時間：2022-03-25 07:58:26
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3、畫出過點(diǎn)A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。分別連接CF、AD，形成BCF、BDA。
關(guān)鍵詞：勾股定理
勾股定理在我國也稱“商高定理”，因?yàn)樵谥袊谈呤亲钤绨l(fā)現(xiàn)和利用勾股定理的人，商高曾經(jīng)說過：“故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”。這就是人們后面說的“勾三股四弦五”。勾股定理的應(yīng)用十分廣泛，到目前為止對勾股定理的證明方法非常多，美國總統(tǒng)伽菲爾德證明勾股定理在歷史上也是很有名的。勾股定理的證明體現(xiàn)了數(shù)型結(jié)合得思想，這體現(xiàn)了在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)得過程中我們必須要重視思維方式的培養(yǎng)，以及對各種思維方式的應(yīng)用，達(dá)到舉一反三的效果。在學(xué)習(xí)勾股定理的過程中我們要領(lǐng)會數(shù)學(xué)思維的規(guī)律和方法，提高數(shù)學(xué)思維的靈活性。利用勾股定理解題的時候，常常要把有關(guān)的已知量和未知量通過圖形結(jié)合起來解決問題，也就是說我們必須要數(shù)型結(jié)合才能更好的解決勾股定理的問題。在研究問題的時候把數(shù)和形結(jié)合起來考慮，并且把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，可以使得復(fù)雜的問題簡單話，抽象問題具體化，所以數(shù)型結(jié)合是一個重要的數(shù)學(xué)思想。
在早期的人類活動中，其實(shí)人們就認(rèn)識到了勾股定理的一些特征，傳說在公元前1000多年前我國就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”來確定直角。但是有數(shù)學(xué)家對此也表示懷疑，例如美國的M?克萊因教授就曾經(jīng)說過：“我們也不知道埃及人是否認(rèn)識到畢達(dá)哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人，但所傳他們在繩上打結(jié)，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實(shí)。”不過在大約2000多年前的古巴比倫的泥版書上，經(jīng)過考古專家的考證，在其中一塊泥版書上記錄著這樣的問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當(dāng)其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠(yuǎn)？”很明顯這是一個勾股定理的例子。還有一塊泥版上刻著一些奇特的數(shù)表，在表中一共有四列十五行數(shù)字，不難看出這是一組勾股數(shù)，從右邊到左邊一共有15組勾股數(shù)，從這里可以看出勾股定理實(shí)際很早就被人們所認(rèn)識。
對勾股定理進(jìn)行分類討論可以對有可能出現(xiàn)的問題考慮得比較的完整，在解決問題的時候做到“不漏不重”。
證明勾股定理的方法很多，一一例舉是不可能的，本論文只簡單的討論了幾種簡單易懂的證明方法。那么，接下來我們來看一下證明勾股定理的這幾種方法。
1.通俗易懂的課本證明
2.經(jīng)典的梅文鼎證法
例2：做四個全等的直角三角形，兩條直角邊邊長分別是a、b，斜邊為c。把這些三角形拼成如下圖所示的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上，過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P。
8.總結(jié)
勾股定理作為中學(xué)數(shù)學(xué)的基本定理之一，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必修課程。本文討論了勾股定理的一些證明方法，簡單的闡述了勾股定理的背景，這可以讓我們對勾股定理能夠由更深的了解。本文證明勾股定理的這幾種方法都是比較簡單和常見的，但是也是從不同的方面進(jìn)行的驗(yàn)證，這會帶領(lǐng)大家更加深入的了解勾股定理的證明，啟發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)的思考，養(yǎng)成多方面看待問題的思維習(xí)慣。通過本文主要是想讓學(xué)生能夠?qū)W好勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題。學(xué)好勾股定理對我們今后的學(xué)習(xí)和研究由很大的幫助，所以我們學(xué)者對勾股定理的研究就顯得很有必要，也具有相當(dāng)大的價值。
參考文獻(xiàn)
[1]趙爽.周脾算經(jīng)注.2006.
[2]王工一.論《九章算術(shù)》和中國古代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)[J].麗水學(xué)院學(xué)報.2006.
[3]王凱.勾股定理玉中國古代數(shù)學(xué)[J].邵陽學(xué)院學(xué)報.2005.
課堂教學(xué)開展之初，應(yīng)利用一些生動有趣的故事引入，讓學(xué)生對所學(xué)知識產(chǎn)生興趣.
在教學(xué)勾股定理時，我用《九章算術(shù)》中的一題引入：如圖1，有個一丈見方的水池，在這個池中生長著一株植物，植物形似蘆葦，恰好伸出水面一尺長，假如把這株植物彎向岸邊，直到其與地面相連時，可否得出這一池水的深度，以及這株植物的長度？
圖1在方案設(shè)計(jì)時融入故事和趣味問題，主要的意圖是通過這些妙趣橫生的情境來激發(fā)學(xué)生的想象力，讓他們對學(xué)習(xí)勾股定理產(chǎn)生興趣，從而調(diào)動起他們的探究熱情.
圖2二、定理探索
定理的探索是一個發(fā)現(xiàn)的過程，主要分為以下兩步.
1.直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系的猜想
結(jié)合圖2，若圖中小方格的單位面積為1.問題（1）：如何求出三個正方形的面積？問題（2）：三個正方形的面積之間有什么等量關(guān)系？問題（3）：你能否得出直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系？
2.猜想驗(yàn)證
首先作出八個全等的直角三角形，它們的兩個直角邊和斜邊分別設(shè)定為a、b、c，再作三個正方形，它們的邊長分別為a、b、c.然后按照圖3所示，將它們拼成兩個大的正方形.我們從兩個大正方形中可以發(fā)現(xiàn)，它們的邊長均為a+b，因此可以斷定它們的面積等同.即.
圖3通過上述驗(yàn)證探索我們可以得知，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（即勾股定理）.
三、定理應(yīng)用
在驗(yàn)證完上述定理之后，還需要針對學(xué)生掌握的情況進(jìn)行解題嘗試，讓學(xué)生可以進(jìn)一步應(yīng)用定理. 以上述《九章算術(shù)》的習(xí)題為例，讓學(xué)生嘗試求出池水的深度以及這株植物的長度.
