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時(shí)間：2023-02-17 10:20:01
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“數(shù)學(xué)思想”作為數(shù)學(xué)課程論的一個(gè)重要概念，我們完全有必要對(duì)它的內(nèi)涵與外延形成較為明確的認(rèn)識(shí)。關(guān)于這個(gè)概念的內(nèi)涵，我們認(rèn)為：數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。這種認(rèn)識(shí)的主體是人類歷史上過去、現(xiàn)在以及將來有名與無名的數(shù)學(xué)家；而認(rèn)識(shí)的客體，則包括數(shù)學(xué)科學(xué)的對(duì)象及其特性，研究途徑與方法的特點(diǎn)，研究成就的精神文化價(jià)值及對(duì)物質(zhì)世界的實(shí)際作用，內(nèi)部各種成果或結(jié)論之間的互相關(guān)聯(lián)和相互支持的關(guān)系等?？梢姡@些思想是歷代與當(dāng)代數(shù)學(xué)家研究成果的結(jié)晶，它們蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)材料之中，有著豐富的內(nèi)容。
通常認(rèn)為數(shù)學(xué)思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)通過概括而獲得的認(rèn)識(shí)成果。既然是認(rèn)識(shí)就會(huì)有不同的見解，不同的看法。實(shí)際上也確實(shí)如此，例如，有人認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認(rèn)為以函數(shù)思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容更有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果，還有人認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認(rèn)為，只要是在充分分析、歸納概括數(shù)學(xué)材料的基礎(chǔ)上來論述數(shù)學(xué)思想，那么所得的結(jié)論總是可能做到并行不悖、互為補(bǔ)充的，總是能在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中起到積極的促進(jìn)作用的。
關(guān)于這個(gè)概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。
屬于宏觀的，有數(shù)學(xué)觀(數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展、數(shù)學(xué)的本能和特征、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系)，數(shù)學(xué)在科學(xué)中的文化地位，數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識(shí)論、方法論價(jià)值等；屬于中觀的，有關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)部各個(gè)部門之間的分流的原因與結(jié)果，各個(gè)分支發(fā)展過程中積淀下來的內(nèi)容上的對(duì)立與統(tǒng)一的相克相生的關(guān)系等；屬于微觀結(jié)構(gòu)的，則包含著對(duì)各個(gè)分支及各種體系結(jié)構(gòu)定內(nèi)容和方法的認(rèn)識(shí)，包括對(duì)所創(chuàng)立的新概念、新模型、新方法和新理論的認(rèn)識(shí)。
從質(zhì)的方面說，還可分成表層認(rèn)識(shí)與深層認(rèn)識(shí)、片面認(rèn)識(shí)與完全認(rèn)識(shí)、局部認(rèn)識(shí)與全面認(rèn)識(shí)、孤立認(rèn)識(shí)與整體認(rèn)識(shí)、靜態(tài)認(rèn)識(shí)與動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)、唯心認(rèn)識(shí)與唯物認(rèn)識(shí)、謬誤認(rèn)識(shí)和正確認(rèn)識(shí)等。
二、數(shù)學(xué)思想的特性和作用
數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上形成和發(fā)展的，它是人類對(duì)數(shù)學(xué)及其研究對(duì)象，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)（主要指概念、定理、法則和范例)以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性的認(rèn)識(shí)。它表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的開拓之中，表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)概念、命題和數(shù)學(xué)模型的分析與概括之中，還表現(xiàn)在新的數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生過程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)數(shù)學(xué)思想凝聚成數(shù)學(xué)概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成數(shù)學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)。在這個(gè)系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)思想起著統(tǒng)帥的作用。
(二)數(shù)學(xué)思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數(shù)學(xué)思想，是從眾多的具體的個(gè)性中抽取出來且對(duì)個(gè)性具有普遍指導(dǎo)意義的共性。它比某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對(duì)較高。現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的運(yùn)動(dòng)和變化、相輔相成、對(duì)立統(tǒng)一等“事實(shí)”，都可作為數(shù)學(xué)思想進(jìn)行哲學(xué)概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學(xué)的世界觀和方法論。
(三)數(shù)學(xué)思想富有創(chuàng)造性
借助于分析與歸納、類比與聯(lián)想、猜想與驗(yàn)證等手段，可以使本來較抽象的結(jié)構(gòu)獲得相對(duì)直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉(zhuǎn)化成極具規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。從而將一種關(guān)系結(jié)構(gòu)變成或映射成另一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，又可反演回來，于是復(fù)雜問題被簡(jiǎn)單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題，便是典型的一例。當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)家們?cè)谧鬟@些探討時(shí)是很難的，是零零碎碎的，有時(shí)為了一個(gè)模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會(huì)到創(chuàng)造的艱辛，發(fā)展頑強(qiáng)奮戰(zhàn)的個(gè)性，培養(yǎng)創(chuàng)造的精神。
三、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)功能
我國《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”。根據(jù)這一要求，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中必須大力加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)與研究。
(一)數(shù)學(xué)思想是教材體系的靈魂
從教材的構(gòu)成體系來看，整個(gè)初中數(shù)學(xué)教材所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯成了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條“河流”。一條是由具體的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成的易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“骨架”；另一條是由數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的具有潛在價(jià)值的“暗河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數(shù)學(xué)思想作靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)才不再成為孤立的、零散的東西。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想能將“游離”狀態(tài)的知識(shí)點(diǎn)(塊)凝結(jié)成優(yōu)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有了它，數(shù)學(xué)概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個(gè)有機(jī)的整體?？梢?，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形式，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展思維能力的動(dòng)力和工具。教師在教學(xué)中如能抓住數(shù)學(xué)思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進(jìn)行再創(chuàng)造，才能使教學(xué)見效快，收益大。
(二)數(shù)學(xué)思想是我們進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想
筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)分三個(gè)層次進(jìn)行，這便是宏觀設(shè)計(jì)、微觀設(shè)計(jì)和情境設(shè)計(jì)。無論哪個(gè)層次上的設(shè)計(jì)，其目的都在于為了讓學(xué)生“參與”到獲得和發(fā)展真理性認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中去。這種設(shè)計(jì)不能只是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程中的“還原”，一定要有數(shù)學(xué)思想的飛躍和創(chuàng)造。這就是說，一個(gè)好的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)當(dāng)是歷史上數(shù)學(xué)思想發(fā)生、發(fā)展過程的模擬和簡(jiǎn)縮。例如初中階段的函數(shù)概念，便是概括了變量之間關(guān)系的簡(jiǎn)縮，也應(yīng)當(dāng)是滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想、使用現(xiàn)代手段實(shí)現(xiàn)的新的認(rèn)識(shí)過程。又如高中階段的函數(shù)概念，便滲透了集合關(guān)系的思想，還可以是在現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的概括和延伸，這就需要搞清楚應(yīng)概括怎樣的共性，如何準(zhǔn)確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對(duì)于這些問題，都需要進(jìn)行預(yù)測(cè)和創(chuàng)造，而要順利地完成這一任務(wù)，必須依靠數(shù)學(xué)思想作為指導(dǎo)。有了深刻的數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo)，才能做出智慧熠爍的創(chuàng)新設(shè)計(jì)來，才能引發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造性的思維活動(dòng)來。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，才能適應(yīng)瞬息萬變的技術(shù)革命的要求。靠一貫如此設(shè)計(jì)的課堂教學(xué)培養(yǎng)出來的人才，方能在21世紀(jì)的激烈競(jìng)爭(zhēng)中立于不敗之地。
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程，實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用各種教學(xué)理論進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的過程。在這個(gè)過程中，必然要涉及數(shù)學(xué)思想的問
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(三)數(shù)學(xué)思想是課堂教學(xué)質(zhì)量的重要保證
數(shù)學(xué)思想性高的教學(xué)設(shè)計(jì)，是高質(zhì)量進(jìn)行教學(xué)的基本保證。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師面對(duì)的是幾十個(gè)學(xué)生，這幾十個(gè)智慧的頭腦會(huì)提出各種各樣的問題。隨著新技術(shù)手段的現(xiàn)代化，學(xué)生知識(shí)面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對(duì)這些活潑肯鉆研的學(xué)生所提的問題，教師只有達(dá)到一定的思想深度，才能保證準(zhǔn)確辨別各種各樣問題的癥結(jié)，給出中肯的分析；才能恰當(dāng)適時(shí)地運(yùn)用類比聯(lián)想，給出生動(dòng)的陳述，把抽象的問題形象化，復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化；才能敏銳地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思想火花，找到閃光點(diǎn)并及時(shí)加以提煉升華，鼓勵(lì)學(xué)生大膽地進(jìn)行創(chuàng)造，把眾多學(xué)生牢牢地吸引住，并能積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中來，真正成為教學(xué)過程的主體；也才能使有一定思想的教學(xué)設(shè)計(jì)，真正變成高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過程。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，怎樣寓知識(shí)、技能、方法、思想于一個(gè)學(xué)過程中，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題。由于數(shù)學(xué)的高度抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?、結(jié)論的確定性以及應(yīng)用的廣泛性這些特征，決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的難度。如果教師只是注重單純地傳授知識(shí)，而不注重學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和能力的培養(yǎng)，學(xué)生就會(huì)跟在老師的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死記硬背。聽老師講時(shí)還會(huì)，自己做時(shí)就錯(cuò)，臨到考時(shí)就蒙，這樣下去是越來越糊涂。所以，要使學(xué)生變書本知識(shí)為自己知識(shí)，就必須學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)知識(shí)的方法。下面就其怎樣使學(xué)生在原有知識(shí)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法談些教學(xué)體會(huì)。
新知識(shí)的獲得，離不開原有認(rèn)知基矗很多新知識(shí)都是學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。因此，對(duì)于學(xué)生來講，學(xué)會(huì)怎樣在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上掌握新知識(shí)的方法是非常必要的。這就需要教師在教學(xué)中精心設(shè)計(jì)、抓住知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)、促進(jìn)正遷移的實(shí)現(xiàn)。
例如，在研究多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，可向?qū)W生提出：我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和等于180°，那么，你能根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出四邊形的內(nèi)角和嗎？這樣簡(jiǎn)單、明了的一句話就勾通了新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。問題的提出，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促使了學(xué)生思維的展開，提供了回答問題的機(jī)會(huì)，創(chuàng)造了活躍的教學(xué)氣氛，學(xué)生會(huì)準(zhǔn)確地回答出四邊形的內(nèi)角和等于360°。又問：你是根據(jù)什么說四邊形的內(nèi)角和等于360°呢？是猜想的？還是推理得到的？學(xué)生的回答是作四邊形的對(duì)角線，將四邊形分為兩個(gè)三角形，而每個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，兩個(gè)三角形的內(nèi)角和等于360°。教師馬上對(duì)學(xué)生的回答給以肯定和鼓勵(lì)，再問：五邊形、六邊形的內(nèi)角和等于多少度？學(xué)生很快就會(huì)回答出五邊形的內(nèi)角和等于540°，六邊形的內(nèi)角和等于720°。接著又問：你知道十邊形、一百邊形、一千邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？這是老師故意設(shè)置“知識(shí)障礙”，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。及時(shí)引導(dǎo)、啟發(fā)、遷移、總結(jié)規(guī)律。讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)求四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和，都是從它們的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線將它們轉(zhuǎn)化為三角形來求得的，并且內(nèi)角和是由從它們的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線所分得三角形的個(gè)數(shù)確定的，而三角形的個(gè)數(shù)又是由這個(gè)多邊形的邊數(shù)確定的。從而可知從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線可將n邊形分成（n－2）個(gè)三角形，所以n邊形的內(nèi)角的和等于（n－2）·180°，即得多邊形的內(nèi)角和定理。這個(gè)定理的出現(xiàn)，是教者通過設(shè)疑、引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生思維，尋求解題方法，由個(gè)性問題追朔到共性問題，總結(jié)出了一般規(guī)律。這樣做，不但使學(xué)生學(xué)會(huì)了在原有知識(shí)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法，又培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，還滲透了把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形來研究的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。
當(dāng)學(xué)生在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上掌握了學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法和數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，對(duì)于諸如此類的問題就迎刃而解了。如，研究梯形中位線定理，學(xué)生很自然就會(huì)將它轉(zhuǎn)化為三角形中位線來解決。對(duì)于平行四邊形、梯形的問題學(xué)生也很容易就想到轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)來研究。又如，對(duì)于解二元二次方程組，學(xué)生根據(jù)已學(xué)過的解一元二次方程等知識(shí)，自然就會(huì)想到通過消元將原方程組轉(zhuǎn)為一元二次方程來解之，或?qū)⒍畏匠探M通過降次轉(zhuǎn)化為一次方程或有一個(gè)一次方程和一個(gè)二次方程組來解決。對(duì)于分式方程要通過去分母或換元轉(zhuǎn)化為整式方程來解。對(duì)于無理方程需把方程兩邊乘方或換元化為有理方程來解。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只要做到精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，科學(xué)的提出問題，采取得體的教學(xué)方法、適時(shí)疏導(dǎo)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用自己的語言對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括和總結(jié)，以知識(shí)講方法，以方法取知識(shí)，就能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，達(dá)到開發(fā)學(xué)生智力、提高學(xué)生能力的目的。
