jié)果,其中“author"和“writer"在相同CSynset中,“book"和“script"在另一CSynset中,“title",“caption"和“header"在相同ASynset中,“write"和“writtenby"在全局本體中是一對逆關(guān)系｡
測試1:測試XML模式與本體之間映射是否符合常識｡
查詢語句:select ?book.title
where book.publisher= “ABC”
查詢結(jié)果:“UML for Java".
測試2:測試本體集成和概念間關(guān)系的語義獲取是否正確｡
查詢語句:select ?autor.namewhere
writtenby(book,author);
book.header= “XML and Java"
查詢結(jié)果:“Harold ", “John ".]
測試3:測試對條件子句中隱含知識的推理｡
查詢語句:select ?book.titlewhere
write(author,book)
author.name=“Robert"
查詢結(jié)果:“UML for Java ".
測試4:測試語義查詢是否是基于數(shù)據(jù)之間的語義而數(shù)據(jù)本身的查詢｡
查詢語句:select ?book.titlewhere write(author,book)
author.name=“John"
查詢結(jié)果:“XML and Java", “Semantic Web".
通過測試可以看出查詢結(jié)果與預(yù)期的一致,這說明了這種基于本體的XML模式語義集成是一種可行的方法,同時也可以看出語義查詢與一般的結(jié)構(gòu)查詢相比,具有很大的優(yōu)勢｡
5結(jié)論
教師在課堂教學(xué)后，基本上會針對本節(jié)課所學(xué)的知識，設(shè)置相應(yīng)的作業(yè)。在作業(yè)的布置中，為了能夠體現(xiàn)隱性分層的教學(xué)模式，教師有必要設(shè)置兩種試題，一種是必須完成的試題，必做題；另一種是可以選擇做或者不做的試題，選做題。
必做題在一般情況下，是將所學(xué)的基礎(chǔ)知識加深印象，鞏固思維，是基本的訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想的方式，其定義為必做題，就是要讓全體學(xué)生都能夠?qū)⒒A(chǔ)知識透徹掌握。然而選做題是稍有難度的試題，一些學(xué)習(xí)能力較強，數(shù)學(xué)思維較廣泛的學(xué)生是最適合嘗試的，可以在一定程度上將數(shù)學(xué)的思維能力提升，并且能夠?qū)W(xué)生的主觀能動性充分地調(diào)動起來。
二、設(shè)計隱性分層的探究活動
學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個探究的過程，教師在設(shè)計探究活動的階段要考慮到學(xué)生的差異性。要根據(jù)不同層次的學(xué)生，設(shè)計不同層次的知識點，然后再進行探究。例如：“集合的表示與含義”的教學(xué)，要由淺入深、分層教學(xué)，先將集合的含義透徹掌握，再把集合與元素間的對應(yīng)關(guān)系了解清楚，才能夠記清專用記號與常用的數(shù)集。
（附圖 {圖}）
圖（一）A
——加法的含義是指兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算；減法是指從一個數(shù)里去掉一部分還剩多少的運算，要使 幼兒理解它們的含義，也可用實物或圖片，如圖（一）B。
（附圖 {圖}）
圖（一）B
這些糖、蘋果就是由不同的實物組成的具體集合，幼兒認(rèn)數(shù)、學(xué)算是從感知和比較具體集合開始的。