因?yàn)閷W(xué)生此時已經(jīng)大致了解了勾股定理，因此在理解題意的基礎(chǔ)上，可以整理出AB2=AC2+BC2，再將有關(guān)代數(shù)式代入等式中，通過解方程可以得出水深12尺，這株植物的長度為13尺.
四、定理證明
圖4 當(dāng)學(xué)生完成了對勾股定理的猜測、驗(yàn)證和應(yīng)用后，最后還要對勾股定理進(jìn)行證明.對此，我們將學(xué)生分為幾個小組，讓學(xué)生組內(nèi)合作進(jìn)行定理的證明.當(dāng)然，勾股定理的證明方法有很多，所以針對不同的小組，讓他們采用不同的方法加以證明.就拿拼圖法來說，除了像圖3那種方法外，也可以用圖4來證明.
這一部分的操作意圖是為了讓學(xué)生之間的互動交流得以加強(qiáng)，使他們對勾股定理的原理和認(rèn)知能夠得到全面的鞏固.
五、習(xí)題鞏固
1引言
自我國改革開放以來，國內(nèi)政治、經(jīng)濟(jì)、社會、文化等諸多環(huán)境得以完善，從而吸引了大量外國企業(yè)、居民進(jìn)入國內(nèi)，給中國當(dāng)代文化氛圍、科學(xué)技術(shù)發(fā)展帶來了較為深刻的影響。中外文化的交流，在一定程度上給整個世界學(xué)術(shù)界、實(shí)務(wù)界的發(fā)展提供更加鮮活的血液與動力。（刪除）勾股定理作為世界范圍內(nèi)數(shù)學(xué)界最為偉大的發(fā)明之一，其是一個十分偉大的數(shù)學(xué)定理。迄今為止，勾股定理已經(jīng)被利用多種方法給予證明，并在較多領(lǐng)域中得以推廣。作為一個具有歷史厚重感的數(shù)學(xué)定理，在當(dāng)前中學(xué)教課書中也是僅僅列舉了一種證明方法，而對其他方法的證明及其推廣應(yīng)用的介紹十分之少。為此，作者將在本文中針對勾股定理的證明方法進(jìn)行研究，作者謹(jǐn)此希望能夠利用本文的研究豐富當(dāng)代中學(xué)生的視野，使他們能夠利用對定理背后歷史的探究，更好的掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用方法，為步入大學(xué)校園繼續(xù)深造奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，為社會主義現(xiàn)代化建設(shè)需求人才素質(zhì)的提升做出自身貢獻(xiàn)（刪除）。
2勾股定理的證明方法研究
勾股定理作為一種舉世聞名的數(shù)學(xué)定理，其（刪除）現(xiàn)存的證明方法繁復(fù)多樣，可根據(jù)主流的分類方法將其歸為三類。在下文當(dāng)中，作者將對前兩種方法分別進(jìn)行一種證明方法的研究。
第一，面積法。該種證明方法是由畢達(dá)哥拉斯所發(fā)明的，其當(dāng)初所使用的面積法證明采用了分解的思路，具體如下圖所示：
在兩個繪制的圖形當(dāng)中，可以發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯共設(shè)計(jì)出了八個大小完全相等的直角三角形。并對每個直角三角形的邊進(jìn)行了賦值，其中直角邊的賦值分別為a與b、斜邊的賦值為c。接下來，在上述八個直角三角形的位置周圍繪制出了三個等邊正方形。最終就形成了如上兩個圖形。在做好上述準(zhǔn)備工作之后，就可開始對勾股定理進(jìn)行了證明，其證明思路主要為利用正方形所具有的面積對定理進(jìn)行證明?？梢园l(fā)現(xiàn)，左圖當(dāng)中將所有小矩形的面積進(jìn)行相加，就等于整個大正方形的面積。并可得出如下公式：
（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab
在得出上述等式基礎(chǔ)上，再將面積相等的方法應(yīng)用于右圖當(dāng)中，也可以得出另一等式：
（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab
通過上述兩個公式之間的合并，最終可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2
第二，拼接法。拼接法證明與面積法證明之間存在著較大差異。為此，可以先繪制以下圖形，以便于利用拼接法進(jìn)行更為準(zhǔn)確的證明：
其通常所采用的方法之一具體由上圖列示。該圖形主要由四個大小相同的直角三角形所構(gòu)成。并對每個直角三角形的邊進(jìn)行賦值，賦值方法與面積法基本相同。在此基礎(chǔ)上，可利用上述拼接圖形進(jìn)行勾股定理的證明。由上圖可以發(fā)現(xiàn)，DE=AF=HE=b，且角GDE為90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG為90度。因此，上圖當(dāng)中的兩個四邊形就可以利用已經(jīng)為直角三角形的賦值進(jìn)行替代表示。從而又可將上圖分解為兩個圖形，并實(shí)現(xiàn)勾股定理的證明。
3勾股定理的推廣應(yīng)用研究
勾股定理不但可以在平面圖形當(dāng)中得以應(yīng)用，更加可以在三維圖形，乃至n維圖形當(dāng)中得以應(yīng)用，并給解決諸多較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供重要幫助。例如：假設(shè)ABC為等邊三角形，D是該三角形內(nèi)部的一點(diǎn)。如果假設(shè)角BDC為150度，并假設(shè)BD長度為2，CD長度為1。那么，AD的長度應(yīng)當(dāng)是多少。在上述旋轉(zhuǎn)三角形邊長求解的運(yùn)算當(dāng)中，就可以借助勾股定理的方法實(shí)現(xiàn)對最終答案的求解。該求解的主要利用圖形的旋轉(zhuǎn)將現(xiàn)有三角形ABC等位移動至三角形AEC處，從而構(gòu)造出了一個新的等邊三角形ADC。那么，依據(jù)這一思路之后，就可以利用對現(xiàn)有容易求解的方法對ED求解，并利用兩者之間相等的思想，實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)邊AD長度的求解。其中針對EC的求解就可以應(yīng)用到勾股定理，并構(gòu)造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。進(jìn)而也就求得了邊AD的長度。通過這則案例可以得出結(jié)論，勾股定理在平面圖形之外的立體多位圖形當(dāng)中可以實(shí)現(xiàn)推廣與應(yīng)用。
4結(jié)論
直角三角形是一種極常見而特殊的三角形，它有許多性質(zhì)，如兩個銳角互余，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性質(zhì)，有極其廣泛的應(yīng)用.平角的一半就是直角，空間中一條水平方向的直線和另一條鉛垂方向的相交直線也相交成一個直角，直角是生產(chǎn)和生活中最常見的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，這就搭建起了幾何圖形和數(shù)量關(guān)系之間的一座橋梁，從而發(fā)揮了重要的作用.勾股定理不僅在平面幾何中是重要的定理，而且在三角學(xué)、解析幾何學(xué)、微積分學(xué)中都是理論的基礎(chǔ)，定理對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響.沒有勾股定理，就難以建立起整個數(shù)學(xué)的大廈.所以，勾股定理不僅被認(rèn)為是平面幾何中最重要的定理之一，也被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一.