第一，“懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解”。心理學(xué)認(rèn)為，“由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包攝和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí)，因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)。”當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識(shí)“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義，”即使新知識(shí)能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想、方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。
第二，有利于記憶。布魯納認(rèn)為，“除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會(huì)忘記。”“學(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具?！庇纱丝梢?，數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。無怪乎有人認(rèn)為，對(duì)于中學(xué)生“不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生。”
第三，學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”。布魯納認(rèn)為，“這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)?！辈懿藕步淌谝舱J(rèn)為，“如果學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對(duì)于新學(xué)習(xí)是有利的，”“只有概括的、鞏固的和清晰的知識(shí)才能實(shí)現(xiàn)遷移?！泵绹睦韺W(xué)家賈德通過實(shí)驗(yàn)證明，“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個(gè)先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，形成類比。才能遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中。”學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想、方法有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。
第四，強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，“能夠縮挾‘高級(jí)’知識(shí)和‘初級(jí)’知識(shí)之間的間隙?！币话愕刂v，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)的許多具體內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中不再出現(xiàn)了，有些術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學(xué)中要賦予它們以新的涵義。而在高等數(shù)學(xué)中幾乎全部保留下來的只有中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法以及與其關(guān)系密切的內(nèi)容，如集合、對(duì)應(yīng)等。因此，數(shù)學(xué)思想、方法是聯(lián)結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條紅線。
二、中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法
數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。由于中學(xué)生認(rèn)知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而對(duì)有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高。我們認(rèn)為，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有三個(gè)：集合思想、化歸思想和對(duì)應(yīng)思想。其理由是：(1)這三個(gè)思想幾乎包攝了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容；(2)符合中學(xué)生的思維能力及他們的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，易于被他們理解和掌握；(3)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會(huì)比較多：(4)掌握這些思想可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)。
此外，符號(hào)化思想、公理化思想以及極限思想等在中學(xué)數(shù)學(xué)中也不同程度地有所體現(xiàn)。應(yīng)依據(jù)具體情況在教學(xué)中予以滲透。
數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的策略，這些策略與人們的數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)思想掌握情況密切相關(guān)。從有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)出發(fā)，本著數(shù)量不宜過多原則。我們認(rèn)為目前應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)方法有：數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合法、變換法、函數(shù)法和類分法等。一般講，中學(xué)數(shù)學(xué)中分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的活動(dòng)是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，通過一系列數(shù)學(xué)技能操作來完成的。
三、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)模式
數(shù)學(xué)表層知識(shí)與深層知識(shí)具有相輔相成的關(guān)系。這就決定了他們?cè)诮虒W(xué)中的辯證統(tǒng)一性?；谏鲜稣J(rèn)識(shí)，我們給出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一個(gè)教學(xué)模式：操作——掌握——領(lǐng)悟。
所謂數(shù)學(xué)思想，就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程序時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)知識(shí)看作一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)方法相當(dāng)于建筑施工的手段，而這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想。
1、明確基本要求，滲透“層次”教學(xué)。《數(shù)學(xué)大綱》對(duì)初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個(gè)層次，即“了解”、“理解”和“會(huì)應(yīng)用”。在教學(xué)中，要求學(xué)生“了解”數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等。這里需要說明的是，有些數(shù)學(xué)思想在教學(xué)大綱中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和運(yùn)用新知識(shí)解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉(zhuǎn)化的思想方法。
教師在整個(gè)教學(xué)過程中，不僅應(yīng)該使學(xué)生能夠領(lǐng)悟到這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的好奇心和求知欲，通過獨(dú)立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題。在《教學(xué)大綱》中要求“了解”的方法有：分類法、類經(jīng)法、反證法等。要求“理解”的或“會(huì)應(yīng)用”的方法有：待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學(xué)中，要認(rèn)真把握好“了解”、“理解”、“會(huì)應(yīng)用”這三個(gè)層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會(huì)應(yīng)用”的層次，不然的話，學(xué)生初次接觸就會(huì)感到數(shù)學(xué)思想、方法抽象難懂，高深莫測(cè)，從而導(dǎo)致他們推動(dòng)信心。如初中幾何第三冊(cè)中明確提出“反證法”的教學(xué)思想，且揭示了運(yùn)用“反證法”的一般步驟，但《教學(xué)大綱》只是把“反證法”定位在“了解”的層次上，我們?cè)诮虒W(xué)中，應(yīng)牢牢地把握住這個(gè)“度”，千萬不能隨意拔高、加深。否則，教學(xué)效果將是得不償失。
2、從“方法”了解“思想”，用“思想”指導(dǎo)“方法”。關(guān)于初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想和方法內(nèi)涵與外延，目前尚無公認(rèn)的定義。其實(shí)，在初中數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊(yùn)含。只是方法較具體，是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段，而思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)思想的了解，是使數(shù)學(xué)思想與方法得到交融的有效方法。比如化歸思想，可以說是貫穿于整個(gè)初中階段的數(shù)學(xué)，具體表現(xiàn)為從未知到已知的轉(zhuǎn)化、一般到特殊的轉(zhuǎn)化、局部與整體的轉(zhuǎn)化，課本引入了許多數(shù)學(xué)方法，比如換元法，消元降次法、圖象法、待定系數(shù)法、配方法等。在教學(xué)中，通過對(duì)具體數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步領(lǐng)略內(nèi)含于方法的數(shù)學(xué)思想；同時(shí)，數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，又深化了數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯(lián)璧合，將創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神寓于教學(xué)之中，教學(xué)才能卓有成效。