什么是集合？在數(shù)學(xué)里把具有某種相同屬性的事物的全體稱為集合。如家庭里的成員、動物園里的動物、 桌子上的玩具、盒子里的圖形片、10以內(nèi)的自然數(shù)乃至一只皮球等都可作為一個集合。從心理學(xué)角度，集合 可理解為不同分析器感受的同類對象（物體、聲音、運動、現(xiàn)象等）的總體。如3聲拍手聲、4下敲鈴聲、5 次小兔跳躍等都可以作為是一個集合，這是用聽覺、視覺、運動覺等進行感知的。幼兒的生活環(huán)境都是由不同 物體所組成的具體集合，如接觸到的認(rèn)識的和不認(rèn)識的人們的集合；在周圍呈現(xiàn)著的食物、玩具、用品等的集 合；在眼前運動著的車輛、靜止的房屋、樹木等的集合；重復(fù)出現(xiàn)的同類聲音如鐘聲、鈴聲、說話聲、走路聲 的集合；……幼兒早在認(rèn)數(shù)學(xué)算之前就從自身生活環(huán)境中積累了有關(guān)物體組成的各種具體集合的總體觀念了。
這里，還有幾個基本概念需要家長了解掌握：
表示一個集合有多種方法。在幼兒數(shù)學(xué)啟蒙中，我們運用的是圖示法，即用一個封閉圖形（圓形或方形 等）來表示一個集合。
圖二表示的是一個小魚的集合，其中每一條小魚被稱為該集合中的一個元素。集合中的元素可以是各種 各樣的具體實物，也可以是幾何圖形或數(shù)。
（附圖 {圖}）
圖（二）
一個集合的一部分也可以組成一個子集合。如10以內(nèi)的單數(shù)｛1，3，5，7，9｝就是10以內(nèi)自 然數(shù)的一個子集。
集合與集合之間還存在著各種關(guān)系。如圖：
（附圖 {圖}）
圖（三）
（附圖 {圖}）
圖（四）
（附圖 {圖}）
圖（五）
圖三是小明的玩具集，圖四是小紅的玩具集，圖三中的手槍和球，即小明和小紅都有的兩種玩具，組成了 交集；汽車、手槍、球和不倒娃娃，即小明和小紅兩人所有的四種玩具，組成了并集；差集中的玩具是汽車或 不倒娃娃，汽車是小明擁有而小紅沒有的玩具，不倒娃娃是小紅擁有而小明沒有的玩具。
下面我們和孩子一起來看圖做游戲：
一、看一看：圓內(nèi)是些什么？可以看作一個什么樣的集合？（見圖六）
（附圖 {圖}）
圖（六）
二、說一說：下面圖中二個橢圓形內(nèi)分別是些什么？可以看作哪三個集合？（見圖七）
（附圖 {圖}）
圖（七）
三、想一想：下面大長方形內(nèi)的東西能組成蔬菜集嗎？每個方格內(nèi)（子集）的東西都是蔬菜集的一部分嗎 ？（見圖八）
（附圖 {圖}）
圖（八）
四、找一找：（1）在陸地上行走的動物是哪幾樣？數(shù)數(shù)有幾個；（2）可在水里游的動物是哪幾樣？數(shù) 數(shù)有幾個；（3）又可在陸地行又可在水里游的動物是哪幾樣？數(shù)數(shù)有幾個。（見圖九）
（附圖 {圖}）
圖（九）
五、涂一涂：在標(biāo)有紅綠藍黃的圖形內(nèi)先請寶寶涂上相應(yīng)的顏色，然后問他，圖中大小兩圓相交部分中的 虛線正方形中該涂什么顏色？為什么？（見圖十）
（附圖 {圖}）
圖（十）
六、數(shù)一數(shù)：（1）在圓形和正方形內(nèi)的數(shù)字是哪幾個？（2）即在圓形又在正方形內(nèi)的數(shù)字是哪幾個？ （3）在正方形內(nèi)不在圓形內(nèi)的數(shù)字是哪幾個？（見圖十一）
（附圖 {圖}）
圖（十一）
七、擺一擺：下圖左邊圓內(nèi)有蝴蝶、樹、蚱蜢和猴臉，它們都是用三角形拼成的，右邊圓內(nèi)有直升飛機、 奧運會標(biāo)志、烏龜和猴臉，它們的個數(shù)都是5個。猴臉因為又是三角形又是數(shù)量為5個，所以在兩個圓的相交 部分中。下面4張正方形圖片中分別畫的是由8個三角形組成的八角帽、5個長方形組成的冰箱，5個三角形 組成的金魚，6個圓形組成的狗熊，它們分別該放在兩個圓內(nèi)的什么地方呢？（見圖十二）
（附圖 {圖}）
圖（十二）