本章分為兩節(jié)，第一節(jié)介紹勾股定理及其應(yīng)用，第二節(jié)介紹勾股定理的逆定理及其應(yīng)用.
在第一節(jié)中，教科書安排了對勾股定理的觀察、計(jì)算、猜想、證明及簡單應(yīng)用的過程.教科書首先簡略講述了畢達(dá)哥拉斯從觀察地面圖案的面積關(guān)系發(fā)現(xiàn)勾股定理的傳說故事，并讓學(xué)生也去觀察同樣的圖案，以發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形這種特殊直角三角形下的特殊面積關(guān)系.在進(jìn)一步的“探究”中又讓學(xué)生對某些直角三角形進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積和以斜邊為邊長的正方形的面積，發(fā)現(xiàn)以兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.然后對更一般的結(jié)論提出了猜想.
歷史上對勾股定理證明的研究很多，得到了很多證明方法.教科書正文中介紹了公元3世紀(jì)三國時期中國數(shù)學(xué)家趙爽的證明方法.這是一種面積證法，依據(jù)是圖形在經(jīng)過適當(dāng)切割后再另拼接成一個新圖形，切割拼接前后圖形的各部分的面積之和不變，即利用面積不變的關(guān)系和對圖形面積的不同算法推出圖形的性質(zhì).在教科書中，圖17.1-6（1）中的圖形經(jīng)過切割拼接后得到圖17.1-6（3）中的圖形，證明了勾股定理.
根據(jù)勾股定理，已知兩條直角邊的長a，b，就可以求出斜邊c的長.根據(jù)勾股定理還可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜邊和一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長.也就是說，在直角三角形中，已知兩條邊的長，就可以求出第三條邊的長.教科書相應(yīng)安排了兩個例題和一個“探究”欄目，讓學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用勾股定理解決問題，并運(yùn)用定理證明了斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.
在第二節(jié)中，教科書首先讓學(xué)生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發(fā)現(xiàn)畫出的三角形都是直角三角形，從而作出猜想：如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.教科書借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）證明了這個猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一個三角形是直角三角形的一種重要依據(jù).教科書安排了兩個例題，讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用這個定理.本節(jié)結(jié)合勾股定理的逆定理的內(nèi)容的展開，穿插介紹了逆命題、逆定理的概念，并舉例說明原命題成立其逆命題不一定成立.為鞏固這些內(nèi)容，相應(yīng)配備了一些練習(xí)和習(xí)題.
2編寫時考慮的幾個問題
2.1讓學(xué)生經(jīng)歷勾股定理及其逆定理的探索過程
勾股定理及其逆定理都是初等數(shù)學(xué)中的重要定理，同時，這兩個定理也都是多數(shù)初中學(xué)生在教師的精心引導(dǎo)下通過探索能夠發(fā)現(xiàn)并證明的定理，教學(xué)中要重視這兩個定理的教學(xué)，在教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生通過探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，并獲得兩個定理的證明.
教科書對勾股定理的教學(xué)，設(shè)計(jì)了一個從特殊到一般的探索、發(fā)現(xiàn)和證明的過程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的結(jié)論證明的趙爽證法的引入.這是一個典型的探索和證明的過程.類似地，對勾股定理的逆定理，教科書也設(shè)計(jì)了從特殊結(jié)論到一般結(jié)論的探索和證明的完整過程.
這樣安排教學(xué)，有利于學(xué)生認(rèn)識結(jié)論研究的必要性，培養(yǎng)學(xué)生對結(jié)論的探索興趣和熱情，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力和嚴(yán)密審慎的思考習(xí)慣.
2.2通過介紹我國古代研究勾股定理的成就培養(yǎng)民族自豪感
我國古代對數(shù)學(xué)有許多杰出的研究成果，許多成就為世界所矚目和高度評價，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)介紹我國古代數(shù)學(xué)成就，培養(yǎng)學(xué)生愛國熱情和民族自豪感.
我國古代對勾股定理的研究就是一個突出的例子.根據(jù)成書年代不晚于公元前2世紀(jì)西漢時期的《周髀算經(jīng)》進(jìn)行推算，有可能在公元前21世紀(jì)大禹治水時人們就會應(yīng)用“勾三股四弦五”的特殊結(jié)論，公元前6、7世紀(jì)時人們還知道了勾股定理的一般結(jié)論并能靈活運(yùn)用結(jié)論解決許多實(shí)際測量問題.約公元3世紀(jì)三國時期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注寫《勾股圓方圖注》，用“弦圖”對勾股定理給出了一般的證明，這是我國對勾股定理一般結(jié)論的最早的證明.我國古代不僅較早獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理有關(guān)“勾三股四弦五”的一些特殊結(jié)論，而且也比較早使用了巧妙的方法獨(dú)立證明了勾股定理一般結(jié)論，在勾股定理的應(yīng)用方面也有許多深入的研究并達(dá)到熟練的程度.從《周髀算經(jīng)》對勾股定理的多方面的論述，此書所記錄的在公元前6、7世紀(jì)時在我國人們已經(jīng)能夠熟練且自信地把勾股定理應(yīng)用到任意邊長的直角三角形的事實(shí)，可以推測在比《周髀算經(jīng)》成書早得多的時候，我國對勾股定理不僅知其然而且知其所以然，只是缺少文獻(xiàn)明確記載對定理的論證.這些，都說明我國古代勞動人民的卓越聰明才智，也是我國對世界數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)，是值得我們自豪的.