二、遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，把握教學(xué)原則，實(shí)施創(chuàng)新教育
要達(dá)到《教學(xué)大綱》的基本要求，教學(xué)中應(yīng)遵循以下幾項(xiàng)原則：
1、滲透“方法”，了解“思想”。由于初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，把數(shù)學(xué)思想、方法作為一門獨(dú)立的課程還缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ)。因而只能將數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中。教師要把握好滲透的契機(jī)，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，知識(shí)的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，形成獲取、發(fā)展新知識(shí)，運(yùn)用新知識(shí)解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識(shí)的結(jié)論，就必然失去滲透數(shù)學(xué)思想、方法的一次次良機(jī)。如初中代數(shù)課本第一冊(cè)《有理數(shù)》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節(jié)——“有理數(shù)大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中。在數(shù)軸教學(xué)之后，就引出了“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)”。而兩個(gè)負(fù)數(shù)比大小的全過程單獨(dú)地放在絕對(duì)值教學(xué)之后解決。教師在教學(xué)中應(yīng)把握住這個(gè)逐級(jí)滲透的原則，既使這一章節(jié)的重點(diǎn)突出，難點(diǎn)分散；又向?qū)W生滲透了形數(shù)結(jié)合的思想，學(xué)生易于接受。
在滲透數(shù)學(xué)思想、方法的過程中，教師要精心設(shè)計(jì)、有機(jī)結(jié)合，要有意識(shí)地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實(shí)際等錯(cuò)誤做法。比如，教學(xué)二次不等式解集時(shí)結(jié)合二次函數(shù)圖象來理解和記憶，總結(jié)歸納出解集在“兩根之間”、“兩根之外”，利用形數(shù)結(jié)合方法，從而比較順利地完成新舊知識(shí)的過渡。
二、圖形教學(xué)中的滲透
“圖形與幾何”是小學(xué)階段重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。無論從認(rèn)識(shí)各種圖形的特征到探究面積、體積的計(jì)算，無處不體現(xiàn)化歸的思想方法。尤其在探索面積的計(jì)算公式時(shí)，滲透化歸思想方法是極好的機(jī)會(huì)。在圖形面積計(jì)算方法的學(xué)習(xí)上，北師大教材是分三次安排的：第一次安排在三下學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算；第二次安排在五上學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算；第三次安排在六上學(xué)習(xí)圓的面積計(jì)算。我們知道長(zhǎng)方形面積的計(jì)算是平面圖形面積計(jì)算的起始課，是以后學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形及圓等平面圖形面積的基礎(chǔ)，而平行四邊形面積計(jì)算又是學(xué)生探究圖形面積計(jì)算方法的節(jié)點(diǎn)，在這個(gè)節(jié)點(diǎn)上，化歸思想方法得到很大體現(xiàn)。所以在探究平行四邊形面積計(jì)算方法的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過數(shù)、剪、拼等一系列操作活動(dòng)把平行四邊形轉(zhuǎn)化為我們已知的長(zhǎng)方形或正方形，從而很容易的得出平行四邊形面積的計(jì)算方法。教學(xué)中，要通過追問：你是怎樣把一個(gè)平行四邊形拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形？怎么剪的？為什么要拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？什么變了、什么沒變？從而使學(xué)生明白：沿著平行四邊形的任意一條高剪開都可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，拼成的長(zhǎng)方形和原來的平行四邊形相比，形狀雖然變了，但面積沒變。這樣就可以化新為舊、化未知為已知。有了這部分化歸方法的滲透，后面的三角形、梯形、圓面積計(jì)算方法的探究過程就會(huì)水到渠成。從而讓學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感，享受數(shù)學(xué)探究的樂趣。
2.“數(shù)形結(jié)合思想”在實(shí)際生活中的應(yīng)用
將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去解決。“數(shù)形結(jié)合”思想可以幫助理解抽象的問題，會(huì)在實(shí)際生活中有很大的應(yīng)用?！皵?shù)形結(jié)合”的思想不僅在教學(xué)中有用，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題有很大的幫助。例如：對(duì)于在實(shí)際生活的中，需要地域500元購入60元的單片軟件3片，需要購入70元的磁帶2個(gè)，額選購方式有幾種？其實(shí)這樣的題目就是對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想、排列以及數(shù)學(xué)中不等式的解法的考查，那么只要設(shè)需要軟件x片，需要磁帶y盒，然后列出不等式，相反，如果用列舉法一一列出，是可以解決的，但是過程就會(huì)變得麻煩。因此，掌握數(shù)形結(jié)合思想對(duì)實(shí)際問題的解決作用是很大的。
3.“數(shù)形結(jié)合思想”在幾何當(dāng)中的應(yīng)用
中學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)于“數(shù)形結(jié)合”思想對(duì)于直線、四方形、圓以及圓錐曲線在直角坐標(biāo)系中的特點(diǎn)，都可以在圖形中尋找解題思路。不論是找對(duì)應(yīng)的圖像，以及求四邊形面積等的幾何問題都有很大的應(yīng)用。例如：已知正方形ABCD的面積是30平方厘米，E，F(xiàn)是邊AB，BC上的兩點(diǎn)，AF，CE并且相交與G點(diǎn)，并且三角形ABC的面積是5平方厘米，三角形BCE的面積是14平方厘米，要求的是四邊形BEGF的面積。在求解過程中，結(jié)合圖形，連接AC\BG并設(shè)立方程可巧妙求解?？梢姡诰唧w實(shí)際的幾何中的分析與思考，運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思想就會(huì)將問題變得簡(jiǎn)單。
新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)有著明確的要求，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透正是對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求的落實(shí)。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識(shí)就是對(duì)數(shù)學(xué)方法和規(guī)律的理想認(rèn)識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要想將新課程標(biāo)準(zhǔn)要求得到落實(shí)，不僅要能夠?qū)?shù)學(xué)教材中的知識(shí)體系得到熟練的掌握，還要能夠?qū)⑵渲兴N(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行掌握。小學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想方法能夠?qū)處煹臄?shù)學(xué)素養(yǎng)得以提高，小學(xué)階段的滲透數(shù)學(xué)思想方法的要求也是對(duì)教師自身知識(shí)和方法體系進(jìn)行完善的過程。滲透數(shù)學(xué)思想方法需要老師對(duì)其有本體的知識(shí)認(rèn)識(shí)，有利于對(duì)教師自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，也能夠有效地提高教師對(duì)教材靈活運(yùn)用的水平，對(duì)教師自身的滲透教學(xué)水平提高也有著促進(jìn)意義，同時(shí)也是學(xué)生發(fā)展的需要。
2．小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的策略探究
對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用要能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)的形成過程得到有效的凸顯，使得學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)思想方法進(jìn)行感悟。小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)學(xué)思想方法有著實(shí)際的反映，兩者是有著密切聯(lián)系的。例如，對(duì)10以內(nèi)的數(shù)字讓學(xué)生進(jìn)行認(rèn)識(shí)，這就需要利用大量的感性材料使得學(xué)生能夠?qū)@些數(shù)字的意義進(jìn)行自行感受，在這一基礎(chǔ)上對(duì)相關(guān)數(shù)字的概念進(jìn)行抽象的概括。在這一過程當(dāng)中不僅是要讓學(xué)生對(duì)數(shù)字的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的一種滲透。小學(xué)生在這一階段的感悟能力還處在萌芽狀態(tài)，所以要能夠循序漸進(jìn)地將這一數(shù)學(xué)思想方法得以滲透，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程進(jìn)行凸顯。還有就是在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)規(guī)律進(jìn)行探索的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的探索是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的一種方法是能夠有效地將學(xué)生的知識(shí)理解能力得到加強(qiáng)。例如，在對(duì)數(shù)的大小比較過程中，就可以通過引導(dǎo)的方式通過案例將滲透數(shù)學(xué)思想方法得以應(yīng)用。