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時間：2023-07-30 08:51:15
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高中階段數(shù)學(xué)課程的檢驗方式主要以隨堂考試為主，通過分?jǐn)?shù)的高低簡要判斷學(xué)生對課程內(nèi)容的掌握程度.錯題集的操作形式就是在作業(yè)中、在考試中產(chǎn)生，通過將學(xué)生每一次的錯題加以歸納整理，引導(dǎo)學(xué)生在對錯題的定向研究中尋找自己的知識漏洞，幫助學(xué)生學(xué)習(xí).依據(jù)操作方式的差異，高中數(shù)學(xué)錯題集可以分為以下幾類. 1.以時間線索為主導(dǎo)的錯題集.主要是針對學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不同階段的錯題收集.這種類型的操作方式，主要是將學(xué)生的錯題進行全面整理，但會面臨主題不突出、缺乏系統(tǒng)性的弊端.2.以課本章節(jié)為主導(dǎo)的錯題集.該類型的操作方式，以課程章節(jié)為主導(dǎo)，相比較于時間型的方式更具系統(tǒng)性，在分類整理中具有承上啟下的作用，幫助學(xué)生進行新舊知識之間的無縫對接.3.以錯題類型為主導(dǎo)的錯題集.這種分類方式主要以錯題的原因為線索進行整理.比如說，粗心大意與知識點不理解的分類，幫助學(xué)生快捷地彌補知識漏洞.這種收集方式，主要是立足于對時間型與課本章節(jié)主導(dǎo)型為基礎(chǔ)的操作分析，使用更加方便，一目了然.
二、建立高中數(shù)學(xué)錯題集的意義
建立高中數(shù)學(xué)錯題集，對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果具有明顯的現(xiàn)實意義.
首先，錯題集是提高高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的指導(dǎo)方法.通過對錯題的整理分析，幫助學(xué)生明確自己的思維特性，了解常見的錯題形式，對于糾正自己不恰當(dāng)?shù)乃季S方式有直接的指導(dǎo)作用.同時，在對錯題的分析中，可以提高學(xué)生認(rèn)真審題、了解題目意圖、分析推敲等能力.
其次，建立錯題集是幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)課程查漏補缺的重要形式.在多次的考試后，倘若學(xué)生沒有對錯題進行及時地歸納整理，會隨著時間的延長導(dǎo)致學(xué)生遺忘犯錯，以至于學(xué)生出現(xiàn)同一類型的錯誤多次重犯的狀況.建立錯題集，能夠彌補這一漏洞.在錯題的整理中，學(xué)生形成對數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的參考依據(jù)，在二次檢查中查漏補缺，提高解題能力.
最后，錯題集是幫助高中學(xué)生尋找數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的重要參考依據(jù).建立錯題集，能夠幫助學(xué)生了解重點內(nèi)容，并進行有針對性的課后復(fù)習(xí)，尋找數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)規(guī)律，在化繁為簡的過程中簡化解題思路.同時，建立錯題集，節(jié)約了學(xué)生的學(xué)習(xí)成本，避免了單純的題海戰(zhàn)術(shù)所帶來的壓力.在對錯題的集中復(fù)習(xí)中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.
一、小學(xué)數(shù)學(xué)課堂“理答”的內(nèi)涵和類型
（一）小學(xué)數(shù)學(xué)課堂“理答”的內(nèi)涵
理答是指教師對學(xué)生回答問題后的反應(yīng)和處理，是教師對學(xué)生答問結(jié)果及表現(xiàn)給予的明確有效的評價，以引起學(xué)生的注意與思考。通俗地說，“理答”是教師對學(xué)生言行的理睬。有效的理答能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生思維的積極性，營造一種積極探索、求知創(chuàng)造的人文化的課堂氛圍。
（二）小學(xué)數(shù)學(xué)課堂“理答”的類型
課堂“理答”根據(jù)教師的經(jīng)驗不同，也會出現(xiàn)不同的類型。有效的課堂“理答”主要有以下幾種類型：激勵型，發(fā)展型，診斷型和再組織型。反之，不當(dāng)?shù)睦泶痤愋蛣t有：重復(fù)發(fā)言型，不置可否型，環(huán)顧左右型，簡單判斷型，語言單調(diào)型，諷刺挖苦型和一味表揚型。
二、小學(xué)數(shù)學(xué)新老教師課堂“理答”對比及分析
（一）“理答”類型使用上的對比
在日常課堂中，我們可能見過這樣的場景：當(dāng)一些新教師提出有難度的問題被資優(yōu)生完美地回答后，新教師會迫不及待地加以肯定，并通過追問的形式將思維引向深入。而對此問題是否全體學(xué)生都理解了，尤其是一些思維比較緩慢的學(xué)生有沒有明白，新教師卻沒有放在心上。
反之，老教師則更注重使用合理的“理答”類型，讓學(xué)生有較多的自主發(fā)揮的時間和空間，因而學(xué)生對新知識的認(rèn)知度提高，這樣才能及時理解教師的“理答”意義。
（二）“理答”類型使用上的分析
很多新老師在學(xué)生回答時習(xí)慣性地看時間.碰到基礎(chǔ)差的學(xué)生就有些著急，急著幫他說出答案或者干脆說“誰能幫助他”，其實這等于讓該生靠邊站。然而，教學(xué)本來就是為了教給學(xué)生不會的東西.正是因為有不懂的存在，才有上課的意義。當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)遇到困難時，教師更需要耐心啟發(fā)引導(dǎo)，給他思考的時間，等待他自信地抬頭，這是一種尊重，也是一種喚醒。
那么老教師是如何在課堂當(dāng)中使用合理的“理答”呢？
首先，適時等待，延緩思考速度。由于很多新教師對課堂的把握還不是很充分，所以會出現(xiàn)緊跟時間走，就會出現(xiàn)不置可否型和諷刺挖苦型理答。
其次，改變理答內(nèi)容，拓展思維廣度。如在數(shù)學(xué)人教版六年級“用數(shù)對表示位置”一課時，當(dāng)學(xué)生理解了圖上的每一個位置都可以用一個數(shù)對表示，因為之前的學(xué)習(xí)都是圍繞縱軸和橫軸上的整數(shù)展開的，再加上受生活中座位編排的負(fù)遷移，學(xué)生非?？隙ǖ卣f：“是的，不是整數(shù)就找不到位置了。”老師說：“是呀，如果把我們的座位畫成圖，那么每個同學(xué)的位置只能用一個整數(shù)對來表示。不過，如果我將圖上的數(shù)稍作改動（將橫軸上的2去掉，將原來的3改為2，其余各數(shù)做相應(yīng)改動），現(xiàn)在，是不是這組同學(xué)就沒有位置了呢，或者他們的位置就不能用數(shù)對表示了呢？”，學(xué)生恍然大悟，原來圖上的標(biāo)記是人為的，可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或者字母等。通過這樣巧妙的理答.既拓展了學(xué)生的思維，還滲透了學(xué)生未來要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
再次，順勢延伸，挖掘思維深度。如數(shù)學(xué)人教版五年級下冊的“軸對稱圖形”時，當(dāng)教師出示右圖，讓學(xué)生判斷這幅圖形是否成軸對稱，學(xué)生粗看后馬上說“是，因為兩邊完全相同”。老師不露聲色地說：“不要過分相信自己的眼睛哦.要知道實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。”學(xué)生一聽此言，馬上動手，一會兒一學(xué)生說：“我把對應(yīng)點連起來后，量了量，發(fā)現(xiàn)兩個點到中問直線的距離不相等.所以不成軸對稱?！逼渌瑢W(xué)附和。老師說：“你講話有根有據(jù)。有條有理.真了不起！但是會不會問題出在圖上，把對稱軸的位置域錯了.如果這樣呢？（畫成與平行四邊形的斜邊平行）好像對應(yīng)點到直線的距離一樣呀，現(xiàn)在成軸對稱了吧！”學(xué)生稍稍遲疑后搶著說：“連線沒有跟這條直線垂直.不是的，不成軸對稱的。”案例中教師順應(yīng)學(xué)生的思維，將概念的本質(zhì)層層展開，使學(xué)生對軸對稱的性質(zhì)認(rèn)識更加清晰。
最后，捕捉亮點，保持課堂溫度理答也是增進師生情感、提高課堂和諧度的有效手段。
【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）32-0141-01
一、引言
作為一門自然學(xué)科，數(shù)學(xué)知識包羅萬象，但是，在高中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)當(dāng)中，數(shù)學(xué)知識更多的是復(fù)雜的邏輯關(guān)系、數(shù)字解答能力以及對幾何圖形的分析，對學(xué)生的抽象思維能力開始提出較高要求。老實說，相比其他科目，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更容易讓學(xué)生產(chǎn)生枯燥感，產(chǎn)生厭學(xué)情緒。但如果教學(xué)教學(xué)方法得當(dāng)，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)通過理論基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生舉一反三的對相同類型題做出解答，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)的解答中運用嚴(yán)密的思維和發(fā)散性思維，掌握了學(xué)習(xí)方法，運用數(shù)學(xué)思維，就會讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，主動的去學(xué)習(xí)。本文主要研究高中數(shù)學(xué)思想方法現(xiàn)狀。
二、高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的內(nèi)容