本章教科書結(jié)合教學(xué)內(nèi)容介紹了我國古代對勾股定理的有關(guān)研究成果.在引言中介紹了現(xiàn)存的我國古代的數(shù)學(xué)著作中最早的著作《周髀算經(jīng)》的記載“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的證法很多，教科書為了弘揚(yáng)我國古代數(shù)學(xué)成就，介紹了趙爽的證法.首先介紹趙爽“弦圖”，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路.這些內(nèi)容表現(xiàn)了我國古代勞動人民對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.正因?yàn)榇?，趙爽“弦圖”被選為2002年在北京召開的世界數(shù)學(xué)家大會的會徽.教科書還在習(xí)題中安排了我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題，展現(xiàn)我國古代在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果.
課本習(xí)題是一種重要的教學(xué)資源。在總復(fù)習(xí)教學(xué)中，通過探索課本典型習(xí)題的知識生長點(diǎn)、能力發(fā)展點(diǎn)、思想方法蘊(yùn)涵點(diǎn)，挖掘課本典型習(xí)題的潛在教學(xué)價值，有利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高復(fù)習(xí)教學(xué)效率；通過反思、拓展、應(yīng)用，完成習(xí)題教學(xué)的第二次飛躍。培養(yǎng)學(xué)生探究質(zhì)疑精神，提高創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。下面就一課本習(xí)題教學(xué)進(jìn)行的再認(rèn)識和再設(shè)計(jì)問題予以探究.
題目現(xiàn)行華師大版9年級《數(shù)學(xué)》上第24章《圖形的相似》復(fù)習(xí)題C組第20題：
（1）已知，如圖1，MN是ABCD外的一條直線，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′為垂足，求證：AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）若直線MN向上移動，使點(diǎn)C在直線一側(cè)，A、B、D三點(diǎn)在直線另一側(cè)（如圖2），則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關(guān)系？先對結(jié)論進(jìn)行猜想，然后加以證明.
圖1圖21質(zhì)疑證法
華師大版配套教師用書提示：記O為ABCD兩條對角線的交點(diǎn)，過O作OO′MN，垂足為O′。
（1）由梯形中位線定理，易證所需結(jié)論.
（2）由梯形中位線定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可證AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.
根據(jù)提示，運(yùn)用梯形中位線定理是關(guān)鍵，證明如下：
圖3（1）證一：連結(jié)AC、BD交于O，過O作OO′MN，垂足為O′.
因?yàn)锽O=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.
證二：如圖3，分別連結(jié)AC、BD交于P，過P作PHMN于H，連結(jié)C′P，并延長交A′A的延長線于W。因?yàn)锽P=PD，BB′∥PH∥DD′，則B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位線。所以BB′+DD′=2PH.
又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位線，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。證明（轉(zhuǎn)化法）：如圖2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分別延長AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）證得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.
問題分析對（1）的兩種證明，關(guān)鍵性依據(jù)是“過梯形一腰的中點(diǎn)且平行于兩底的直線必平分另一腰”，然后利用中位線性質(zhì)獲證，證明看似順暢簡潔，但現(xiàn)行華師大版數(shù)學(xué)教材中始終沒有這樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容，造成推理無依據(jù)，難消學(xué)生心中的疑慮。證法二中用到的結(jié)論“過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊”可以在教材P67開頭部分找到依據(jù).
這些結(jié)論如果補(bǔ)證，會增加學(xué)生負(fù)擔(dān)；如果直接告訴這個結(jié)論，會增加學(xué)生理解難度。其實(shí)，還有適合學(xué)生的其他證法.
圖4改進(jìn)證法（1）如圖4，分別過C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因?yàn)锽B′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）可仿（1）證明.
2質(zhì)疑猜想
問題（2），在不給學(xué)生任何提示的前提下，學(xué)生的思考幾乎呈散放、無序的狀態(tài)，又測量因誤差，容易導(dǎo)致誤猜，實(shí)踐證明學(xué)生很難獲得有效的猜想。中科院院士張景中認(rèn)為，一個題目，光想不動手，往往不得其門而入，動手做，常會有啟發(fā)，代數(shù)問題，把字母代成數(shù)試一試，幾何問題，多畫幾個圖看一看，這比你冥思苦想效果好得多，學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，動手算一算、畫一畫、量一量，手腦并用，獲得直接的感性認(rèn)識，能最大程度地發(fā)揮其主觀能動性，有利于右腦的開發(fā)，并能由此引發(fā)奇思妙想，產(chǎn)生大膽的猜想和創(chuàng)新。正所謂“直覺的產(chǎn)生要以邏輯分析為‘前奏曲’”。由此可見，猜想不是憑空亂想。教學(xué)中要教給學(xué)生猜想的方法和猜想的途徑。猜想的方法主要有：歸納、類比、合情推理。猜想的途徑主要是：觀察、實(shí)驗(yàn)、探索。教學(xué)改進(jìn)設(shè)計(jì)如下：
（1）實(shí)踐操作，感知確認(rèn)。試一試，測量這些線段，通過計(jì)算，它們有什么的關(guān)系呢？有人測得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。還有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。誰的猜想更合理呢？再畫一個圖形試一試，發(fā)現(xiàn)：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.
（2）通過引入輔助元素，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題或已經(jīng)解決了的問題，通過推理獲得猜想.