在一片美麗的沙難上，一對(duì)海龜在激烈的爭(zhēng)吵著，兩只海龜都說自己的年齡是最大的。在這一過程中老師要出示一個(gè)上面寫著9一個(gè)寫著10。在這一情況下讓學(xué)生來對(duì)數(shù)字進(jìn)行對(duì)比:哪一只海龜?shù)哪挲g大一些。在這一過程當(dāng)中，通過老師的引導(dǎo)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)字10比數(shù)字9要大，也就是說兩位數(shù)的數(shù)字要比一位數(shù)的數(shù)字要大。這樣來引導(dǎo)學(xué)生在以后的類似案例中就能夠讓學(xué)生了解到這種規(guī)律。另外，還要能夠在學(xué)生的課后生活當(dāng)中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行滲透。在作業(yè)的布置上要將數(shù)學(xué)思想方法加以滲透，這是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的重要鞏固環(huán)節(jié)，老師要充分考慮對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)消化，課后作業(yè)要對(duì)知識(shí)的總結(jié)得到重視，也就是要能夠總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生的歸納問題的能力加以重視。還有就是要能夠強(qiáng)化學(xué)生在生活中的體驗(yàn)，要對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行充分理解，只有生活實(shí)踐的能力得到了提升，才能夠最大化地將數(shù)學(xué)思想方法的滲透作用得到充分發(fā)揮。總之，要能夠在反復(fù)運(yùn)用的過程中進(jìn)行滲透，小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和其它的科目學(xué)習(xí)有著不一樣的地方，簡(jiǎn)單地依靠死記硬背是行不通的，所以要能夠注重學(xué)習(xí)方法的應(yīng)用。要能夠在反復(fù)的學(xué)習(xí)過程中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運(yùn)用，這樣才能夠達(dá)到駕輕就熟的地步，對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)會(huì)因?yàn)樗枷攵兊蒙羁?，故此教師要能夠充分地將?shù)學(xué)思想以及方法的滲透得到落實(shí)，這樣會(huì)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)以及教學(xué)水平的提升有著重要促進(jìn)作用。
數(shù)學(xué)思想方法是前人探索數(shù)學(xué)真理過程中的精髓。而數(shù)學(xué)思想,是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中,經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果,它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí),是知識(shí)中奠基性的成分。首先,數(shù)學(xué)思想比一般說的數(shù)學(xué)概念具有更高的抽象和概括水平。其次,數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)方法三者密不可分。如果人們站在某個(gè)位置、從某個(gè)角度運(yùn)用數(shù)學(xué)方法去觀察和思考問題,那么數(shù)學(xué)思想也就成了一種觀點(diǎn)、一種認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)理論和方法在更高層次上的提煉和概括,屬于理性認(rèn)識(shí)的范疇。數(shù)學(xué)思想具有概括性和普通性,而數(shù)學(xué)方法它具有操作性和具體性。作為數(shù)學(xué)思想,它不僅比數(shù)學(xué)方法處于更高層次,而且是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法的精髓和靈魂,其運(yùn)用和發(fā)展有助于知識(shí)得到優(yōu)化,有助于理性認(rèn)識(shí)迅速構(gòu)建,有助于將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法既有聯(lián)系又有區(qū)別。數(shù)學(xué)思想具有概括性和普遍性,數(shù)學(xué)方法具有操作性和具體性。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的理論基礎(chǔ)和精神實(shí)質(zhì)。數(shù)學(xué)思想都是通過某種方法來體現(xiàn),而任何一種數(shù)學(xué)方法都反映了一定的數(shù)學(xué)思想。高職數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)思想有:(1)符號(hào)化與變?cè)硎舅枷?。包括符?hào)化思想、換元思想、方程思想、參數(shù)思想。(2)集合思想。包括分類思想、交集思想、補(bǔ)集思想、包含排除思想。(3)對(duì)應(yīng)思想。包括映射思想、函數(shù)思想、變換思想、數(shù)形結(jié)合思想。(4)公理化與結(jié)構(gòu)思想。包括基元與母結(jié)構(gòu)思想、演繹推理思想、數(shù)學(xué)模式思想。(5)數(shù)學(xué)系統(tǒng)思想。包括整體思想、分解與組合思想、狀態(tài)運(yùn)動(dòng)變化思想、最優(yōu)化思想。(6)統(tǒng)計(jì)思想。包括隨機(jī)思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想。(7)辯證的數(shù)學(xué)思想。包括數(shù)學(xué)范疇的對(duì)立統(tǒng)一、普遍聯(lián)系相互制約、量變質(zhì)變、否定之否定、數(shù)學(xué)化歸、極限思想。(8)整體與局部思想。
高職數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的這些豐富的數(shù)學(xué)思想,它們與其基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法一起構(gòu)成了高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。同時(shí),又由于這些思想往往隱含在基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法里,也就伴隨著數(shù)學(xué)思想產(chǎn)出、發(fā)展和完善的過程。隨著科學(xué)技術(shù)和人類社會(huì)的不斷進(jìn)步,數(shù)學(xué)思想其內(nèi)涵也是會(huì)更豐富的,內(nèi)容也是會(huì)不斷的延展的。
2 數(shù)學(xué)思想對(duì)高職數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示
2.1 數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教材內(nèi)容體系中的呈現(xiàn)
高等職業(yè)院校的數(shù)學(xué)教學(xué)是以應(yīng)用為重點(diǎn),必需夠用為度,突出職業(yè)教育特色。因此,使學(xué)生掌握日常生活、生產(chǎn)中必備的數(shù)學(xué)知識(shí),能以數(shù)學(xué)為工具解決一定的實(shí)際問題應(yīng)作為高職數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)方法是指在提出問題,解決問題(包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問題和實(shí)際問題)的過程中所采用的各種方式、手段、途徑等,其中包括交換數(shù)學(xué)形式。但數(shù)學(xué)教材并不是這種探索過程的真實(shí)記錄。恰恰相反,教材對(duì)完美演繹形式的追求往往掩蓋了內(nèi)在的思想方法,顛倒了數(shù)學(xué)真理的發(fā)現(xiàn)過程。整個(gè)高等數(shù)學(xué)其主要思想觀點(diǎn)就是運(yùn)動(dòng)與變化的觀點(diǎn),以運(yùn)動(dòng)與變化的觀點(diǎn)去考察問題,從運(yùn)動(dòng)與變化中去認(rèn)識(shí)事物,這是唯物辯證法在數(shù)學(xué)中的反映。例如,高等數(shù)學(xué)就是從圓的內(nèi)接正多邊形面積的變化中去認(rèn)識(shí)圓的面積,從割線運(yùn)動(dòng)中去認(rèn)識(shí)切線,從平均速度的變化中去認(rèn)識(shí)瞬時(shí)速度等等。而初等數(shù)學(xué)基本上不涉及運(yùn)動(dòng)與變化,只是在幾個(gè)相對(duì)固定量的關(guān)系中從已知求未知。研究對(duì)象從初等數(shù)學(xué)主要研究常量的運(yùn)算和固定不變圖形的性質(zhì),反映運(yùn)動(dòng)與變化的數(shù)學(xué)概念是變量與函數(shù),到高等數(shù)學(xué)是以變量及變量之間的依賴關(guān)系函數(shù)作為研究對(duì)象。解決問題的基本方法是極限,這是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)應(yīng)用發(fā)展中,所帶來出現(xiàn)的問題表現(xiàn)出的矛盾,如“曲”與“直”、“均勻”與“非均勻”等等,雖然各自的具體意義千差萬別,但表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系上都?xì)w結(jié)成“近似”與“精確”的矛盾。解決這一矛盾的有效方法就是極限方法,借助于這實(shí)質(zhì)上深刻的辯證法,使人們清楚地看到,定不變的事物是過程、運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。高職數(shù)學(xué)內(nèi)容全面,結(jié)構(gòu)嚴(yán)密,通過本課程的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生初步獲得從數(shù)和形兩個(gè)方面洞察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)方法解決問題的能力。同時(shí),它能提高學(xué)生的科學(xué)和文化素質(zhì)。找到他們學(xué)習(xí)中遇到的問題和困難調(diào)動(dòng)和激發(fā)學(xué)生在教和學(xué)中的積極性,發(fā)揮他們的潛能,為學(xué)生后續(xù)課程學(xué)習(xí)的奠定必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。使學(xué)生明白高等數(shù)學(xué)這門課程正在滲透到許多專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課當(dāng)中。高職數(shù)學(xué)既是工具,又是文化,學(xué)生自身也要加強(qiáng)對(duì)高等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。才能獲得掌握和認(rèn)識(shí)新理論、新知識(shí)、新方法強(qiáng)有力的工具。教師在傳授知識(shí)的過程中應(yīng)使數(shù)學(xué)思想的精神得以完整的體現(xiàn)。使學(xué)生了解和認(rèn)識(shí)一個(gè)較為完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。