高中數(shù)學(xué)的思想方法教學(xué)在新課改以后，逐漸產(chǎn)生了變化，第一個是教師的責(zé)任意識得到了加強，教師在吸取傳統(tǒng)教育中的精華，并積極學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)中不斷實踐。高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)讓教師和學(xué)生之間的互動交流更加頻繁，使教師和學(xué)生亦師亦友，教師積極幫助學(xué)生創(chuàng)建數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中。
在教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，讓學(xué)生與教師之間多了一層平等的關(guān)系，教和學(xué)是相對的，在解答問題時，不是被動的學(xué)，而是倡導(dǎo)疑問精神，引導(dǎo)學(xué)生帶著疑問學(xué)，帶著疑問去聽，和教師共同解決數(shù)學(xué)問題。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)思維方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，在實踐和討論中學(xué)會數(shù)學(xué)的思想方法，提高數(shù)學(xué)成績。
三、高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)現(xiàn)狀的分析
受應(yīng)試教育影響，高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)現(xiàn)狀在現(xiàn)階段，并沒有完全的脫離傳統(tǒng)的教學(xué)模式，“題海戰(zhàn)術(shù)”依然存在。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中并沒有真正掌握學(xué)習(xí)方法和思想方法，有些學(xué)生的思維模式?jīng)]有被打開，所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與語文、外語的學(xué)習(xí)方法一樣，死記硬背，相同種類的類型題做很多遍，達到條件反射性記憶，見到做過的類型就套用模式，一旦出現(xiàn)沒有做過的類型題，就完全沒有了破解能力。教師在教學(xué)中，依然讓學(xué)生記下公式，根據(jù)習(xí)題類型套用公式，這樣的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，并沒有真正意義的實現(xiàn)學(xué)生的素質(zhì)教育。因為現(xiàn)階段，我國實施素質(zhì)教育政策，新的教育體制，讓教師正在逐步轉(zhuǎn)變教學(xué)方法，但是高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的培訓(xùn)機構(gòu)較少，不能讓教師有一個固定的教學(xué)理念和教學(xué)目標(biāo)，教師的教學(xué)思想方法需要在實踐中不斷的探索，所以教師會對新的數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法不習(xí)慣。
高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)該讓教師樹立正確的教育意識，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和洞察力，比如：在幾何圖形學(xué)習(xí)中，學(xué)生看不出平面的圖形，就可以讓學(xué)生使用模型、工具進行理解，讓學(xué)生樹立立體思維模式，學(xué)習(xí)可以讓學(xué)生進行美術(shù)的拓展學(xué)習(xí)，讓學(xué)生更好的對數(shù)學(xué)幾何進行理解。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不應(yīng)該像傳統(tǒng)教育一樣，讓學(xué)生反復(fù)做題，盲目的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起不到鍛煉思維能力的作用。要想學(xué)習(xí)好一門課程，首先應(yīng)該對這門課程產(chǎn)生濃厚的興趣，教師可以在教學(xué)中，讓學(xué)生們了解學(xué)好數(shù)學(xué)的重要性，數(shù)學(xué)的知識貫穿于每個人的日常生活中，任何科學(xué)的發(fā)明創(chuàng)造都少不了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，教師在教學(xué)中可以先讓學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。在課堂上，教師應(yīng)該在枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，找到有趣的知識點，讓學(xué)生共同討論，也讓學(xué)生適當(dāng)?shù)男菹追昼姶竽X，保證講到重點、難點問題時，學(xué)生的注意力集中。在高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中，應(yīng)該主要培養(yǎng)學(xué)生的思維模式，提高課堂的上課效率和課后的自主學(xué)習(xí)效率。
四、結(jié)語
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是以理論知識為基礎(chǔ)，為學(xué)生創(chuàng)建數(shù)學(xué)的思維能力，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)中找到自己的學(xué)習(xí)方法，遇到問題時有自己的思想方法，高中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)該讓教師積極學(xué)習(xí)更好的教學(xué)模式，增強自己的教學(xué)水平，在教學(xué)中把數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法傳達給學(xué)生，讓學(xué)生形成自己的數(shù)學(xué)思維模式，提高學(xué)習(xí)效率。綜上所述，高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)該在教學(xué)實踐中不斷的探索與完善。
參考文獻：
一、傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)障礙
受到傳統(tǒng)的教育理念以及過去的課程教學(xué)理論的影響，多年來，中國的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)方法模式、呈現(xiàn)的方式、課程內(nèi)容的體系以及價值上的定位，都相對沒有出現(xiàn)較大的突破。傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)在應(yīng)用題上的教學(xué)，一般是對相關(guān)條件進行簡單化或者純粹化的實際的問題，或者是對這些實際問題的數(shù)學(xué)模擬。傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)在應(yīng)用題的教學(xué)中，往往已經(jīng)把問題轉(zhuǎn)化成為純粹的數(shù)學(xué)框架，然后問題以及條件都經(jīng)過相關(guān)的篩選，所以這些問題的條件結(jié)構(gòu)不存在任何的矛盾性，而且條件也是相當(dāng)完備的，這樣就導(dǎo)致了正確的答案也必然只有唯一的一個。所以，對于小學(xué)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的傳統(tǒng)教學(xué)，最大的特點就是和現(xiàn)實生活的脫節(jié)，影響了小學(xué)生形成綜合的能力。實際上，傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)過程之中存在的教學(xué)障礙和問題主要有以下的一些狀況。
（一）應(yīng)用題呈現(xiàn)的形式單一化
當(dāng)前，小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用題教學(xué)在呈現(xiàn)的形式上相對單一化，并且結(jié)構(gòu)較為封閉。雖然在編撰相關(guān)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材的時候，往往充分地考慮到小學(xué)階段學(xué)生的認(rèn)知水平以及識字的水平，而且相對而言，小學(xué)低年級階段的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的呈現(xiàn)方式，主要還是以表格或者圖畫的形式為主，而從小學(xué)中年級的階段開始，很多小學(xué)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題主要都是使用文字形式來進行表達和述說，成片累牘的大段描述，很大程度上打擊了小學(xué)生對于小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)熱情。而且很多傳統(tǒng)過得數(shù)學(xué)應(yīng)用題的編寫，往往是要求的條件十分充足，并不多余，而且形成的答案也往往是唯一的。小學(xué)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題在結(jié)構(gòu)上相對封閉，追求完備性也就讓小學(xué)生在解決應(yīng)用題的時候，容易形成思維上的慣性。
（二）應(yīng)用題的教學(xué)知識與時代脫節(jié)，忽視邏輯化
當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，特別是設(shè)置編寫數(shù)學(xué)應(yīng)用題的時候，往往和時代的現(xiàn)實狀況相互脫節(jié)，特別是很多小學(xué)生都不熟悉，甚至是過去時代的內(nèi)容都仍然存在小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用題之中。一部分的數(shù)學(xué)教師和題目的編寫者，在教學(xué)和實際編纂題目的過程當(dāng)中，存在一定的惰性，導(dǎo)致一批題型陳舊的數(shù)學(xué)應(yīng)用題題目無限循環(huán)使用，導(dǎo)致了小學(xué)生在解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的時候，要碰到一些根本和時代脫節(jié)的內(nèi)容。