3變式探究
【中圖分類號】 G633.6
【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A
【文章編號】 1004―0463（2016）
21―0111―01
一、用“格點(diǎn)”教具，提高學(xué)生計(jì)算能力，突破勾股定理的導(dǎo)入瓶頸
在小學(xué)，格點(diǎn)面積的相關(guān)計(jì)算是學(xué)生能力方面的一個要求，學(xué)生通過觀察不規(guī)則圖形在方格中的位置，通過割、補(bǔ)、拼等手段，以及巧算“格點(diǎn)”圖形的面積，就可計(jì)算出圖形的面積。在初中階段，勾股定理就是在“數(shù)”圖形面積的過程中發(fā)現(xiàn)并引入的，“數(shù)”面積也是勾股定理證明、應(yīng)用的關(guān)鍵。為了達(dá)到較好的教學(xué)效果，在教具上，重點(diǎn)突出格點(diǎn)圖形面積的計(jì)算應(yīng)用。首先用小木質(zhì)黑板，畫好20×20的方格，用皮筋當(dāng)線段，圖釘當(dāng)頂點(diǎn)，在格點(diǎn)上“釘”出多邊形，讓學(xué)生采取對圖形的拼、割以及“格點(diǎn)”計(jì)算等不同的方法，計(jì)算多邊形圖形的面積。通過訓(xùn)練，使學(xué)生更好地認(rèn)識圖形，突破圖形面積的計(jì)算障礙，為學(xué)習(xí)“勾股定理”打下良好的基礎(chǔ)。這里，通過運(yùn)用教具進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué) ，把抽象的數(shù)學(xué)知識具體形象地呈現(xiàn)給學(xué)生，提高了學(xué)生的圖形感知能力。
二、用“拼盤”教具，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，突破勾股定理的證明障礙
《勾股定理》的證明方法有很多，如何讓學(xué)生能很好地理解這些方法呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)用簡易的教具去演示其中的奧妙，是教學(xué)中最好的方法。
筆者是這樣做的：制作底為7cm×7cm，高約0.5cm的正方盒1個以及直角邊為3cm×4cm的全等直角三角形4個，在教學(xué)中，如果拼擺這四個直角三角形，就可得到我國古代數(shù)學(xué)家趙爽以及美國總統(tǒng)的關(guān)于勾股定理的證明思想。
中國歷史上的“青朱出入圖”，是古人對勾股定理的無字證明。在教學(xué)時，可讓學(xué)生自己先制作這一學(xué)具，通過拼割、移動圖形，發(fā)現(xiàn)面積的變化，感受并體會勾股定理的奧秘所在。
教學(xué)中，運(yùn)用這個教具，直觀形象地使各圖形之間的面積凸顯出來，幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，抓住其本質(zhì)要害，從而使抽象的數(shù)量關(guān)系具體化、形象化，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、記憶、思維、想象能力。
三、用 “立體”教具，激發(fā)學(xué)生空間想象能力，解決勾股定理的分析困難
教具有能拼、能折、能拆等特點(diǎn)，利用這一特點(diǎn)，可使教學(xué)變得具有操作性和活動變化性。在應(yīng)用勾股定理解決空間立體圖形的問題時，學(xué)生總是想象不出圖形中各線段之間的關(guān)系，無法理解空間問題，但適時利用圓錐、圓柱、長方體等教具，就可以讓學(xué)生很輕松地解決這一問題。
例如，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米。在圓形柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3.14）
讓學(xué)生自己做一個圓柱（圓柱側(cè)面繞一層紙），在圓柱上用鉛筆標(biāo)注出A、B的位置，嘗試用鉛筆從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？用剪刀將圓柱側(cè)面的紙（沿母線剪開），將圓柱的側(cè)面展開。這時，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，剛才用鉛筆畫的路線就是螞蟻的走法，哪條線段最短顯而易見。
四、用 “折疊”教具，強(qiáng)化學(xué)生的動手操作能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)勾股定理的信心
一、創(chuàng)設(shè)思維情境，引出并體驗(yàn)勾股定理
數(shù)學(xué)教學(xué)是師生之間、同學(xué)之間交流、互動與共同發(fā)展的過程.我們的教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探究、交流，主動地豐富自己的數(shù)學(xué)知識和能力。為此，在我的教學(xué)過程中將自己所任課的班分成5個研究性學(xué)習(xí)小組，各組有人負(fù)責(zé)，并聘請老師參加和指導(dǎo)。
勾股定理是一個古老而有趣的問題，幾乎每位同學(xué)都知道“勾三股四弦五”這個定理的特例。即若直角三角形兩直角邊長分別為3和4，斜邊長為5，則存在32+42=52這種關(guān)系。
在RtABC中，記AB=a，AC=b，AB=c，是否存在a2+b2=c2這種關(guān)系呢？為體驗(yàn)這個事實(shí)，我們再作些直角三角形，并測量所求結(jié)果。
（1）a=5，b=12，c=___.
（2）a=2，b=4，c=___.（精確到0.1）
（3）a=6，c=10，b=___.
（4）b=24，c=25，a=___.
第（1）、（2）題，作直角三角形，測量的結(jié)果分別是13，4.5，第三題可先作直徑為10的半圓，量出弦BC=6，測得b=8，且∠ACB為直角。第（4）題與第三題類同，測得a=7。
體驗(yàn)是“人們存在的方式”，是人的“素質(zhì)形成與發(fā)展的核心環(huán)節(jié)”，只有讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷體驗(yàn)，才會激起學(xué)生無休止的好奇心、探索欲和創(chuàng)造力。經(jīng)過上述反復(fù)體驗(yàn)，得到勾股定理：在RtABC中，若a、b為直角邊長，c為斜邊長，則：a2+b2=c2。
進(jìn)而得到勾股定理的逆定理：在ABC中，三邊長分別為a、b、c，若a2+b2=c2，則：ABC為直角三角形。
二、探究勾股定理的證明
老師可提前布置各小組同學(xué)，去尋找勾股定理的不同證法和廣泛應(yīng)用。在數(shù)學(xué)課（或研究課）上，各小組可指派代表發(fā)言和演示，給出他們研究和探索的結(jié)果，經(jīng)過師生互相交流，大家對勾股定理的證明和應(yīng)用全面認(rèn)識和深刻的理解?？偨Y(jié)各小組的證法如下：
證法一：將四個全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖1）如大正方形的面積與四個直角三角形的面積之和，則有：（a+b）2=c2+4×■aba2+b2=c2