2.2 數(shù)學(xué)思想是課堂教學(xué)實(shí)施的精髓,是學(xué)生能力培養(yǎng)的核心指導(dǎo)思想
數(shù)學(xué)既有一般科學(xué)的特征,又具有橫向移植的特點(diǎn),因而在整個(gè)科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用。數(shù)學(xué)方法是指用數(shù)學(xué)語言表述事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程,并加以推導(dǎo)、演算和分析,以形成對(duì)問題的解釋、判斷和預(yù)言。數(shù)學(xué)思想以解決問題為根本,指導(dǎo)人們從數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法和技巧的本質(zhì)認(rèn)識(shí)中獲取解決自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)或社會(huì)科學(xué)等各個(gè)方面問題的具體途徑、策略和手段。數(shù)學(xué)是集嚴(yán)密性、邏輯性、精確性和創(chuàng)造性與想象力與一身的學(xué)科。它的這些特點(diǎn)決定著高職數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)是使受教育者不僅具有一定的數(shù)學(xué)素質(zhì)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力,而且要使學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),更具有敏銳的洞察能力、分析歸納和邏輯推理能力,將抽象性的邏輯思維和創(chuàng)造性的發(fā)散思維結(jié)合起來,創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)所面臨的許多問題。進(jìn)入高職學(xué)習(xí)的學(xué)生,他們?cè)诿媾R的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)形式上都發(fā)生了重要的變化。目前對(duì)于入學(xué)的高職學(xué)生群體中體現(xiàn)入學(xué)起點(diǎn)較低,中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的能力水平參差不齊,由于高職數(shù)學(xué)要求的是“以應(yīng)用為目的,以必須夠用為度”教學(xué)原則,教學(xué)時(shí)間和教學(xué)內(nèi)容上都進(jìn)行了壓縮和調(diào)整,對(duì)教師要求備課中要深入鉆研教材和參閱有關(guān)參考材料,要善于從具體的數(shù)學(xué)知識(shí)中挖掘和提煉出數(shù)學(xué)思想方法,要預(yù)先把全書、每單元章節(jié)所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法及它們之間的聯(lián)系搞明確具體,然后統(tǒng)籌安排,有目的、有計(jì)劃和有要求地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的課堂教學(xué)提出了更高的要求。教師在教學(xué)過程中應(yīng)首先培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,因?yàn)?ldquo;興趣是最好的老師”。教師要注重運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)原則,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。備課充分、規(guī)范,教學(xué)態(tài)度端正,治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn),關(guān)心學(xué)生,做學(xué)生的知心朋友。教師在教學(xué)應(yīng)教育學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,調(diào)動(dòng)和激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情,深刻去體會(huì)數(shù)學(xué)思想的作用和意義,逐步形成良好的學(xué)習(xí)能力,鍛造學(xué)生的辨證觀。例如,導(dǎo)數(shù)概念在工程技術(shù)上更多的是被稱為在一點(diǎn)的變化率,在數(shù)學(xué)課上強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn),可使學(xué)生迅速地接受專業(yè)概念的數(shù)學(xué)描述;另一方面還要對(duì)數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)分析透徹,以使學(xué)生能夠意識(shí)到哪類專業(yè)問題可以使用相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念去表述,應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決。對(duì)于習(xí)題課的教學(xué)中,要盡可能注意避免陷入模式化的算式形式,著重要以應(yīng)用為中心,生動(dòng)活潑地突出應(yīng)用,引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法去思維,而去解決實(shí)際問題作用,也還要能使不同水平的學(xué)生都能意識(shí)到數(shù)學(xué)的意義,從中領(lǐng)略到自己需要的東西。
2.3 數(shù)學(xué)知識(shí)背景學(xué)習(xí)能深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)
學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)過程和學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中,教材是按知識(shí)的體系編寫的,是邏輯的,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。?duì)于知識(shí)產(chǎn)生的背景和解決的過程介紹的甚少。適當(dāng)?shù)亟o學(xué)生介紹有關(guān)數(shù)學(xué)發(fā)展史,適時(shí)開展一些數(shù)學(xué)講座如“數(shù)學(xué)熱門話題”,“數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)”等,開闊學(xué)生眼界。在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中適時(shí)去介紹和挖掘教學(xué)內(nèi)容與所學(xué)專業(yè)和實(shí)際生活中實(shí)例的聯(lián)系,也會(huì)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)起到一定的作用,對(duì)他們也能夠形
成良好思維和學(xué)習(xí)興趣也有幫助。這樣既能突出高職的培養(yǎng)目標(biāo),學(xué)生充分了解數(shù)學(xué)的發(fā)展、數(shù)學(xué)的價(jià)值,培養(yǎng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的決心,去激發(fā)學(xué)生的求知欲望。
2.4 數(shù)學(xué)思想對(duì)教師素質(zhì)的要求
1、明確基本要求，滲透“層次”教學(xué)?！稊?shù)學(xué)大綱》對(duì)初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個(gè)層次，即“了解”、“理解”和“會(huì)應(yīng)用”。在教學(xué)中，要求學(xué)生“了解”數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等。這里需要說明的是，有些數(shù)學(xué)思想在教學(xué)大綱中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和運(yùn)用新知識(shí)解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉(zhuǎn)化的思想方法。
教師在整個(gè)教學(xué)過程中，不僅應(yīng)該使學(xué)生能夠領(lǐng)悟到這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的好奇心和求知欲，通過獨(dú)立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題。在《教學(xué)大綱》中要求“了解”的方法有：分類法、類經(jīng)法、反證法等。要求“理解”的或“會(huì)應(yīng)用”的方法有：待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學(xué)中，要認(rèn)真把握好“了解”、“理解”、“會(huì)應(yīng)用”這三個(gè)層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會(huì)應(yīng)用”的層次，不然的話，學(xué)生初次接觸就會(huì)感到數(shù)學(xué)思想、方法抽象難懂，高深莫測(cè)，從而導(dǎo)致他們推動(dòng)信心。如初中幾何第三冊(cè)中明確提出“反證法”的教學(xué)思想，且揭示了運(yùn)用“反證法”的一般步驟，但《教學(xué)大綱》只是把“反證法”定位在“了解”的層次上，我們?cè)诮虒W(xué)中，應(yīng)牢牢地把握住這個(gè)“度”，千萬不能隨意拔高、加深。否則，教學(xué)效果將是得不償失。
2、從“方法”了解“思想”，用“思想”指導(dǎo)“方法”。關(guān)于初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想和方法內(nèi)涵與外延，目前尚無公認(rèn)的定義。其實(shí)，在初中數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊(yùn)含。只是方法較具體，是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段，而思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)思想的了解，是使數(shù)學(xué)思想與方法得到交融的有效方法。比如化歸思想，可以說是貫穿于整個(gè)初中階段的數(shù)學(xué)，具體表現(xiàn)為從未知到已知的轉(zhuǎn)化、一般到特殊的轉(zhuǎn)化、局部與整體的轉(zhuǎn)化，課本引入了許多數(shù)學(xué)方法，比如換元法，消元降次法、圖象法、待定系數(shù)法、配方法等。在教學(xué)中，通過對(duì)具體數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步領(lǐng)略內(nèi)含于方法的數(shù)學(xué)思想；同時(shí)，數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，又深化了數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯(lián)璧合，將創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神寓于教學(xué)之中，教學(xué)才能卓有成效。
二、遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，把握教學(xué)原則，實(shí)施創(chuàng)新教育