而數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)過程之中，忽視邏輯化的教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生的思維能力容易趨向于單一。數(shù)學(xué)應(yīng)用題對于學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)是非常重要的，過去很多小學(xué)的數(shù)學(xué)教師也在這一個方面積累了非常豐富的經(jīng)驗，但是應(yīng)該說，學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)，應(yīng)該更加注重其專門性的思維能力，如邏輯化的思維能力，或者發(fā)散性的思維能力，這些都是過去在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)時候所忽視的。
（三）應(yīng)用題的教學(xué)過分類型化、封閉化
不同出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，在應(yīng)用題板塊的教學(xué)內(nèi)容、編排上面，仍然是存在一定的差異的。應(yīng)該明確的一點，就是數(shù)學(xué)的應(yīng)用題的分類只是作為數(shù)學(xué)教師的參考，特別是作為一種教學(xué)上的依據(jù)，不過一部分的數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)過程當(dāng)中，就往往會把這種模塊化、類型化的思維灌輸給學(xué)生。一部分的數(shù)學(xué)教師喜歡人為去劃定數(shù)學(xué)應(yīng)用題的類型模塊，每一種板塊都會分出幾種類型，熱衷于讓學(xué)生去記憶公式，這樣學(xué)生并不會掌握分析的方法，而只是在套用公式。所以，這樣過分類型化，會造成學(xué)生知識無法產(chǎn)生有效化的遷移，而對實際問題的解決更加無從談起。
二、小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)策略
當(dāng)前，學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的學(xué)生，很多都感覺到數(shù)學(xué)應(yīng)用題比較難學(xué)，數(shù)學(xué)教師也感覺應(yīng)用題教學(xué)是一個教學(xué)的難點，應(yīng)用題成為了一個亟需攻破的教學(xué)堡壘。新的課程標(biāo)準(zhǔn)頒布之后，中國的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)改革也必然要走向一些新的嘗試階段之中，并且要以解決問題作為教學(xué)的核心，小學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)將會解決更多的教學(xué)障礙，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)。因此，對于小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用題教學(xué)障礙，筆者提出了下列的解決思路。
（一）對應(yīng)用題的設(shè)計要趨向于開放化
數(shù)學(xué)教師可以考慮設(shè)計一些結(jié)構(gòu)上不夠完備的數(shù)學(xué)問題。比如，數(shù)學(xué)教師在設(shè)計數(shù)學(xué)應(yīng)用題的時候，可以考慮設(shè)置一些條件不夠充足的應(yīng)用題，讓小學(xué)生在解答應(yīng)用題的時候可以自己進行分析，然后捕捉到缺乏的條件，自己進行調(diào)查并且解決。這樣可以培養(yǎng)小學(xué)生搜集并且處理信息的能力。
而設(shè)計出一些數(shù)據(jù)上有一定盈余的應(yīng)用題也是一種方法。設(shè)計出數(shù)學(xué)條件會有過剩的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，這就要求小學(xué)生在解答應(yīng)用題的時候，要做到對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的準(zhǔn)確判斷，并且進行合理化的取舍，從而培養(yǎng)出學(xué)生對于實際問題的解決能力。
或者考慮設(shè)計出一些信息較為雜亂的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，讓學(xué)生在雜亂的題目條件之中進行梳理，讓學(xué)生能夠進行篩選而且解決，從而讓學(xué)生能夠增強出更多的綜合素養(yǎng)，提升綜合能力和興趣。
（二）對基本的解題策略的引導(dǎo)
基本的解題策略要包含以下一些要素：首先，是對學(xué)生的收集信息的能力進行引導(dǎo)。學(xué)生要更清晰地對這些已知條件以及所需要的條件進行收集，綜合起來之后再繼續(xù)擰解題。其次是對于數(shù)量關(guān)系的分析能力，這一方面教師要注重不要僅僅將這一項能力作為工具傳授給學(xué)生，而是能夠在教學(xué)過程當(dāng)中，示范性地運用這個方法，讓學(xué)生能夠?qū)W習(xí)到這種方法，對這個方法心中有數(shù)。其次，是對于解題方法的摸索，特別是解題的步驟，對于解答問題能夠分成幾個部分，形成流程化的思維，這是需要教學(xué)上進行持續(xù)的培養(yǎng)和訓(xùn)練的一個要點。
學(xué)生使用數(shù)學(xué)方面的知識對實際的問題進行解決的時候，第一個步驟就是要將最為有用并且全面的信息從紛繁復(fù)雜的實際問題之中抽絲剝繭出來，抽象并且建構(gòu)成為數(shù)學(xué)化的模型，然后再去運用一些數(shù)學(xué)方法對這個模型求出正確的解答或者是近似的解答，最終回歸到現(xiàn)實問題當(dāng)中去檢驗。
數(shù)學(xué)教育要給予每個人在未來生活中最有用的東西。因此,我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中不能把目光停留在數(shù)學(xué)知識的講解和解題方法的運用上,而應(yīng)以它們?yōu)檩d體,加強對學(xué)生思維能力的訓(xùn)練?，F(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為,數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)的是學(xué)生的思維習(xí)慣和思維品質(zhì),是數(shù)學(xué)思維教育素質(zhì)化的重要內(nèi)容。思維培養(yǎng)的成功與否將直接影響數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高,影響著中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的深化與發(fā)展。
數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象(空間形式與數(shù)量關(guān)系)互相作用并按一定規(guī)律產(chǎn)生和發(fā)展的。數(shù)學(xué)思維的種類有很多,從具體形象思維到抽象邏輯思維,從直覺思維到辨證思維,從正向思維到逆向思維,從集中思維到發(fā)散思維,從再現(xiàn)性思維到創(chuàng)造性思維,從中體現(xiàn)出了多種多樣的思維品質(zhì)。如思維的深刻性、邏輯性、廣闊性、靈活性、創(chuàng)造性、發(fā)散性等。我認(rèn)為,高中數(shù)學(xué)教學(xué)中主要應(yīng)通過對學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)達到提高思維能力的目的,具體體現(xiàn)在以下幾個方面:
一、注重對基礎(chǔ)知識、基本概念的教學(xué)
高一學(xué)生,從初中數(shù)學(xué)到高中數(shù)學(xué)將經(jīng)歷一個和很大的跨度,主要表現(xiàn)在知識內(nèi)容方面的銜接不自然,對高中數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)形式極不適應(yīng)。比如第一冊第一章的集合與簡易邏輯,表面上看似很簡單,而實際運用中卻不能準(zhǔn)確把握那些用集合語言所描述的題目含義。再如第二章函數(shù),這是高中數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容,教師會花很大的精力去講授,學(xué)生會都會下很大力氣來做題,結(jié)果卻不如人意。學(xué)生做題時主要是在解具體題目時很難與基本概念聯(lián)系起來。如經(jīng)常遇到的二次函數(shù)問題,有時是求值域,有時是解方程或不等式,學(xué)生感到茫然。我把它們統(tǒng)一在一起,強調(diào)二次項系數(shù)對稱軸、判別式等幾個因素,幫助學(xué)生克服了思維的無序性。這一章內(nèi)容是思維方法從直觀到抽象、從離散到凝聚的過渡,是訓(xùn)練學(xué)生思維深刻性和廣闊性的重要階段。
二、加強數(shù)學(xué)思想方法的滲透
高中數(shù)學(xué)的四大數(shù)學(xué)思想和十幾種數(shù)學(xué)方法是教學(xué)的關(guān)鍵與靈魂。一是解題的方法。為培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識,提高學(xué)生分析問題解決問題的能力,教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體問題,教給學(xué)生解答的基本方法、步驟。二是數(shù)學(xué)思想方法。思想方法把不同章節(jié)、不同類型的數(shù)學(xué)問題統(tǒng)一了起來,如數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)了思維的形象性、創(chuàng)造性,化歸思想提高了學(xué)生的靈活性、辨證性等。如換元法是一種常見的變形手段,它不只限于解某一章或某一類的問題。注重對這些思想方法的滲透,可以提高學(xué)生歸納總結(jié)及聯(lián)想能力,將數(shù)學(xué)知識和方法的理解提高到一個新的階段,這對思維品質(zhì)的培養(yǎng)十分有益。
三、挖掘數(shù)學(xué)例題習(xí)題的功能
一、初中數(shù)學(xué)采取學(xué)案導(dǎo)學(xué)法的必要性