證法二：將四個全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖2），則：c2=（a-b）2+4×■aba2+b2=c2
證法三：將并排的兩個正方形進(jìn)行割補(bǔ)（如圖3）將剪掉的標(biāo)有1、2、3的三角形填補(bǔ)，在大正方形的1、2、3處。由面積等式，則：a2+b2=c2
證法四：利用射影定理證明，在RtABC中，由射影定理：
AC2=AD?AB，BC2=DB?AB
AC2+BC2=AD?AB+DB?AB
=AB（AD+DB）
=AB2
下面給出比較著名的兩個證法――證法五（如圖4）和證法六（如圖5）
在圖4中，因?yàn)榉指铋L直角邊上的正方形，使其形如風(fēng)車，所以這一方法稱為“風(fēng)車證法”?！帮L(fēng)車證法”的剪拼步驟如下（如圖6）：
作正方形的中心O；
過O做直線垂直AB交正方形的兩邊與M、N；
過O做直線垂直MN交正方形的另外兩邊與P、Q；
沿線段MN、PQ剪開即可。
至于為什么MN要垂直AB，我可以從平移變換的角度來考慮。簡單的說，那是因?yàn)樗倪呅蜝MOP經(jīng)平移變?yōu)镚FAH，OM平行AF；AF垂直AB，也即OM（MN）垂直AB。
在眾多剪拼方法和證明方法中，有的人還提出了一些不夠直觀甚至是錯誤的方法，對于這些方法也不要輕易放棄，教師要珍重每位同學(xué)構(gòu)思出來的方法。即使做法和結(jié)論是錯誤的，我們也要找出錯誤的原因，從中吸取經(jīng)驗(yàn)和受到啟發(fā)。要通過觀察、思考、動手試驗(yàn)等過程引導(dǎo)學(xué)生不斷探究新的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法。
三、勾股數(shù)組
我們把滿足x2+y2=z2的三個正整數(shù)x、y、z叫勾股數(shù)。（x、y、z）叫做勾股數(shù)組。如果（x，y，z）=1，則這樣的勾股數(shù)組叫做基本勾股數(shù)組。例如：（3，4，5），（5，12，13），（12，35，37）等都是基本勾股數(shù)組，而（6，8，10）不是基本勾股數(shù)組.容易看出，若（x，y，z）是一個基本勾股數(shù)組，則（kx、ky，kz）都是勾股數(shù)組。
我們把邊長為勾股數(shù)的三角形叫做勾股三角形。這里我們又得到另一個應(yīng)用。
定理：勾股三角形的內(nèi)切圓的半徑一定是整數(shù).
證明：設(shè)RtABC的內(nèi)切圓半徑為r，則r=■
由于勾股數(shù)a、b、c不能同時為奇數(shù)，所以a+b-c為偶數(shù)，從而r為整數(shù)。
許多數(shù)學(xué)問題規(guī)律性很強(qiáng)，我們總希望用一些定理或公式找到更多的基本勾股數(shù)組，這里將我們師生探究勾股數(shù)得到的結(jié)論給出來。設(shè)Rt的直角邊長為x，y，斜邊長為z，且n，s，t都是正整數(shù)，則勾股數(shù)組有兩類：
x=2n+1y=2n2+2nz=2n+2n+1或 x=2sty=s2-t2z=s2+t2
列表如下：
從表中我們發(fā)現(xiàn)，第一類勾股數(shù)滿足（x，y，z）=1，都是基本的，但不是全部的.第二類勾股數(shù)組不是基本的，但它對第一類給以補(bǔ)充。我們還發(fā)現(xiàn)許多有趣的結(jié)論，如：x，y，z不可能都是奇數(shù)，它們中可以有一個偶數(shù)或全部是偶數(shù)。再如：（x，y，z）是基本勾股數(shù)組，則x，y中必有一個能被3整除，等等。
在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，給我們帶來的啟示很多，首先是這個古老問題有探究不盡的課題。它的不同證法，廣泛的應(yīng)用以及勾股數(shù)的趣味性給我們拓寬了眼界，打通了思路，不僅是對知識的傳承，更多的是激發(fā)了我們師生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，獲得更多更好的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，提高了空間想象能力和創(chuàng)造性思維。
勾股定理指出：直角三角形兩直角邊（即“勾”“股”短的為勾，長的為股）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2＋b2＝c2
1、數(shù)學(xué)史上的勾股定理
1．1勾股定理的來源
勾股定理又叫畢氏定理：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。
1．2最早的勾股定理應(yīng)用
中國最早的一部數(shù)學(xué)著作――《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體餓認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊“勾”等于3，另一條直角邊“股”等于4的時候，那么它的斜邊“弦”就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵?！睆纳厦嫠倪@段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和。
1．3在代數(shù)研究上取得的成就
例如從勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率。據(jù)說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。公元1世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種求整勾股數(shù)組的法則，用代數(shù)方法很容易證明這一結(jié)論。由此可見，你是否想到過，我們的祖先發(fā)現(xiàn)勾股定理，不是一蹴而就，而是經(jīng)歷了漫長的歲月，走過了一個由特殊到一般的過程。
2、勾股定理的一些運(yùn)用
2．1在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用
勾股定理是極為重要的定理，其應(yīng)用十分廣泛.同學(xué)們在運(yùn)用這個定理解題時，常出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤。為幫助同學(xué)們掌握好勾股定理，現(xiàn)將平時容易出現(xiàn)的錯誤加以歸類剖析，供參考。
2．1．1錯在思維定勢
例1一個直角三角形的兩條邊長分別是5和12，求第三條邊的長。
錯解：設(shè)第三條邊的長為a，則由勾股定理，得a=52+122，即a=13，亦即第三條邊的長是13。
剖析：由于受勾股定理數(shù)組5、12、13的影響，看到題設(shè)數(shù)據(jù)，一些同學(xué)便斷定第三條邊是斜邊.實(shí)際上，題目并沒有說明第三邊是斜邊還是直角邊，故需分類求解。
正解：設(shè)第三條邊的長為，（1）若第三邊是斜邊，同上可求得=13；（2）若第三邊是直角邊，則12必為斜邊，由勾股定理，故第三條邊的長是13或12.