要達(dá)到《教學(xué)大綱》的基本要求，教學(xué)中應(yīng)遵循以下幾項(xiàng)原則：
1、滲透“方法”，了解“思想”。由于初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，把數(shù)學(xué)思想、方法作為一門獨(dú)立的課程還缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ)。因而只能將數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中。教師要把握好滲透的契機(jī)，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，知識(shí)的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，形成獲取、發(fā)展新知識(shí)，運(yùn)用新知識(shí)解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識(shí)的結(jié)論，就必然失去滲透數(shù)學(xué)思想、方法的一次次良機(jī)。如初中代數(shù)課本第一冊(cè)《有理數(shù)》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節(jié)——“有理數(shù)大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中。在數(shù)軸教學(xué)之后，就引出了“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)”。而兩個(gè)負(fù)數(shù)比大小的全過程單獨(dú)地放在絕對(duì)值教學(xué)之后解決。教師在教學(xué)中應(yīng)把握住這個(gè)逐級(jí)滲透的原則，既使這一章節(jié)的重點(diǎn)突出，難點(diǎn)分散；又向?qū)W生滲透了形數(shù)結(jié)合的思想，學(xué)生易于接受。
“數(shù)學(xué)思想”作為數(shù)學(xué)課程論的一個(gè)重要概念，我們完全有必要對(duì)它的內(nèi)涵與外延形成較為明確的認(rèn)識(shí)。關(guān)于這個(gè)概念的內(nèi)涵，我們認(rèn)為：數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。這種認(rèn)識(shí)的主體是人類歷史上過去、現(xiàn)在以及將來有名與無名的數(shù)學(xué)家；而認(rèn)識(shí)的客體，則包括數(shù)學(xué)科學(xué)的對(duì)象及其特性，研究途徑與方法的特點(diǎn)，研究成就的精神文化價(jià)值及對(duì)物質(zhì)世界的實(shí)際作用，內(nèi)部各種成果或結(jié)論之間的互相關(guān)聯(lián)和相互支持的關(guān)系等?？梢?，這些思想是歷代與當(dāng)代數(shù)學(xué)家研究成果的結(jié)晶，它們蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)材料之中，有著豐富的內(nèi)容。
通常認(rèn)為數(shù)學(xué)思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)通過概括而獲得的認(rèn)識(shí)成果。既然是認(rèn)識(shí)就會(huì)有不同的見解，不同的看法。實(shí)際上也確實(shí)如此，例如，有人認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認(rèn)為以函數(shù)思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容更有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果，還有人認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認(rèn)為，只要是在充分分析、歸納概括數(shù)學(xué)材料的基礎(chǔ)上來論述數(shù)學(xué)思想，那么所得的結(jié)論總是可能做到并行不悖、互為補(bǔ)充的，總是能在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中起到積極的促進(jìn)作用的。
關(guān)于這個(gè)概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。
屬于宏觀的，有數(shù)學(xué)觀(數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展、數(shù)學(xué)的本能和特征、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系)，數(shù)學(xué)在科學(xué)中的文化地位，數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識(shí)論、方法論價(jià)值等；屬于中觀的，有關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)部各個(gè)部門之間的分流的原因與結(jié)果，各個(gè)分支發(fā)展過程中積淀下來的內(nèi)容上的對(duì)立與統(tǒng)一的相克相生的關(guān)系等；屬于微觀結(jié)構(gòu)的，則包含著對(duì)各個(gè)分支及各種體系結(jié)構(gòu)定內(nèi)容和方法的認(rèn)識(shí)，包括對(duì)所創(chuàng)立的新概念、新模型、新方法和新理論的認(rèn)識(shí)。
從質(zhì)的方面說，還可分成表層認(rèn)識(shí)與深層認(rèn)識(shí)、片面認(rèn)識(shí)與完全認(rèn)識(shí)、局部認(rèn)識(shí)與全面認(rèn)識(shí)、孤立認(rèn)識(shí)與整體認(rèn)識(shí)、靜態(tài)認(rèn)識(shí)與動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)、唯心認(rèn)識(shí)與唯物認(rèn)識(shí)、謬誤認(rèn)識(shí)和正確認(rèn)識(shí)等。
二、數(shù)學(xué)思想的特性和作用
數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上形成和發(fā)展的，它是人類對(duì)數(shù)學(xué)及其研究對(duì)象，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)（主要指概念、定理、法則和范例)以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性的認(rèn)識(shí)。它表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的開拓之中，表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)概念、命題和數(shù)學(xué)模型的分析與概括之中，還表現(xiàn)在新的數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生過程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)數(shù)學(xué)思想凝聚成數(shù)學(xué)概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成數(shù)學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)。在這個(gè)系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)思想起著統(tǒng)帥的作用。
(二)數(shù)學(xué)思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數(shù)學(xué)思想，是從眾多的具體的個(gè)性中抽取出來且對(duì)個(gè)性具有普遍指導(dǎo)意義的共性。它比某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對(duì)較高?，F(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的運(yùn)動(dòng)和變化、相輔相成、對(duì)立統(tǒng)一等“事實(shí)”，都可作為數(shù)學(xué)思想進(jìn)行哲學(xué)概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學(xué)的世界觀和方法論。
(三)數(shù)學(xué)思想富有創(chuàng)造性
借助于分析與歸納、類比與聯(lián)想、猜想與驗(yàn)證等手段，可以使本來較抽象的結(jié)構(gòu)獲得相對(duì)直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉(zhuǎn)化成極具規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。從而將一種關(guān)系結(jié)構(gòu)變成或映射成另一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，又可反演回來，于是復(fù)雜問題被簡(jiǎn)單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題，便是典型的一例。當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)家們?cè)谧鬟@些探討時(shí)是很難的，是零零碎碎的，有時(shí)為了一個(gè)模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會(huì)到創(chuàng)造的艱辛，發(fā)展頑強(qiáng)奮戰(zhàn)的個(gè)性，培養(yǎng)創(chuàng)造的精神。三、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)功能
我國《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”。根據(jù)這一要求，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中必須大力加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)與研究。
(一)數(shù)學(xué)思想是教材體系的靈魂
從教材的構(gòu)成體系來看，整個(gè)初中數(shù)學(xué)教材所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯成了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條“河流”。一條是由具體的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成的易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“骨架”；另一條是由數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的具有潛在價(jià)值的“暗河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數(shù)學(xué)思想作靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)才不再成為孤立的、零散的東西。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想能將“游離”狀態(tài)的知識(shí)點(diǎn)(塊)凝結(jié)成優(yōu)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有了它，數(shù)學(xué)概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個(gè)有機(jī)的整體?？梢姡瑪?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形式，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展思維能力的動(dòng)力和工具。教師在教學(xué)中如能抓住數(shù)學(xué)思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進(jìn)行再創(chuàng)造，才能使教學(xué)見效快，收益大。