作為新型教學(xué)模式，學(xué)案導(dǎo)學(xué)教學(xué)法從上世紀(jì)末引用到教學(xué)以來，在新課程背景下日益成為教育研究者與基層的教育工作者關(guān)注之焦點。將這一教學(xué)方法引入初中數(shù)學(xué)課堂，具有多方面的優(yōu)勢。首先，將數(shù)學(xué)學(xué)案作為引導(dǎo)的合作學(xué)習(xí)、自主創(chuàng)新方法有助于克服初中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)上教學(xué)存在的不足，大大促進師生、生生的合作和交流。數(shù)學(xué)學(xué)案和教材擔(dān)負(fù)傳授知識、培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力、引導(dǎo)思路的作用，在數(shù)學(xué)學(xué)案引導(dǎo)下，學(xué)生的動手動腦能力得到提升，進行自學(xué)和自練，獨立閱讀、思考以及解決問題的能力得到提升。其次，新教育之下的新型師生關(guān)系也得到建立。學(xué)生的探究與教師的指導(dǎo)互相結(jié)合，實在是為學(xué)生在教師指導(dǎo)之下對學(xué)習(xí)活動進行自主探究，師生間相輔相成、緊密聯(lián)系，相互作用。教師的指導(dǎo)是學(xué)生自主探究實踐的前提，教師以學(xué)生自主探究為指導(dǎo)基層，達到了師生相互共同學(xué)習(xí)的目的。
二、初中數(shù)學(xué)學(xué)案導(dǎo)學(xué)的類型
根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)的差異性，學(xué)案導(dǎo)學(xué)教學(xué)法可以分成不同類型，每一類型都各具特色。根據(jù)現(xiàn)有的分類方式，和相關(guān)的調(diào)查訪談，現(xiàn)將學(xué)案進行以下三個維度的劃分：課程進度、課程類型、以及問題設(shè)計。
1.課程進度類。依據(jù)課程內(nèi)容進度的不同，學(xué)案可分為新授課、復(fù)習(xí)課和習(xí)題課。其一，新授課是以新知識的學(xué)習(xí)為主要任務(wù)，是學(xué)生獲取新的知識、進行知識結(jié)構(gòu)改善的過程，也是學(xué)生的認(rèn)知能力、創(chuàng)新能力、思維能力的發(fā)展過程。在具體的教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)依據(jù)學(xué)生們的認(rèn)知規(guī)律進行學(xué)案的制定，體現(xiàn)注重知識的連續(xù)性、進行基礎(chǔ)的配套練習(xí)等特點。在學(xué)案當(dāng)中學(xué)習(xí)目標(biāo)的確定上，要具體、完整、規(guī)范。其二，復(fù)習(xí)課目的在于鞏固、加深課本的知識，對已學(xué)知識進行梳理、歸納、轉(zhuǎn)化辨析，對知識間的內(nèi)在聯(lián)系進行挖掘，達到知識的融會貫通，以提升學(xué)生進行實際問題解決的能力。在這一過程當(dāng)中，教師要選擇體現(xiàn)學(xué)科的能力點、知識點、學(xué)科思維特點的題目作為學(xué)案的配套練習(xí)，例如經(jīng)典題目、歷年中考試題等。其三，習(xí)題課作為學(xué)生進行概念鞏固、公式演練、提升能力的“主戰(zhàn)場”，教師的正確引導(dǎo)至關(guān)重要，主要體現(xiàn)為在學(xué)生活動過程中，教師在教學(xué)情景設(shè)置上既要體現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，又要體現(xiàn)知識發(fā)展的過程和學(xué)生進行事物認(rèn)識的規(guī)律。習(xí)題課的學(xué)案，在選題上十分關(guān)鍵，教師要根據(jù)教學(xué)的內(nèi)容和重點，有針對的精心選題，所選的題型應(yīng)當(dāng)具有代表性，其思路方法則具備一般性，聯(lián)系知識上則具有廣泛性。
2.課程類型類。初中數(shù)學(xué)課程類型一般分為概念課和命題課，不同的類型所使用的學(xué)案各不相同。前者的學(xué)案側(cè)重于把抽象的概念具體化，以幫助學(xué)生在已掌握的概念基礎(chǔ)之上進行新概念的同化，從具體到抽象進行概念的理解掌握；后者更為注重對學(xué)生的邏輯思維進行培養(yǎng)、訓(xùn)練，將鍛煉學(xué)生歸納推理的能力作為重點。其一，對于概念課，學(xué)案材料一般豐富生動具體、習(xí)題的形式多樣。教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生克服概念具有的抽象性，從感性的圖形、定義當(dāng)中概況本質(zhì)特性，讓學(xué)生對于概念的來龍去脈充分了解，以加深對于概念的理解。例如，“棱長相等的長方體稱為正方體”這一概念，教師通過具體的例子，抽象出概念的基本要素——角、邊及其相互間存在的數(shù)量關(guān)系與空間關(guān)系，讓學(xué)生真正掌握概念本質(zhì)含義，并運用到實際的問題解決當(dāng)中來。其二，對于命題課，在學(xué)案編制上重視對于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，強調(diào)通過課前預(yù)習(xí)與前測學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生對所學(xué)的知識和已有知識進行關(guān)系確定，從而找到數(shù)學(xué)命題本身的生長點，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)定理生成的過程，為學(xué)生加深理解、認(rèn)識創(chuàng)造條件。例如，在等式性質(zhì)課程當(dāng)中，學(xué)案首先闡述學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)命題——等式性質(zhì)的必要性，給予已有的概念幫助學(xué)生建立起新舊知識間的聯(lián)系，爾后再引入具體的課程知識。
中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）04-205-01
在本文中主要是針對數(shù)學(xué)教學(xué)中一些普遍的問題進行變式教學(xué)，通過變式教學(xué)的效果與傳統(tǒng)教學(xué)效果進行比較，在其中發(fā)現(xiàn)變式教學(xué)的優(yōu)越性。教師應(yīng)該對所要進行的課題進行精心的設(shè)計和變式，一步步的引導(dǎo)學(xué)生在一系列的變化中發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的不變性，在本質(zhì)不變的前提下探索變化的事物規(guī)律，從而不僅牢固的掌握到所學(xué)的知識還能不斷提升自身的數(shù)學(xué)思維能力。
一、高中數(shù)學(xué)課堂變式教學(xué)的必然性
1、新課堂教育改革的需要
隨著國家對教育界中提出新課堂教學(xué)改革，在高中教育中不斷的進行了翻天覆地的變化。國家的教育水平是國家今后在國際中發(fā)展的基礎(chǔ)關(guān)系這國家的未來。我國學(xué)生在進行基礎(chǔ)教育的階段基本上大多數(shù)時間都是在課堂中度過的，因此課堂教學(xué)對學(xué)生的成長發(fā)展具有很大的影響，在新課標(biāo)的課堂教學(xué)中進行變式教學(xué)突破傳統(tǒng)教學(xué)顯得尤為重要。
2、當(dāng)今社會對人才培養(yǎng)的需要
現(xiàn)代化社會對于人才的需要非常迫切，但是由于社會在不斷發(fā)展，要求適應(yīng)現(xiàn)代化社會的人才類型也越來越復(fù)雜化，學(xué)生在進行基礎(chǔ)教育的過程就是為今后成才奠定基礎(chǔ)。學(xué)生不僅要注重知識的積累更重要的是要注重自身全面發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生各方面全面發(fā)展就必須在課堂教學(xué)中轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，進行變式教學(xué)，不斷提高學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，培養(yǎng)出適應(yīng)現(xiàn)代化社會發(fā)展需要的人才。
二、變式教學(xué)案例解析
1、“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式”的案例
在這個案例中首先是明確教學(xué)的目標(biāo)，教學(xué)目標(biāo)是要通過學(xué)生猜想出兩個計算的公式再運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想讓學(xué)生了解到原始公式的得來過程，在推導(dǎo)公式的過程中理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。進行這類教學(xué)目標(biāo)的大致過程基本為“培養(yǎng)學(xué)生觀察——猜想——證明的科學(xué)思維方式”。讓學(xué)生在大致掌握到基本的公式和解題思路后通過一系列的練習(xí)訓(xùn)練和變式練習(xí)來提高學(xué)生的思維能力和解題能力。
在進行變式教學(xué)中首先教師要針對同角三角函數(shù)相關(guān)問題進行提問如：任意一個角α的三角函數(shù)數(shù)值的定義是什么等，通過此類問題的提出教師再組織學(xué)生成立一個討論小組，并適當(dāng)?shù)膶@些小組進行逐步的引導(dǎo)，逐漸得出證明同角三角函數(shù)的兩種關(guān)系式。在講解同一題目時教師能夠通過這題的深刻講解讓學(xué)生首先掌握到相關(guān)的知識點，再針對同一問題不斷的進行相應(yīng)的變式，通過變式不斷轉(zhuǎn)換問題，讓學(xué)生在轉(zhuǎn)換的問題中不斷運用所學(xué)到的相關(guān)知識進行解答，在解答過程中逐漸了解到問題的本質(zhì)是沒有變的，變的知識問題的形式，掌握到了相關(guān)知識點無論問題怎么轉(zhuǎn)變都能夠通過相關(guān)的知識去解答。
2、“已知解析式求函數(shù)定義域”的案例
在此案例中數(shù)學(xué)教師主要是通過教授學(xué)生掌握好函數(shù)定義域的球閥，主要是分式函數(shù)、根式函數(shù)并且理解函數(shù)定義域的集中常見的類型。在教學(xué)過程中教師通常會發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于這類問題中往往會出現(xiàn)計算錯誤，集中函數(shù)類型的定義域定義理解不清楚等方面的問題。教師在針對此類問題中，對于這個知識點的學(xué)習(xí)首先引出相關(guān)的問題，在相關(guān)問題提出后再結(jié)合實際的例題對學(xué)生進行詳細(xì)的講解，首先要學(xué)生明確什么是函數(shù)的定義域這一概念“使得函數(shù)解析式有意義的所有實數(shù)x的集合，是函數(shù)的定義域”。掌握到函數(shù)定義域概念后能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不至于將知識點弄混。