下期內(nèi)容：從對應(yīng)比較中開始學(xué)數(shù)學(xué)。
參考答案：
一、圓內(nèi)有貓先生、象伯伯（可讓孩子自行描述）等7個動物，可看作一個動物集。
二、分別是具體集合（桃子集）、圖形集合（三角形集）和數(shù)集（10以內(nèi)單數(shù)集）。
三、不能組成蔬菜集，因為上排第三格內(nèi)的四只草莓屬水果集，不是蔬菜集的一部分。
四、（1）有五樣，是小雞、小貓、小兔、青蛙和鴨子。（2）有四樣，是蝌蚪、魚、青蛙和鴨子。（3 ）有二樣，是青蛙和鴨子。
一、激趣引入
師：同學(xué)們，你們喜歡上網(wǎng)嗎？你們上網(wǎng)都干些什么？老師對自己班上的一組學(xué)生的上網(wǎng)情況進行了調(diào)查。
二、探究新知
1.初步感知重疊現(xiàn)象
出示例題：
師：你能從統(tǒng)計表中獲得哪些數(shù)學(xué)信息？
2.理解兩個獨立的集合圈
師：以上的數(shù)學(xué)信息比較多，我們要采用一種更好的方法將這些數(shù)學(xué)信息進行整理，可以把有共同特點的事物聚集在一起，用一個圈圈起來，就能看得更清楚。你能找出喜歡玩游戲和喜歡聊天的同學(xué)嗎？
3.理解兩個集合圖的合并圖
師：你能將只喜歡玩游戲的、只喜歡聊天的、玩游戲和聊天都喜歡的同學(xué)找出來嗎？怎樣理解只喜歡玩游戲？你能不能將他們的學(xué)號填在合適的位置呢？
生獨立完成，師巡視，生匯報。
師：你能不能想一個好辦法，仍然只用兩個圈，但又清楚地表示出只喜歡玩游戲、只喜歡聊天和玩游戲、聊天都喜歡它們?nèi)咧g的關(guān)系？
學(xué)生嘗試創(chuàng)造，匯報時說說是怎樣想的。
4.理解五部分的含義
師：現(xiàn)在你能看懂圖中各部分的意思嗎？紅色圈是什么意思？（喜歡玩游戲的）藍色圈呢？（喜歡聊天的）黃色部分的表示什么意思？（只喜歡玩游戲的）綠色部分的表示什么？（只喜歡聊天的）中間這部分呢？（既喜歡玩游戲又喜歡聊天的）。
5.了解韋恩圖
師：你們知道嗎？早在100多年前，一位英國的邏輯學(xué)家韋恩創(chuàng)造了這樣的一幅圖（出示課件演示出兩個集合圖的合并）他把兩個橢圓交叉在一起，也就是部分重疊在一起，因為他是第一個用這幅圖的人，所以用他的名字命名叫做韋恩圖。（師板書韋恩圖）
6.揭示課題
師：今天我們學(xué)習(xí)用這幅圖來解決生活中的重復(fù)問題，重復(fù)問題在數(shù)學(xué)上我們稱它作重疊問題。（板書課題）
7.列式計算
師：既然我們已經(jīng)清楚了各部分的含義，你能根據(jù)韋恩圖求出這個小組一共有幾名學(xué)生嗎？應(yīng)該怎樣列式？學(xué)生獨立完成匯報時說說是怎樣想的。
生1：2+2+3=7（人）
生2：4+5-2=7（人）
師：為什么要減2？
生：因為有2人重復(fù)算了，所以要減去
師：你的這種方法非常清楚明了。
師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)計算有重復(fù)現(xiàn)象的問題，我們應(yīng)該注意什么？
生：要把重復(fù)部分減掉。
三、鞏固應(yīng)用
1、師：生活中的數(shù)學(xué)問題是不是都是重疊問題呢？判斷下面哪一個是重疊問題？
（1）水果店昨天進了菠蘿、梨子、蘋果、西瓜，今天進了芒果、香蕉、葡萄，這兩天一共進了多少種水果？請學(xué)生說明理由。
（2）水果店昨天進了菠蘿、梨子、蘋果、西瓜，今天進了芒果、蘋果、香蕉，這兩天一共進了多少種水果？請學(xué)生說明理由。
師：你能將這些水果填在合適的位置嗎？（課件出示集合圖，學(xué)生匯報，并說說各部分表示的含義）
師：那怎樣列式計算呢？生匯報，說說是怎樣想的。
生1：3+3=6（種）;生2：3+1+2=6（種）;生3：4+3-1=6（種）
2、知識延伸