2．2勾股定理在生活中的用
工程技術(shù)人員用的比較多，比如農(nóng)村房屋的屋頂構(gòu)造，就可以用勾股定理來計(jì)算，設(shè)計(jì)工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關(guān)的數(shù)據(jù)時，多數(shù)可以用勾股定理物理上也有廣泛應(yīng)用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運(yùn)動方向…古代也是大多應(yīng)用于工程，例如修建房屋、修井、造車等等
農(nóng)村蓋房，木匠在方地基時就利用了勾股定理。木匠先是量出一個對邊相等的四邊形，這樣就保證這個四邊形是平行四邊形，為了再使它是矩形，木匠就在臨邊上分別量出30公分、40公分的兩段線段，然后再調(diào)整的另外兩個斷點(diǎn)間的距離使他們的距離成50公分即可。在這個過程中，木匠實(shí)際上即用到了平行四邊形的判定、矩形的判定，又用到了勾股定理。
2．3宇宙探索
幾十年前，有些科學(xué)家從天文望遠(yuǎn)鏡中看到火星上有些地區(qū)的顏色有些季節(jié)性的變化，又看到火星上有運(yùn)河模樣的線條，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。當(dāng)時還沒有宇宙飛船，怎樣和這些智慧生物取得聯(lián)系呢？有人就想到，中國、希臘、埃及處在地球的不同地區(qū)，但是他們都很早并且獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)了勾股定理?？茖W(xué)家們由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的話，他們也許最早知道勾股定理?；鹦鞘欠裼懈叨戎腔凵铮楷F(xiàn)在已被基本否定，可是人類并沒有打消與地球以外生物取得聯(lián)系的努力，怎樣跟他們聯(lián)系呢？用文字和語言他們都不一定能懂。因此，我國已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議：讓宇宙飛船帶著幾個數(shù)學(xué)圖形飛到宇宙空間，其中一個就是邊長為3：4：5的直角三角形。兩千年前發(fā)現(xiàn)的勾股定理，現(xiàn)在在探索宇宙奧秘的過程中仍然可以發(fā)揮作用。
看來，勾股定理不僅僅是數(shù)學(xué)問題，不僅僅是反映直角三角形三邊關(guān)系，她已成為人類文明的象征，她已成為人類智慧的標(biāo)志！她是人們文化素養(yǎng)中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是現(xiàn)代文明人！
3、對勾股定理的一些建議
3．1掌握勾股定理，利用拼圖法驗(yàn)證勾股定理；
經(jīng)歷用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力。拼圖的過導(dǎo)學(xué)生自主探索，合作交流。這種教學(xué)理念反映了時代精神，有利于提高學(xué)生的思維能力，有效地激發(fā)學(xué)生的思維積極性。鼓勵學(xué)生大膽聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識。
3．2發(fā)展合情推理的能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想；
了解勾股定理的文化背景．思考在勾股定理的探索過程中，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想．教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動時，如果只以教材的內(nèi)容為素材對學(xué)生的合情推理能力進(jìn)行培養(yǎng)，毫無疑問，這樣的教學(xué)活動能促進(jìn)學(xué)生的合情推理能力的發(fā)展，但是，除院校的教育教學(xué)活動（以教材內(nèi)容為素材)以外，還有很多活動也能有效地發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，例如，人們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常需要作出判斷和推理，許多游戲很多中也隱含著推理的要求，所以，要進(jìn)一步拓寬發(fā)展學(xué)生合情推理能力的渠道，使學(xué)生感受到生活、活動中有“數(shù)學(xué)”，有“合情推理”，養(yǎng)成善于觀察、猜測、分析、歸納推理的好習(xí)慣。
在探究活動中，學(xué)會與人合作并能與他人交流思維的過程和探究體會數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)探索熱情。回顧、反思、交流．布置課后作業(yè)，鞏固、發(fā)展提高。
3．3能運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；
勾股定理及其逆定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中幾個重要的定理之一，在一個三角形中，兩條邊的平方和等于另一條邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，這就是勾股定理的逆定理。所謂逆定理，就是通過定理的結(jié)論來推出條件，也就是如果三角形的三邊滿足a2+b2=c2那么它一定是直角三角形.這個定理很重要，常常用來判斷三角形的形狀.它體現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”和由“數(shù)”到“形”的數(shù)形結(jié)合思想.勾股定理在解決三角形的計(jì)算、證明和解決實(shí)際問題中得到廣泛應(yīng)用，勾股定理的逆定理常與三角形的內(nèi)角和、三角形的面積等知識綜合在一起進(jìn)行考查.對于初學(xué)勾股定理及其逆定理的學(xué)生來說，由于知識、方法不熟練，常常出現(xiàn)一些不必要的錯誤，失分率較高.下面針對具體失誤的原因，配合相關(guān)習(xí)題進(jìn)行分析、說明其易錯點(diǎn)，希望幫助同學(xué)們避免錯誤，走出誤區(qū)。
4、小結(jié)
總體來說，勾股定理的應(yīng)用非常廣泛，了解勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容，初步學(xué)會用它進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、作圖和證明。應(yīng)用主要包括：
1、勾股定理在幾何計(jì)算和證明的應(yīng)用：（1）已知直角三角形任兩邊求第三邊。（2）利用勾股定理作圖。（3）利用勾股定理證明。（4）供選用例題。
2、在代數(shù)中的應(yīng)用：勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率和宇宙探索。
3、勾股定理在生活中的應(yīng)用：工程技術(shù)人員用的比較多，比如農(nóng)村房屋的屋頂構(gòu)造，就可以用勾股定理來計(jì)算，設(shè)計(jì)工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關(guān)的數(shù)據(jù)時，多數(shù)可以用勾股定理 物理上也有廣泛應(yīng)用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運(yùn)動方向…古代也是大多應(yīng)用于工程，例如修建房屋、修井、造車、農(nóng)村蓋房，木匠在方地基時就利用了勾股定理。勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角為90°）轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，即三邊滿足a2+b2=c2.。利用勾股定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和證明時，要注意利用方程的思想求直角三角形有關(guān)線段長；利用添加輔助線的方法構(gòu)造直角三角形使用勾股定理。