教師在針對函數(shù)定義域解析的問題中首先講解一道涉及面較廣的函數(shù)定義域解析例題，在通過對學(xué)生的詳細(xì)講解后讓學(xué)生初步對定義域的求解過程和不同類型定義域求解方式都有一定的掌握再通過同一道題進行相應(yīng)的變式分析，讓學(xué)生在變式過程中通過不斷的練習(xí)慢慢理解不同類型的函數(shù)定義域應(yīng)該采用何種解題手法去解決。這種變式的教學(xué)方式不僅能夠節(jié)省教師的精力和時間，還能讓學(xué)生在有限的教學(xué)課堂中增加練習(xí)的力度，在充分的練習(xí)中鞏固當(dāng)節(jié)課所學(xué)到的知識，提高教師的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。
總結(jié)：高中數(shù)學(xué)在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中無法有效的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對于這種模式中培養(yǎng)出來的學(xué)生不能完全適應(yīng)現(xiàn)代化社會對于人才類型的需求，為了響應(yīng)新課標(biāo)的要求和現(xiàn)代化社會對于人才的需求在基礎(chǔ)教育過程中教師要不斷的改善教學(xué)方式，符合現(xiàn)代化教育理念的發(fā)展，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中實施變式教學(xué)，通過變式教學(xué)的優(yōu)勢逐漸培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和各方面能力的培養(yǎng)，完善我國基礎(chǔ)教育的教學(xué)體制。
【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）20-0236-01
數(shù)學(xué)學(xué)科是一門典型的工具型學(xué)科，對培養(yǎng)學(xué)生的推理能力與思維能力均有著十分重要的意義，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，轉(zhuǎn)化思維模式是一種需要學(xué)生重點掌握的思維能力，讓學(xué)生理解與應(yīng)用轉(zhuǎn)化思維，可以幫助學(xué)生更好的理解所學(xué)的知識。
1.初中數(shù)學(xué)的“轉(zhuǎn)化思想”分析
1.1語言轉(zhuǎn)化
語言轉(zhuǎn)化即使用語言表達方式進行轉(zhuǎn)化的一種形式，如將日常語言轉(zhuǎn)化為所學(xué)的數(shù)學(xué)語言，將數(shù)學(xué)題目中應(yīng)用等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，將數(shù)學(xué)學(xué)科中的基本規(guī)律轉(zhuǎn)化為文字語言，將幾個中的符號語言、圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言。
1.2類比轉(zhuǎn)化
類比轉(zhuǎn)化即將對象轉(zhuǎn)化為與其相類似的對象，例如，在分式中的加減乘除與通分、約分等內(nèi)容就可以將其轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的加減乘除與通分、約分的概念；整體因式分式的概念就可以將其轉(zhuǎn)化為無理式因式分解的有關(guān)概念；一元一次不等式的概念以及解題方法就可以將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程的概念與解題方法；有理數(shù)的有關(guān)概念可以轉(zhuǎn)化為算術(shù)數(shù)的有關(guān)概念，在進行解題時只需要注意絕對值即可。
1.3分解轉(zhuǎn)化
分解轉(zhuǎn)化即將綜合性的分體分解為若干的小問題，一般情況下，在解決綜合性問題時都需要采取這樣的解題方法，例如，在解決分式運算的相關(guān)問題時，就可以將其轉(zhuǎn)化為因式的分解，在解決平面幾何問題時就可以將復(fù)雜的圖形分解成為不同的基本圖形。
1.4等價轉(zhuǎn)化
等價轉(zhuǎn)化是一種將未知事物轉(zhuǎn)化為另外一種事物的轉(zhuǎn)化方法，例如，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，將減法轉(zhuǎn)化為加法；將多元方程轉(zhuǎn)化成一元方程，將無理方程和分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程；將點與點間的距離轉(zhuǎn)化為三角問題。
1.5數(shù)形轉(zhuǎn)化
數(shù)形轉(zhuǎn)化即在數(shù)字和圖形間建立關(guān)系，并將其進行互相轉(zhuǎn)化的一種解脫方式，例如，根據(jù)題意構(gòu)造出函數(shù)，根據(jù)圖形構(gòu)造出方程，根據(jù)等式構(gòu)造出圖形，根據(jù)函數(shù)圖像來分析其性質(zhì)。
1.6間接轉(zhuǎn)化
間接轉(zhuǎn)化即通過間接的方法來解決問題的一種方式，例如，在解決應(yīng)有題時，設(shè)置間接未知數(shù)，利用換元法來解題，在平面幾何中采取逆推與添加輔助線的方式等等。
2.“轉(zhuǎn)化思想”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
2.1已知同未知之間的轉(zhuǎn)化
在數(shù)學(xué)解題之中，已知量和位置量，常量和變量并不是完全絕對的，而是具備著相對性的特征，在解決某些問題時，將字母看作已知變量，將數(shù)字看作未知變量可以達到一個意想不到的成效。
例1：
如果x= ，求x5+2x4-5x3-x2+6x-5的值。
在解題這一類型的題目時，就可以將“轉(zhuǎn)化思想”應(yīng)用在其中，將5作為未知量，將x作為已知量進行分析，那么在此時，根據(jù)x= 可以得出5=（x+1）2，那么x5+2x4-5x3-x2+6x-5就能夠轉(zhuǎn)化為x5+2x4-（x+1）2x3+[（x+1）2+1]x（x+1）2=x5+2x4-x5-2x4-x3-x2+x3+2x2+2x-x2-2x-1=-1.
2.2特殊和一般之間的轉(zhuǎn)化
在解決有著任意條件的問題時，將特殊轉(zhuǎn)化為一般，就能夠快速準(zhǔn)確的得出正確的答案。
例2：
已知（m+1）x4-（3m+3）x3-2mx2+18m=0，代數(shù)任何實數(shù)m均可以得到共同實數(shù)解，求該方程的實數(shù)解。
在解決這一類型的題目時，考慮到m是任意實數(shù)，那么就可以將m取0和-1，0與-1代入（m+1）x4-（3m+3）x3-2mx2+18m=0就可以得到兩個方程，即x4-3x3=0與2x2-18=0，此時，可以求解出x=3
該種題目是初中數(shù)學(xué)中常見的一種類型，解題的難度也相對偏高，很多學(xué)生都存有困惑，在實際的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該強化此類型題目的訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握該種類型題目的解題方法。
2.3相等與不等之間的轉(zhuǎn)化
例3，已知a、b、c均為正整數(shù)，且滿足a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c，求a、b、c的值。
在解決這類型題目時，根據(jù)a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c移動之后就可以得到以下的等式：
，由于 ，綜合起來，就可以得出 ，這就可以解得 ，
c-4=0，那么a的值為3，b為6，c為4.
2.4多元與一元的轉(zhuǎn)化
在解決某類型的題目時，可以適當(dāng)選定好主元，避開其他的干擾因素，該種解題方法在多元高次多項式、代數(shù)式的求解中較為常用。
例4，分解因式x4+x2+2ax+1-a2.
在解決此類型的問題時，如果直接將x作為主元來分解因式，不僅難度較大，也會浪費大量的時間，此時，就可以轉(zhuǎn)換解題思想，將a作為主元進行分解，x4+x2+2ax+1-a2經(jīng)過整理與分解之后，可以得到如下的因式：
a2+2ax+（x4+x2+1）=-[（a2-2ax+x2）-（x4+2x2+1）]=-[（a-x）2-（x2+1）2]=-（a-x+x2+1）（a-x-x2-1）=（x2+x-a+1）（x2-x+a+1）。
在解決此類問題時，有著眾多的方法，具體的解題方法要根據(jù)題目的條件與含義來定，選擇其中最為快速、簡單的解題方式。
3.初中數(shù)學(xué)中“轉(zhuǎn)化思想”應(yīng)用的注意事項
3.1注意轉(zhuǎn)化的條件
在應(yīng)用“轉(zhuǎn)化思想”時，要注意到該種解題方式是具備條件的限制的，如果忽略了某些基本的條件那么解題就會出現(xiàn)問題，在教學(xué)的過程中，教師必須要熟知教材內(nèi)容，明確各個知識點之間的轉(zhuǎn)化條件，讓學(xué)生明確轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的條件以及創(chuàng)造的方式。
3.2注意進行強化訓(xùn)練
在具體的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的要求與教學(xué)內(nèi)容的差異循序漸進的將轉(zhuǎn)化思想滲透到教學(xué)過程中，同時，還需要采取科學(xué)有效的方式將方法與學(xué)習(xí)進行有機的結(jié)合，幫助學(xué)生理解轉(zhuǎn)化思想的益處，在解決問題時，要幫助學(xué)生將不同的知識點進行有機的結(jié)合。此外，在日常教學(xué)中，應(yīng)該加強對學(xué)生的訓(xùn)練與指導(dǎo)，遵循先易后難的訓(xùn)練原則，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的思維定勢，如果學(xué)生順利的完成解題過程，則適時的進行表演，讓學(xué)生體會到解題的喜悅，自覺的將轉(zhuǎn)化的思想應(yīng)用到解題過程之中。