師：大家對兩部分重疊的都能看懂而且會解決，那三部分重疊的你能看懂嗎？請你從中選一個同學(xué)說說他喜歡的運動。
四、課堂總結(jié)
今天我們解決了什么問題？計算有重復(fù)現(xiàn)象的問題，你想提醒大家注意些什么？
【思考】
1.豐富素材，服務(wù)教學(xué)
集合這部分內(nèi)容比較系統(tǒng)、抽象，那么如何將抽象的知識架設(shè)到一個現(xiàn)實背景，這是我在設(shè)計教學(xué)時首先思考的問題，于是我在教材處理上做了一些探索。在遵循教材的前提下，根據(jù)學(xué)生的實際情況大膽地對教材中的內(nèi)容調(diào)整、替換。教材的原有例題是學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)課外小組統(tǒng)計表，這一素材不能較好地調(diào)動學(xué)生積極性，因此我決定重新梳理教材，建構(gòu)自己對教材的理性認(rèn)識。我選取的素材是有關(guān)學(xué)生上網(wǎng)情況的調(diào)查，上網(wǎng)這個話題更貼近學(xué)生的生活，使比較抽象的數(shù)學(xué)知識具有了豐富的現(xiàn)實背景，學(xué)生更有興趣。
2.經(jīng)歷創(chuàng)造，加深認(rèn)識
當(dāng)然教學(xué)不能只是一味的迎合學(xué)生的興趣，要讓學(xué)生去經(jīng)歷一些富有挑戰(zhàn)性的問題，這樣才能理解、感受數(shù)學(xué)思想和方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思考。本課的教學(xué)難點是對重復(fù)部分的理解，所以我依次讓學(xué)生找出喜歡玩游戲、喜歡聊天、只喜歡玩游戲、只喜歡聊天和兩項都喜歡的這五部分的信息，反復(fù)讓學(xué)生說這幾部分的含義。
一、 自然數(shù)的現(xiàn)實意義
自然數(shù)概念的內(nèi)涵是豐富的，弗賴登塔爾提出――數(shù)的概念的形成可以粗略地分成以下幾種：計數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)以及計算的數(shù)；而對于數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而言，“計數(shù)的數(shù)”（序數(shù)）意義更大，他認(rèn)為無論從歷史的、發(fā)生的還是從系統(tǒng)的角度看，數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)發(fā)展的基石。在此基礎(chǔ)上，我們可以進一步細(xì)化、深入地認(rèn)識每一個自然數(shù)的實質(zhì)與意義。
首先看自然數(shù)的現(xiàn)實意義。每一個自然數(shù)的現(xiàn)實意義都極為豐富，其最基本的意義有兩個――基數(shù)與序數(shù)。例如自然數(shù)5，既可以表示某個集合的元素個數(shù)，（即自然數(shù)的數(shù)量數(shù)含義），也可以表示物體的位置和順序（即自然數(shù)的序數(shù)含義）。
在小學(xué)的低、中階段自然數(shù)的這兩方面（基數(shù)與序數(shù)）的教學(xué)價值非常大，但在教學(xué)實踐中往往忽視了“序數(shù)”教學(xué)的價值，僅僅停留在“第幾”的層面上，缺少對數(shù)學(xué)本身意義的挖掘，就如學(xué)生對“計數(shù)的數(shù)”的理解是“探索規(guī)律”教學(xué)的基石。