(二)數(shù)學(xué)思想是我們進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想
筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)分三個(gè)層次進(jìn)行，這便是宏觀設(shè)計(jì)、微觀設(shè)計(jì)和情境設(shè)計(jì)。無論哪個(gè)層次上的設(shè)計(jì)，其目的都在于為了讓學(xué)生“參與”到獲得和發(fā)展真理性認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中去。這種設(shè)計(jì)不能只是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程中的“還原”，一定要有數(shù)學(xué)思想的飛躍和創(chuàng)造。這就是說，一個(gè)好的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)當(dāng)是歷史上數(shù)學(xué)思想發(fā)生、發(fā)展過程的模擬和簡(jiǎn)縮。例如初中階段的函數(shù)概念，便是概括了變量之間關(guān)系的簡(jiǎn)縮，也應(yīng)當(dāng)是滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想、使用現(xiàn)代手段實(shí)現(xiàn)的新的認(rèn)識(shí)過程。又如高中階段的函數(shù)概念，便滲透了集合關(guān)系的思想，還可以是在現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的概括和延伸，這就需要搞清楚應(yīng)概括怎樣的共性，如何準(zhǔn)確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對(duì)于這些問題，都需要進(jìn)行預(yù)測(cè)和創(chuàng)造，而要順利地完成這一任務(wù)，必須依靠數(shù)學(xué)思想作為指導(dǎo)。有了深刻的數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo)，才能做出智慧熠爍的創(chuàng)新設(shè)計(jì)來，才能引發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造性的思維活動(dòng)來。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，才能適應(yīng)瞬息萬變的技術(shù)革命的要求?？恳回炄绱嗽O(shè)計(jì)的課堂教學(xué)培養(yǎng)出來的人才，方能在21世紀(jì)的激烈競(jìng)爭(zhēng)中立于不敗之地。
(三)數(shù)學(xué)思想是課堂教學(xué)質(zhì)量的重要保證
數(shù)學(xué)思想性高的教學(xué)設(shè)計(jì)，是高質(zhì)量進(jìn)行教學(xué)的基本保證。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師面對(duì)的是幾十個(gè)學(xué)生，這幾十個(gè)智慧的頭腦會(huì)提出各種各樣的問題。隨著新技術(shù)手段的現(xiàn)代化，學(xué)生知識(shí)面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對(duì)這些活潑肯鉆研的學(xué)生所提的問題，教師只有達(dá)到一定的思想深度，才能保證準(zhǔn)確辨別各種各樣問題的癥結(jié)，給出中肯的分析；才能恰當(dāng)適時(shí)地運(yùn)用類比聯(lián)想，給出生動(dòng)的陳述，把抽象的問題形象化，復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化；才能敏銳地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思想火花，找到閃光點(diǎn)并及時(shí)加以提煉升華，鼓勵(lì)學(xué)生大膽地進(jìn)行創(chuàng)造，把眾多學(xué)生牢牢地吸引住，并能積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中來，真正成為教學(xué)過程的主體；也才能使有一定思想的教學(xué)設(shè)計(jì)，真正變成高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過程。
二、以情引趣，創(chuàng)設(shè)新鮮的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生學(xué)習(xí)勁頭足
數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是一種活動(dòng)，而且是一種充滿情感交流的過程．師生的交流溝通，不僅應(yīng)飽含情感與尊重，更應(yīng)在這樣的基礎(chǔ)上及時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生的積極性，這樣才能將精神源頭轉(zhuǎn)化為實(shí)際行為．在教學(xué)過程中，對(duì)教材的深度鉆研是合理規(guī)劃課堂內(nèi)容的基礎(chǔ)，在這一層面上將數(shù)學(xué)教材總結(jié)的生動(dòng)有趣，才能使學(xué)生有更大興趣．興趣是通往一門新知識(shí)的鑰匙，學(xué)生的興趣能夠深層影響其學(xué)習(xí)動(dòng)力．在講授數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，可以更多設(shè)立中等難度引導(dǎo)學(xué)生思考的范圍，讓其進(jìn)行積極深入的思索，引起學(xué)生對(duì)新領(lǐng)域新知識(shí)的興致．班里幾個(gè)同學(xué)在拋硬幣，教師可以提問:一個(gè)硬幣正面向上的可能性有幾種?兩個(gè)呢?這樣的引發(fā)學(xué)生思考的提問，能夠逐步地引發(fā)學(xué)生的疑惑與求知的欲望，進(jìn)而讓學(xué)生在新課程的講授中更加集中注意力并積極參與，在接下來的課程中，接二連三的拋出讓學(xué)生思考的問題，將課程的講授自然地深入進(jìn)行，而學(xué)生也就在稍有間斷的思考中不斷獲取新的書本知識(shí)．然后又問:三個(gè)硬幣呢?學(xué)生帶著疑問看多媒體計(jì)算機(jī)演示．精心安排與引導(dǎo)的課程環(huán)節(jié)，能夠讓學(xué)生一直處在被求知欲與好奇心包圍的氛圍之中，教師不僅將課本知識(shí)得以傳授，更可以通過輕松有趣的溝通方式與學(xué)生建立情感深入交流，讓全體學(xué)生都在輕松的學(xué)習(xí)過程中體會(huì)到獨(dú)立思考的樂趣，通過多次這樣的教學(xué)慢慢培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考與積極參與的有益習(xí)慣．
三、以情促知，恰當(dāng)?shù)貙⒅R(shí)潛移默化，能使學(xué)生興奮，對(duì)正確理解和鞏固知識(shí)有好處
贊可夫認(rèn)為，少兒的情緒反應(yīng)和其好奇、疑惑、思考、探索等行為是緊密相關(guān)的，并且會(huì)互相影響．也就是說愉悅、輕松、有成就感的學(xué)習(xí)過程能夠潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，進(jìn)而達(dá)到促進(jìn)學(xué)習(xí)勁頭的良性循環(huán)．然而，這樣的良性循環(huán)并不是一次或幾次就能達(dá)到的結(jié)果，授課的過程是漫長(zhǎng)且需要耐心的，根據(jù)不同學(xué)生的基本情況進(jìn)行分層次教學(xué)模式，不對(duì)優(yōu)秀學(xué)生偏袒也不對(duì)暫時(shí)落后的學(xué)生另眼相看，在讓每一位學(xué)生都能感受到相比從前自己的進(jìn)步，讓學(xué)生從內(nèi)心深處認(rèn)可自己的進(jìn)步與潛力，在不斷提升的自我認(rèn)可度基礎(chǔ)上，逐步用行動(dòng)證明自身的努力成果．在教學(xué)過程中，我力求做到如下兩點(diǎn):一是反饋練習(xí)的設(shè)計(jì)注重層次性，突出針對(duì)性:足量的基本練習(xí)給基礎(chǔ)較差的學(xué)生創(chuàng)設(shè)了成功的機(jī)會(huì);設(shè)置不同層次的練習(xí)題目，分為必做和選做等多種題型，這樣就能讓學(xué)習(xí)成績(jī)較好的學(xué)生有更多的發(fā)揮空間與求學(xué)動(dòng)力，不會(huì)感覺到知識(shí)的信手拈來，讓這部分學(xué)生迎難而上．二是練習(xí)形式的多樣性，增強(qiáng)趣味性．鞏固反饋階段，有書面練習(xí)，口答練習(xí)，也有動(dòng)手操作練習(xí)，有小組合作，也有競(jìng)賽，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，動(dòng)靜結(jié)合，充分開發(fā)學(xué)生的潛能，增強(qiáng)學(xué)生以學(xué)為主的情感．
四、以言喚情，用情促行
教學(xué)語言既是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)．它是提高課堂教學(xué)效果行之有效的重要手段．有人說“教師應(yīng)該是語言大師”．這句話說得非常恰當(dāng)，因?yàn)榻處熅褪峭ㄟ^語言來授之以理、授之以法的．有的教師總是能把一節(jié)課講得有聲有色，很好地完成教學(xué)任務(wù)．而有的教師則詞不達(dá)意，言不傳情，因此效果極差．可見，課堂教學(xué)語言的藝術(shù)是多么重要．在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師的專業(yè)術(shù)語精確練達(dá)固然重要，更讓學(xué)生產(chǎn)生情感共鳴的還應(yīng)是教師的言語方式及個(gè)人風(fēng)度涵養(yǎng)，優(yōu)秀的師風(fēng)師德配合表達(dá)風(fēng)趣、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言，必然能吸引更多學(xué)生的注意力與求知欲．例如，有的教師在初次接觸幾何課的學(xué)生面前，用一支筆能測(cè)量高樓的懸殊對(duì)比這一生動(dòng)例子，很好地抓住了學(xué)生的疑惑心理，學(xué)生聽后目瞪口呆，隨后議論起來如何測(cè)量．教師提問:想知道如何測(cè)量嗎?學(xué)生回答非常想知道．那我們必須學(xué)好八年級(jí)的幾何!本節(jié)課學(xué)生情緒高漲，聽得、學(xué)得、做得都非常認(rèn)真、入神、到位．在上課的同時(shí)，教師要經(jīng)常用“你太棒了!”“還有別的做法嗎?”用這樣的提問式語句與互動(dòng)方式，提供給學(xué)生自主發(fā)揮想象空間的平臺(tái)，通過幾何就在生活中隨處可見的例子，拉近新課程與學(xué)生的心理距離．