3.3利用轉(zhuǎn)化思維來聯(lián)系知識與知識之間的結(jié)構(gòu)
指導(dǎo)學(xué)生使用轉(zhuǎn)化思想就能夠幫助學(xué)生通過少量的基礎(chǔ)性問題與知識點來解決一類型的問題，從這一層面而言，轉(zhuǎn)化思維能夠?qū)W(xué)生所學(xué)的知識串聯(lián)起來，考慮到這一問題，教師在進行教學(xué)的過程中要重視基礎(chǔ)性問題與知識的傳授，讓學(xué)生可以實現(xiàn)穩(wěn)扎穩(wěn)打。
每個人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都存在著許多認(rèn)知錯誤，這些錯誤不僅影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，阻礙其進步，也逐漸摧毀著學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。隨著對數(shù)學(xué)認(rèn)知錯誤研究的深入，越來越多的人已經(jīng)意識到需要把錯誤看成一種有效的教學(xué)資源。為了全方面地了解學(xué)生的認(rèn)知錯誤，明確學(xué)生通常會在哪些問題上出現(xiàn)何種類型的錯誤，本文將對數(shù)學(xué)認(rèn)知錯誤的研究從內(nèi)容、方法、結(jié)果方面進行整理。
一、研究現(xiàn)狀
自從1925年美國學(xué)者Buswell和Judd對學(xué)生算術(shù)錯誤進行診斷后，德國、蘇聯(lián)等國家也開展了關(guān)于學(xué)生算術(shù)錯誤的研究，自此開始，國際上關(guān)于數(shù)學(xué)錯誤的研究經(jīng)歷了從診斷錯誤分析原因到發(fā)現(xiàn)錯誤合理性并研究其教育功能兩個階段的發(fā)展。而國內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)錯誤的研究最早則出現(xiàn)在上個世紀(jì)八十年代，經(jīng)過三十幾年的發(fā)展，已經(jīng)形成了自身的一些特點。綜合國內(nèi)外的研究來看，雖然發(fā)展并不同步，但各自的關(guān)注點也不乏相同之處。
1.研究內(nèi)容
學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的錯誤隨處可見，研究者的關(guān)注點不同，研究的內(nèi)容自然也是多樣的。
首先受到大家關(guān)注的是學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的錯誤，學(xué)生的錯誤往往最先從做題中體現(xiàn)出來，自然也就吸引了許多人對其進行研究，從學(xué)生解題過程分析了學(xué)生的錯誤。
受到教育心理學(xué)發(fā)展的影響，學(xué)生的學(xué)習(xí)心理受到了廣大研究者的關(guān)注，很多人研究了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的心理性錯誤，對概念學(xué)習(xí)的錯誤進行分析，或研究學(xué)生在函數(shù)、幾何、概率等知識內(nèi)容學(xué)習(xí)中的認(rèn)知錯誤。
由此可見，關(guān)于數(shù)學(xué)認(rèn)知錯誤的研究已經(jīng)涉及各類知識及各種知識點，研究的角度是多樣化的，致使內(nèi)容也隨之豐富起來。
2.研究方法
目前，觀察法、文獻分析法、問卷調(diào)查法是主要研究方法。很多人通過文獻分析、課堂觀察等方法來初探錯誤的類型，再通過問卷法來分析其原因。
另有一線教師通過對自身的教學(xué)經(jīng)驗進行總結(jié)，分析學(xué)生的錯誤類型，產(chǎn)生錯誤的原因，并提出一些教學(xué)對策，發(fā)表成文與大家分享。
相比國內(nèi)的研究，國外研究更傾向于訪談法，Philip通過問卷和訪談的方法深入研究了巴布亞新幾內(nèi)亞學(xué)生的錯誤類型。在對學(xué)生錯誤的原因分析過程中，訪談法更能夠深入了解學(xué)生的情況。
3.研究結(jié)果
學(xué)習(xí)過程的主體是有著強烈差異的學(xué)生，受各方面因素的影響，學(xué)生產(chǎn)生的錯誤也是千差萬別的，從心理角度出發(fā)，通過對學(xué)生在學(xué)習(xí)不同類型知識的過程中所表現(xiàn)出來的錯誤進行研究可以發(fā)現(xiàn)，這些看似雜亂的錯誤也是有其心理規(guī)律可循的。
（1）概念學(xué)習(xí)的錯誤類型
數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但是由于日常生活概念的干擾、學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)狀與概念發(fā)展之間的差異、片面的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，缺乏對概念意向的必要整合、不同的個體傾向等原因，致使數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中容易出現(xiàn)種種錯誤，這些錯誤有頑固性、表象性、隱蔽性等特點，因此也引起了大家的關(guān)注。數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的錯誤可以被分為兩類：過程性錯誤與“合理性”錯誤。前者包括用日常生活概念、概念原型、“形象描述”等代替數(shù)學(xué)概念，分類與比較不合理，概括與抽象不完善，概念定義與概念相脫離，概念運用僵化，建立不恰當(dāng)?shù)穆?lián)系，對聯(lián)系作不正確的推廣或依據(jù)個人經(jīng)驗強行進行不正確的聯(lián)系等錯誤?！昂侠硇浴卞e誤包括用原來的思維審視新的概念，按過去的經(jīng)驗、結(jié)論、方法對概念作“合理”的推廣，不自覺地對思維進行限制等錯誤。也有學(xué)者將其分為：語言文字信息類數(shù)學(xué)錯誤概念、圖形信息類數(shù)學(xué)錯誤概念、數(shù)學(xué)符號類錯誤概念、綜合類錯誤概念。
（2）不同知識點學(xué)習(xí)的錯誤類型
對不同知識點的數(shù)學(xué)認(rèn)知錯誤的心理分析，學(xué)者們也做了許多有益的工作。從中我們了解到，函數(shù)學(xué)習(xí)的錯誤可以受知識本身、學(xué)生思維和心理特點的共同影響。函數(shù)概念自身的復(fù)雜性和辯證性，函數(shù)表示方法的多樣性以及其符號的抽象性，都可能會造成學(xué)生語言轉(zhuǎn)換、策略選擇等方面的錯誤。從學(xué)生本身的思維水平來看，初中生的思維水平處在形式邏輯思維的范疇，只能局部地、靜止地、分隔地、抽象地認(rèn)識所學(xué)的事物，對函數(shù)這種辯證、發(fā)展、變化的概念理解需要沖破形式邏輯思維的局限，自然會不斷出錯。在幾何知識的學(xué)習(xí)過程中，原有知識基礎(chǔ)的缺陷、思維缺少嚴(yán)密性、加工技巧的錯誤等都會導(dǎo)致認(rèn)知錯誤。在概率知識的學(xué)習(xí)中，中小學(xué)生階段的統(tǒng)計與概率問題一般都與日常生活有一定聯(lián)系，因此，學(xué)生的實際生活經(jīng)驗往往會影響到一些統(tǒng)計與概率概念的理解，從而形成一些直覺性的常見誤解，如：賭徒謬論、基本利率謬論、小數(shù)定律、關(guān)聯(lián)謬論等，除了這些誤解以外，其他一些概念如：代表性、實用性、等可能性也會給學(xué)生的理解造成困難，語言能力弱、對圖表的理解也是導(dǎo)致錯誤的主要因素。
（3）解題的錯誤類型
從解題結(jié)果的角度，可以把解題錯誤分為知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤、心理性錯誤。Newman針對代數(shù)部分的內(nèi)容，從解題過程角度提出錯誤的層級（Hierarchy），將其分為五個水平：閱讀（Reading）、理解（Comprehension）、轉(zhuǎn)換（Transformation）、加工技能（Process Skill）、編碼（Encoding）。理解錯誤指的是沒有掌握問題中所有信息的意義。操作技能的錯誤指的是與算法有關(guān)的錯誤。編碼錯誤指的是書寫錯誤，如：筆誤等。我國學(xué)者在此基礎(chǔ)上對幾何知識進行研究，得出影響認(rèn)知錯誤的因素：引起理解、技能選擇錯誤的主要因素是過強的動機、不正確的觀念；導(dǎo)致轉(zhuǎn)換、加工技能錯誤的主要因素是知識基礎(chǔ)和認(rèn)知圖式的缺陷；策略選擇錯誤是由以上兩個因素共同引起的，因而成為問題解決最大的影響因素。根據(jù)波利亞在《怎樣解題》中將數(shù)學(xué)問題的解決所劃分的四個階段，可以將造成解題錯誤的原因歸結(jié)為四大類：曲解題意的錯誤；擬定方案的錯誤；執(zhí)行方案的錯誤；回顧與反思的錯誤。波利亞在《怎樣解題》中將數(shù)學(xué)題分為求解題和證明題進行比較，之后經(jīng)過學(xué)者研究和分析，發(fā)現(xiàn)求解題中學(xué)生的錯誤出現(xiàn)的原因主要有：運算能力差，引起計算失誤；審題不清，忽視隱含條件；概念、原理、性質(zhì)模糊不清；分類討論不嚴(yán)密造成失誤；策略不當(dāng)引起錯誤；應(yīng)用能力差，不能正確建模。證明題中錯誤的原因有：推理不嚴(yán)密，邏輯思維薄弱引起錯誤；證明過程犯循環(huán)論證的錯誤；論據(jù)本身錯誤，導(dǎo)致論證無效；推理形式有誤，導(dǎo)致證明錯誤。
二、對未來研究的思考
對于數(shù)學(xué)認(rèn)知錯誤的研究，有許多學(xué)者做了大量有益的工
作，但其中也有不足之處，需要我們繼續(xù)研究。
研究內(nèi)容方面可以將范圍縮小并關(guān)注隱性知識學(xué)習(xí)的錯誤研究。目前的研究內(nèi)容可謂豐富多彩，函數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計等都已經(jīng)有所研究，但大多數(shù)的研究內(nèi)容存在兩個問題：首先，研究的內(nèi)容包括的知識點過多，導(dǎo)致研究面積過大而不能深入；另外，受傳統(tǒng)知識觀念影響，只對知識技能的掌握進行研究，忽略學(xué)生知識當(dāng)中的隱性知識對其表現(xiàn)的影響。數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)要包括知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四方面的內(nèi)容，單從數(shù)學(xué)內(nèi)容方面研究顯然不足。因此減少研究內(nèi)容所涉及的知識內(nèi)容，將思想、方法、經(jīng)驗、情感等隱性知識納入研究內(nèi)容中是很有必要的。