進一步拓展，我們可以知道自然數(shù)還有以下含義：1. 度量數(shù)。從某種意義上說，數(shù)量數(shù)是度量數(shù)的特例，度量數(shù)是數(shù)量數(shù)的擴充。數(shù)量數(shù)刻畫的是離散量（集合的元素）的個數(shù)多少，度量數(shù)刻畫的是連續(xù)量的大小問題，由于連續(xù)量是可以無限分割的量，因此為了更準(zhǔn)確地測量出某個量到底有多大，就需要產(chǎn)生更小的測量單位，如果以最小的測量單位（或者同時用多個測量單位表示）作測量結(jié)果的單位，用自然數(shù)表示就足夠了，但表達和交流時會非常麻煩，為了更恰當(dāng)?shù)乇硎緶y量結(jié)果，就必須產(chǎn)生新的數(shù)――分?jǐn)?shù)（但現(xiàn)實生活中表示量的大小通常用有限小數(shù)來表示，便于直觀感知量的大小，便于溝通交流，這是由現(xiàn)行的十進制計數(shù)系統(tǒng)導(dǎo)致的），這是從自然數(shù)擴充到有理數(shù)的重要現(xiàn)實動力。另外，為了使自然數(shù)的減法滿足封閉性，就必須將自然數(shù)集擴充到整數(shù)集，為使自然數(shù)的除法滿足封閉性，就必須將自然數(shù)集擴充到有理數(shù)集，滿足運算的封閉性也是數(shù)域擴充的重要數(shù)學(xué)動力。2. 比率數(shù)。自然數(shù)還可以表示兩個量（數(shù)）之間的比率關(guān)系。3. 計算的對象或結(jié)果。任何一個自然數(shù)都可以是計算的對象或計算的結(jié)果。4.數(shù)軸上的“點”。每一個自然數(shù)（每一個實數(shù)）都與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系。5. 用做編碼的符號。任何一個自然數(shù)都可以用來編碼。6.特別地還要強調(diào)“0”有以下幾點意義――“0”是一個概念，它表示“一個也沒有”；在位值制記數(shù)法中，“0”表示“空位（計數(shù)單位的個數(shù)是0個）”，起到占位作用；“0”是一個數(shù)，可以同其他數(shù)參與運算；“0”是標(biāo)度的起點或分界。
二、自然數(shù)的數(shù)學(xué)意義
自然數(shù)除了上述現(xiàn)實意義外，還有其數(shù)學(xué)意義，數(shù)學(xué)意義就是從其作為一個“數(shù)”本身的角度看“數(shù)”的內(nèi)涵，任何一個數(shù)都是 “計數(shù)單位與其個數(shù)乘積的累加就得到的”?！坝嫈?shù)單位”及其“個數(shù)”是構(gòu)成數(shù)的核心要素，真正認(rèn)識一個數(shù)必然要認(rèn)識這個數(shù)所涉及的計數(shù)單位，在小學(xué)階段“分?jǐn)?shù)”與“小數(shù)”都分兩次學(xué)習(xí)，第一次學(xué)習(xí)僅是“初步認(rèn)識”，第二次學(xué)習(xí)才是“意義”層次的學(xué)習(xí)。
由于自然數(shù)是用“十進位值制記數(shù)法”記錄的，所以計數(shù)單位是“1、10、100……”不同計數(shù)單位與其個數(shù)的累加就構(gòu)成了全部的自然數(shù)（某個計數(shù)單位的個數(shù)為“0”時，也要寫出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034=2×1000+0×100+3×10+4×1，或者寫成2034=2000+30+4，即自然數(shù)的拓展式。小數(shù)也是“十進位值制”的，增加小數(shù)的計數(shù)單位“01、001、0001……”后，其累加的過程與自然數(shù)的過程基本相同，只不過有“有限次累加”與“無限次累加”兩類，有限次累加就得到“有限小數(shù)”，無限次累加又分為兩種情形，其一是，不同計數(shù)單位的“個數(shù)”是有規(guī)律地出現(xiàn)的，如果計數(shù)單位的個數(shù)的情況復(fù)雜，沒有規(guī)律，則無限次累加的結(jié)果是“無限不循環(huán)小數(shù)”，即無理數(shù)。
同樣，分?jǐn)?shù)也可以看成是“分?jǐn)?shù)單位的累加”，這不僅延續(xù)了自然數(shù)的認(rèn)識，又為進一步理解分?jǐn)?shù)的性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)的加減運算打下了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。從這個角度來認(rèn)識分?jǐn)?shù)就使學(xué)生能夠真正理解為什么同分母分?jǐn)?shù)加減只需要“分子相加減而分母不變”，而異分母分?jǐn)?shù)加減法則必須“先通分，然后再分子相加減，分母不變”，從而進一步理解“加減法計算的本質(zhì)就是相同計數(shù)單位‘個數(shù)’相加減”，“通分的本質(zhì)就是尋找兩個分?jǐn)?shù)的相同計數(shù)（分?jǐn)?shù)）單位”，這也是分?jǐn)?shù)的通分、約分和擴分（尋找等值分?jǐn)?shù)）的理論依據(jù)。
最后簡要回答“0”為什么是自然數(shù)？“0”是自然數(shù)的意義是什么？實際上很難回答“0為什么又是自然數(shù)”，簡單可以說是“規(guī)定”的，是修正后的皮亞諾自然數(shù)公理中規(guī)定的，皮亞諾自然數(shù)公理規(guī)定“1”是第一個數(shù)，修正后規(guī)定“0”是第一個數(shù)。而規(guī)定“0”是自然數(shù)則意義重大。例如，用“0”來描述“空集”所含元素的個數(shù)，那么所有的自然數(shù)（包括0）就能完整刻畫“有限集合元素的個數(shù)”問題；0作為自然數(shù)集合的第一個數(shù)，每個數(shù)的后面都緊跟著一個確定的數(shù)，可以把所有的自然數(shù)一個緊跟一個地排成一列數(shù)，既不重復(fù)也不遺漏等。
三、自然數(shù)蘊含的數(shù)學(xué)思想：十進制與位值制
為了表示出一個“自然數(shù)”，在歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過五進制、十進制、二十進制、六十進制，但最多的是以10為數(shù)基的十進制。
古埃及記數(shù)法中有“十進制”卻沒有“位值制”的思想，如果需要記錄更大的數(shù)就必須產(chǎn)生表示更大單位的“新符號”，但有位值制思想后，則用有限個“符號”就能表示出無限的數(shù)，例如在“十進制”前提下只需要10個符號就能表示出所有的自然數(shù)。
但十進位記數(shù)法，離十進位值制計數(shù)法還有關(guān)鍵的一步要走，即“位置值制（簡稱‘位值制’）”。所謂“位值制”，是指相同的記數(shù)符號由于所處的位置的不同而可以表示大小不同的數(shù)目。由于有了位值制，就可以用有限的幾個數(shù)字表示出無限多個自然數(shù)，這是記數(shù)歷史上的一個奇跡。
用十進位值制記數(shù)法來表示數(shù)意義巨大，一是便于比較兩個自然數(shù)的大小，自然數(shù)大小比較時首先看自然數(shù)的位數(shù)，位數(shù)越多則這個數(shù)越大。二是更便于數(shù)的計算，例如所有的加減法做的不外乎都是“20以內(nèi)的加減法”，只不過“計數(shù)單位”不同，乘除法做的則都是“表內(nèi)乘除法”。
四、無限集合的個數(shù)問題
學(xué)習(xí)自然數(shù)除了前面所論述的現(xiàn)實意義、數(shù)學(xué)意義以及所蘊含的十進制、位值制思想外，還有一個重要問題即自然數(shù)集合的元素個數(shù)問題，這個問題推動了近代集合論的發(fā)展。