在研究方法的選擇上，多數(shù)文章采取問卷、訪談、文獻分析等多種方法結(jié)合的方式，使得研究方法更具科學(xué)性，但在結(jié)果的分析過程中只單純地通過問卷調(diào)查的結(jié)果進行分類，其中難免摻雜個人經(jīng)驗，甚至完全依據(jù)經(jīng)驗，這樣做并不能保證分類的合理性。采用一種科學(xué)合理的分類方式將錯誤進行分類會使結(jié)論更具一般意義與說服力。
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在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程時，有效地利用習(xí)題，對學(xué)生在課堂上獨立地、積極地進行認(rèn)識活動是很有助益的。這些習(xí)題是使學(xué)生掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、技能和技巧的最重要的手段，又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中教學(xué)活動的重要形式，還是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的手段。
一、習(xí)題在數(shù)學(xué)教育中的地位和作用
現(xiàn)在，在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐或?qū)唧w方法的研究中，談及習(xí)題在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用和地位時，通常指的只是教學(xué)生解題這一方面。一種批評性的分析（這種分析過去和現(xiàn)在對于在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何運用習(xí)題的教學(xué)法研究，一直有著一定的意義）表明：迄今為止，解一定類型的數(shù)學(xué)習(xí)題時，或者僅突出數(shù)學(xué)教學(xué)的局部目的，或者只作為讓學(xué)生自覺消化教學(xué)大綱所列內(nèi)容的一種手段。僅僅在個別情況下（基本上是課外小組或?qū)ｎ}講座上，或在全班性或全校性的一些加深內(nèi)容的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上），習(xí)題才明顯地作為一種發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)水平、培養(yǎng)他們的求知興趣和自覺性，并發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的手段，同時還是培養(yǎng)他們的辯證唯物主義世界觀和個人道德品質(zhì)的手段。
因此，數(shù)學(xué)習(xí)題在傳統(tǒng)的教育體制中，在大量數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)水平所具有的作用和地位是第二位的，輔的。它的輔地位尤其可以明顯地從長期地把利用習(xí)題過程作為測驗和評價知識的一種手段中看出；傳統(tǒng)教學(xué)又把習(xí)題作為測驗和評價實際數(shù)學(xué)知識、技能和技巧的主要手段，而幾乎不用來測驗其他方面的數(shù)學(xué)發(fā)展水平和思想教育的因素。
二、當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題系統(tǒng)的主要弊端
這個問題的完善解決要求有一整套安排有方的中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題系統(tǒng)，因為現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教科書和輔助材料上給的習(xí)題系統(tǒng)不能很好地適應(yīng)現(xiàn)代教學(xué)、教育和發(fā)展目標(biāo)，而在教學(xué)中利用習(xí)題的方法，也不能全部反映學(xué)生解題的各種可能性。數(shù)學(xué)教學(xué)過程中如何配置習(xí)題這個問題，至今沒有得到完滿的解決。不論是習(xí)題內(nèi)容，還是習(xí)題的目的，或者是為了實現(xiàn)某一教學(xué)目的而安排的必作題或選作題的數(shù)量，或者（僅就形式而言）習(xí)題總的系統(tǒng)安排，都解決得不理想。
1、追究習(xí)題內(nèi)容及解法的公式化
這反映在以下各個方面：教師狹隘地理解數(shù)學(xué)習(xí)題在教學(xué)過程中的作用和教學(xué)意義；總是讓學(xué)生盡可能多地作題而影響教學(xué)質(zhì)量；過分地注重解題的步驟和格式，卻忽視解題過程；大量習(xí)題仍側(cè)重于培養(yǎng)當(dāng)前實際上幾乎用不到的，或即將被自動化手段所代替的一些技能技巧；以傳統(tǒng)的作法安排習(xí)題、敘述習(xí)題的條件以及寫出他們的解答，等等。
2、解題的講授方法及通過習(xí)題講授數(shù)學(xué)的方法不完善
其表現(xiàn)如下：更多是用示范的方法教學(xué)生解題，而缺少教師有的放矢的工作，以培養(yǎng)學(xué)生對解題過程進行評價并檢驗結(jié)果的能力；把解題的通用方法看作是不可改變的偶象；利用習(xí)題的主要目的只是為了鞏固和復(fù)習(xí)學(xué)過的內(nèi)容；不論是測驗或獨立作業(yè)都帶有狹隘的檢查性目的；對中學(xué)數(shù)學(xué)課的每道題的教學(xué)意義缺乏明確的標(biāo)準(zhǔn)，而且向?qū)W生提供的習(xí)題的數(shù)量不足以保證達到教學(xué)目的，如此等等。
3、配置及解答習(xí)題不符合數(shù)學(xué)思維的合乎規(guī)律的發(fā)展
這反映在：中學(xué)數(shù)學(xué)課缺乏。些題目，借以培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)備好參加以現(xiàn)代化生產(chǎn)（合理化與控制、管理、發(fā)明等）為特點的實踐活動，即一些具有創(chuàng)造性特點的活動；中學(xué)數(shù)學(xué)課還缺少這樣一些習(xí)題，它們的解題過程有可能培養(yǎng)中學(xué)生的重要思維技巧：如抓住實質(zhì)、概括、分析、模擬、進行思維實驗，等等；運用習(xí)題僅僅是為了測驗學(xué)生的實際知識，而不是為了提高他們的數(shù)學(xué)發(fā)展水平；中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題的類型太單一化；如此等等。
三、數(shù)學(xué)教學(xué)中習(xí)題的合理設(shè)計
1、習(xí)題的重點放在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力
根據(jù)先進教師的工作經(jīng)驗，數(shù)學(xué)教學(xué)法（其他任何課程也同樣）的革新首先表現(xiàn)在基本側(cè)重點不是放在讓學(xué)生死記教材上，而是放在深刻理解、自覺和主動積極地掌握教材上，放在培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)實踐中獨立地和創(chuàng)造性地應(yīng)用這些知識上。
我們來分析下面這道題：如果xyz+xy十yz十xz+x十y十z =1975，試求出自然數(shù)x、y、z。此題的解可通過對1976這個數(shù)進行因數(shù)分解得到（并同時把等式左邊增加1）：（xyz+1）（xyz+1）（xyz+1）=23×13×19。利用x、y、z都是自然數(shù)這一條件，不難找出各個解。解這道題不需要學(xué)生掌握數(shù)學(xué)大綱內(nèi)容以外的知識；同時此題針對的是深刻理解已學(xué)的內(nèi)容和創(chuàng)造性地運用已學(xué)知識的能力。
2、習(xí)題的目標(biāo)取向培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維
解決問題在小學(xué)教學(xué)中占有重要地位，它是培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力的重要途徑，也是提高學(xué)生邏輯思維能力的重要手段。因此“解決問題”始終是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點問題。但與此同時由于解決問題教學(xué)涉及的知識面廣，分析推理過程較復(fù)雜，學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較困難，因此它又是教學(xué)的難點問題。
一、解決問題“難”的主要原因分析
解決問題中往往涉及一些與生活實踐相聯(lián)系的應(yīng)用問題。解決這類問題時，首先需要把生活問題數(shù)學(xué)化，尋找問題中包含的數(shù)學(xué)關(guān)系，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言進行表達，再用數(shù)學(xué)方法求得結(jié)果，最后還要還原到最初的生活問題之中。在這個過程中，既需要有從實際問題中提取數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象能力，也需要具有能夠用數(shù)學(xué)語言表達實際問題的語言能力，而這兩點對于小學(xué)生而言，都是正處于發(fā)展初期的薄弱點，因此“解決問題是小學(xué)生學(xué)習(xí)的難點問題”在小學(xué)是一個客觀存在。
例如，數(shù)學(xué)語言具有抽象性，這決定了學(xué)生必須能對解決問題中抽象的數(shù)學(xué)術(shù)語和符號進行形象感知，在這個過程中，需要對它們之間的邏輯關(guān)系進行分析，形成自我建構(gòu)，這導(dǎo)致數(shù)學(xué)解題思考強度大。 以下面的集合圖來說明：
上圖表示的是“非0自然數(shù)按約數(shù)的個數(shù)可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和 1 三類”這一概念，學(xué)生如果不認(rèn)識這種特殊表現(xiàn)形式而去觀察、比較質(zhì)數(shù)和合數(shù)哪一類所占面積更大；或把集合圖割裂開，孤立地認(rèn)為質(zhì)數(shù)在左面，合數(shù)在右面；或是干脆當(dāng)成一幅圖片來記憶，就會在理解上偏離語義的本質(zhì)。
又比如，一個本1元錢，小明買了5個本花了多少元錢？
這道題對很多學(xué)生來說很簡單，可以直觀求解，但是，若讓他們根據(jù)“單價×數(shù)量=總價”來計算出5元，這對他們而言反而具有相當(dāng)?shù)碾y度。
原因就在于小學(xué)生正處于具體運算階段。這一階段的學(xué)生思維正處于具體、形象思維為主并逐漸向抽象邏輯思維的過渡期。他們的理解能力有限，從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系有一定難度。
在這種現(xiàn)實存在下，如何采取一種小學(xué)生可以理解的方法突破難點呢？
考慮到小學(xué)生重直觀的特點，本文從直觀圖示的方法入手試圖建立以圖示為主的數(shù)學(xué)模型，以幫助小學(xué)生突破難點、走出困境。
二、線段圖建模類型研究
通過研究小學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的線段圖的各種可能情形和分析小學(xué)數(shù)學(xué)中各種解決問題的題目，發(fā)現(xiàn)解決問題的相關(guān)題目基本上可以劃歸為與交集有關(guān)的線段圖、與并集有關(guān)的線段圖和復(fù)合型線段圖三種類型，這樣就可以將三類線段圖作為解決問題的數(shù)學(xué)模型，借助線段圖的直觀性，發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)量關(guān)系，減少思維難度，促使問題得到迅速解決。
（一）線段圖的分類及其特征分析
如果將線段圖看作是一個集合，那么數(shù)學(xué)問題中的各種數(shù)量關(guān)系就反映為集合之間的關(guān)系，綜合考慮小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問題，可以發(fā)現(xiàn)其中主要涉及的數(shù)量關(guān)系可以通過交集型線段圖、并集型線段圖和復(fù)合型線段圖表現(xiàn)出來。
1.交集型線段圖
交集型線段圖的主要特征為數(shù)量關(guān)系之間有重疊部分，如下圖所示：
圖中集合間關(guān)系：B∪C-A=U，B∩C=A
本類型線段圖適合解決重疊類問題，如：一個班有學(xué)生42人，參加體育代表隊的有30人，參加文藝代表隊的有25人，并且每個人都至少參加了一個隊，這個班兩隊都參加的有幾個人？
這個問題的特點是要求重疊部分：這個班兩隊都參加的有幾個人？全班人數(shù)42人就是整體，看作全集U，參加體育代表隊的30人和參加文藝代表隊的25人是部分，分別看作集合B和C，則A就是所求，它們之間的關(guān)系圖示為：
這個圖示與原來教學(xué)中習(xí)慣采用的文氏圖表示方法本質(zhì)相同（如下圖）。
2.并集型線段圖
并集型線段圖的主要特征為數(shù)量關(guān)系之間沒有重疊部分，并且?guī)讉€部分合并之后恰好就是整體。如下圖所示：
圖中集合間關(guān)系：A∪B=U， A∩B=￠或A∪U=U，A∩U=A
這一類型的線段圖適合解決整體和部分之間關(guān)系互求類型的問題，如已知整體求其中的某一部分，或者已知各部分，求總共有多少等等。
如：在暑假中，王曉偉抄寫了85個成語，還差56個才完成老師的要求，老師要求抄寫多少個成語？
這個問題中老師要求抄的成語數(shù)就是整體，它與已知之間的數(shù)量關(guān)系可以用線段圖表示為：
圖中數(shù)量關(guān)系清晰明確，顯然便于問題的解決。
3.復(fù)合型線段圖
復(fù)合型線段圖的主要特征為綜合包含了交集型與并集型線段圖的特征，數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)的較為復(fù)雜，需要通過多層次體現(xiàn)。
如下圖所示：
圖中集合間關(guān)系：E∪B=A，E∪D=C，A∪E∪C=U，A∩C∩E=E
這種圖示下的問題，一般涉及兩步以上的應(yīng)用題，需要分步摸清數(shù)量關(guān)系后解決問題。
如：小濤有56本書，小玉借走■，剩下的書小紅借走■，再剩下的書小明借走■，現(xiàn)在小濤還剩多少本書？
題目中56本書是全集，三個人分別從不同總數(shù)中借走其中的一部分，是造成問題解答困難的關(guān)鍵，現(xiàn)在把它們之間的關(guān)系用線段圖表示如下：
顯然要想求最后剩余的，就必須分步求出每次剩余書的本數(shù)。
（二）線段圖模型應(yīng)用舉例分析――以“并集型線段圖”為例
并集型線段圖主要反映部分與整體的數(shù)量關(guān)系，并且部分與部分之間沒有重疊關(guān)系。如下舉例說明。
例1 一列火車4小時行駛了480千米，平均每小時行駛多少千米？
分析：題目中的總數(shù)為480千米，按照題意需要平均分為4份，這四份不能有重疊部分，因此本題可以利用“并集型線段圖”。作圖如下：
從圖中可以看出把總數(shù)480千米，平均分成4份，每份就是1小時行駛的路程，用除法計算出480÷4=120（千米）即可。
例2 兩個數(shù)相除商5余11，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是237，問被除數(shù)是多少？
分析：根據(jù)被除數(shù)÷除數(shù)=5……11可知，商是5，余數(shù)是11。要求的被除數(shù)=除數(shù)×5+11，也就是說被除數(shù)比除數(shù)的5倍多11，這就是說，除數(shù)的5倍以及多出來的11都是被除數(shù)中的一部分，并且沒有重疊，因此本題仍然可用“并集型線段圖”表示為：
由已知條件首先可以算出被除數(shù)與除數(shù)的和是237-5-11=221，再從圖中可以看出除數(shù)是一倍數(shù)。被除數(shù)如果減去11，就正好是除數(shù)的5倍，也就是221-11對應(yīng)的是5+1=6倍，1倍就是（221-11）÷（5+1）=35，即除數(shù)。
例3 修路隊修一條路，第一天修了全程的■，第二天修了360米，完成全部修路任務(wù)。修路隊第一天修了多少米？
分析：修路隊第一天修全程的■和第二天修360米構(gòu)成全部修路任務(wù)，并且兩者沒有重疊部分，因此本題仍然可用“并集型線段圖”表示為：
從圖中可以看出360米相當(dāng)于總?cè)蝿?wù)的■，則總?cè)蝿?wù)是360÷■=900（米）。進而可知，第一天修了900-360=540（米）。
如上三題告訴我們，“并集型線段圖”可以作為一個數(shù)學(xué)模型，不僅可以解決行程問題，還可以解決工作量等問題，如果把握它的本質(zhì)特征，那么它就可以運用到更廣的范圍之中。
三、建立線段圖模型的意義
（一）運用線段圖可以使已知條件直觀呈現(xiàn)
線段圖能比較形象直觀地揭示應(yīng)用題中的條件與條件、條件與問題之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，明確顯示已知與未知的內(nèi)在聯(lián)系，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系變得明朗化，容易發(fā)現(xiàn)隱含的條件，激活學(xué)生的解題思路，是分析和解決“解決問題”的有效途徑。
例如：小剛和妹妹二人同時從家去學(xué)校，小剛每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。小剛到學(xué)校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶作業(yè)，立即由原路回家去取，行至離學(xué)校180 米處和妹妹相遇。他們家離學(xué)校多遠(yuǎn)？
運用畫線段圖的方法可以發(fā)現(xiàn)本題隱含的條件有三個（如圖示）：
第一個是小剛和妹妹兩人一共走了兩個全程，即：
第二個是小剛共比妹妹多行了兩個 180 米，即：
第三個是同樣多的時間內(nèi)小剛比妹妹多走了兩個180米。
（二）運用線段圖可以使等量關(guān)系顯性呈現(xiàn)
利用線段圖將問題中蘊含的抽象的數(shù)量關(guān)系以形象直觀的方式表達出來，能夠使已知條件和所求問題聯(lián)系起來，便于揭示它們之間的等量關(guān)系，通過形象直觀的等量關(guān)系，便于列出符合題意的算式，有效促進問題的解決。
（三）線段圖可以開闊學(xué)生思維，幫助學(xué)生一題多解
工地有一堆黃沙，用去了總數(shù)的■后，又運來480噸，這時的黃沙相當(dāng)于原來的80%，原來有黃沙多少噸？
分析： 解答此題的關(guān)鍵是求出480噸相當(dāng)于原來黃沙的幾（百）分之幾？
根據(jù)題意畫線段圖如下：（為了敘述方便，圖上的端點和分點分別用A、B、C、D表示）
該圖中，線段AB表示原有黃沙，BC表示用了的黃沙，CD表示運來的黃沙。
解法1：
從線段圖的左邊看，CD=AD-AC，由此可以得到： 480噸相當(dāng)于原有黃沙的80%-（1-■）
所以可以列式為： 480÷[80%-（1-■）]=1200（噸）
解法2：
從線段圖的中間看，CD=AB-AC-BD，由此可以得到： 480噸相當(dāng)于原有黃沙的[1-（1-■） -（1-80%）]，所以可列式為： 480÷[1- （1-■ ） -（1-80%）]=1200（噸）
解法3：
從線段圖的右邊看，CD=BC-BD，由此可以得到： 480噸相當(dāng)于原有黃沙的[■-（1-80%）]，所以可以列式480÷[■-（1-80%）]= 1200（噸）
解法4：
從線段圖的兩邊看，CD=AD+BC-AB，由此可以得到： 480噸相當(dāng)于原有黃沙的（80%+■-1），所以可以列式為： 480÷（80%+■-1） =1200（噸）
答： 原來有黃沙1200噸。
一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、靈活性，有助于開拓學(xué)生的視野，克服墨守陳規(guī)的弊端，使學(xué)生敢于標(biāo)新立異，從而有助于學(xué)生學(xué)會創(chuàng)新。
顯然，歸類運用線段圖就是指將三類不同的線段圖作為三種數(shù)學(xué)模型，在解決問題中，不必考慮問題的具體情境及范疇，只需關(guān)注問題中所反映的數(shù)量間的本質(zhì)關(guān)系，這樣可以將學(xué)生從植樹問題、年齡問題、差倍問題、行程問題等諸多具體情境問題中解放出來，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，既反映了數(shù)學(xué)的模式化特征，又教會學(xué)生解決問題時綜合思考的思想方法。
四、結(jié)論
借助線段圖解題，可以化抽象的語言到具體、形象、直觀的圖形；可以化難為易，促使判斷準(zhǔn)確；可以化繁為簡，發(fā)展學(xué)生思維；可以化知識為能力。使用線段圖便于抽象建模，反映數(shù)學(xué)的模式化特征。實踐證明，線段圖具有直觀性、形象性和實用性，如果學(xué)生從小掌握了用線段圖輔助解題的方法，分析問題和解決問題的能力將會大大的提高。
參考文獻：
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