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一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課
師：（結(jié)合動畫講故事）同學(xué)們，我們國家有著幾千年的悠久文化，西周開國時期，周公非常愛才，他和喜歡鉆研數(shù)學(xué)的商高是好朋友。有一天，商高對周公說，最近我又有一個新的發(fā)現(xiàn)，把一根長為7的直尺折成直角，使一邊長（勾）為3，另一邊長（股）為4，連接兩端（弦）得一個直角三角形，周公您猜一猜第三邊的長等于多少？周公搖頭不知道。同學(xué)們，你們猜猜是多少？
生：5（不知道）
師：不知道也沒關(guān)系，我們來量一量斜邊的長就知道了。（動畫演示）
師：后來又發(fā)現(xiàn)，直角邊為6、8的直角三角形的斜邊的長是10。這兩組數(shù)據(jù)是否具有某種共同點(diǎn)呢？帶著這個問題人們對直角三角形做了進(jìn)一步的研究，通過計(jì)算三條邊長的平方發(fā)現(xiàn)，直角三角形中的三條邊長之間還真有一種特殊的關(guān)系。它們之間到底有什么樣的關(guān)系呢？
生：32+42=52，62+82=102。
師：這是兩組特殊數(shù)字。想一想，是不是一個任意的直角三角形的三邊是否也有這種相等關(guān)系呢？
我們用幾何畫板再做一個實(shí)驗(yàn)，請注意觀察。（任意改變直角三角形三邊的長度，度量、計(jì)算顯示相等關(guān)系依然不變。）
師：通過實(shí)驗(yàn)，可以得到什么結(jié)論？
生：直角三角形的三邊滿足：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即a2+b2=c2
師：同學(xué)們概括得非常好！這個結(jié)論盡管是通過多次實(shí)驗(yàn)得到的，但要說明它對任意的直角三角形都成立，還有待進(jìn)行證明。我們先來觀察這個要證明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？
生：表示直角三角形的三條邊長。
師：a2、b2、c2是邊長的平方，由邊長的平方可聯(lián)想到什么？
生：正方形、正方形的面積。
師：對整個等式你們怎樣理解？
生：等式可以理解為兩個正方形的面積和等于一個正方形的面積。
師：那好，下面我們就來做一個拼正方形的游戲，看能不能對我們證明結(jié)論有些幫助。
二、動手拼圖，合作探索定理證明方法
師：現(xiàn)在，前后4人為一個小組，老師給每小組提供了拼圖模型兩套，要求每一套模型拼成一個沒有空隙且不重疊的正方形。拼好后請上臺展示你們的成果，比一比，看哪一組完成任務(wù)最快。
師：同學(xué)們對比自己拼成的兩個圖形，看看它們有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？
生：都是邊長相等的正方形，但拼圖的模型不同。
生：這兩個正方形的面積相等。
師：這兩個正方形的面積怎樣計(jì)算呢？通過你的計(jì)算能否證明a2+b2=c2？請?jiān)囈辉嚒?/p>
師：看哪兩位同學(xué)愿意上來寫出證明過程。
師：兩位同學(xué)剛才用兩種不同的方法證明了實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理。請兩位同學(xué)再談?wù)勀銈兊淖C明思路好嗎？
生甲：圖（A）的面積用四個全等的直角三角形的面積加兩個正方形的面積，圖（B）的面積用四個全等的直角三角形的面積加一個正方形的面積，利用面積相等就證得結(jié)論。
生乙：我把圖（B）用兩種不同方法計(jì)算它的面積也能證得結(jié)論。
師：說得好！甲同學(xué)的證明思路正好符合我們前面對等式的理解；乙同學(xué)的證明思路啟發(fā)我們還可以通過拼各種不同的圖形來證明勾股定理。
三、課堂練習(xí)
李明上學(xué)經(jīng)過的路旁有一小湖，隔湖相對有兩棵樹A、B， 但無法直接測量出A、B之間的距離。請你幫他設(shè)計(jì)一個解決問題的方案好嗎？
四、小結(jié)
師：同學(xué)們可以感受到勾股定理有什么作用？
生：可以解決在直角三角形中已知兩條邊求第三邊的問題。
在“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的基礎(chǔ)上備好一節(jié)課本是最好的備課方式，但由于教師理解能力的差異，以及對“三個理解”的認(rèn)識程度不同，備課效果自然不可同日而語.那么，怎樣才能備出一節(jié)好課呢？筆者認(rèn)為，通過比對同一課時的文獻(xiàn)資料，分析不同教案的優(yōu)缺點(diǎn)，博采眾長，巧妙融合，自然會備出一節(jié)好課.下面以“勾股定理”起始課為例，談?wù)勅绾卫梦墨I(xiàn)資料進(jìn)行備課.供參考.
1常見教學(xué)設(shè)計(jì)
查閱近幾年的文獻(xiàn)資料，發(fā)現(xiàn)勾股定理起始課教學(xué)設(shè)計(jì)大致分為三類：以證明定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)、以探究發(fā)現(xiàn)定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)、以實(shí)驗(yàn)操作來發(fā)現(xiàn)定理的教學(xué)設(shè)計(jì).現(xiàn)對這三種教學(xué)設(shè)計(jì)做客觀分析.
1.1以證明定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)
章建躍博士在談到勾股定理教數(shù)學(xué)時指出：“其一，勾股定理的發(fā)現(xiàn)具備偶然性；其二，畢達(dá)哥拉斯是大數(shù)學(xué)家，對數(shù)極其敏感，對“形”非常自動化地想到“數(shù)”，這是一般人做不到的……我覺得，不應(yīng)該讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，重點(diǎn)應(yīng)該放在讓學(xué)生去證明這個定理.”[1]在這一觀點(diǎn)的支撐下，一線教師中的許多實(shí)踐者也取得了良好的教學(xué)效果.
課例1劉東升[2]先從一段BBC紀(jì)錄片《數(shù)學(xué)的故事》展示古埃及人結(jié)繩繃成直角三角形導(dǎo)入新課，隨即導(dǎo)入勾股定理的特例“如果作一個直角三角形，使得兩直角邊分別為3和4，你能否求出斜邊的長？”在學(xué)生嘗試無果后，教師指出有人曾經(jīng)用拼圖的方法求出該三角形的斜邊長為5，接下來用拼圖的方法予以計(jì)算.最后從特殊到一般用面積法（割補(bǔ)法）證明勾股定理.
分析教師設(shè)計(jì)以證明為主的教學(xué)思路，大致是基于以下幾點(diǎn)思考：一是恰當(dāng)安排講授法，節(jié)約時間，采用教師講授證明思路，學(xué)生跟進(jìn)理解，是基于對學(xué)情的理解；二是勾股定理的發(fā)現(xiàn)具有偶然性，只有畢達(dá)哥拉斯這樣的大數(shù)學(xué)家，才能從“形”非常自動地想到“數(shù)”，這是一般人做不到的，在課堂上有限的時間里讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)該定理是不現(xiàn)實(shí)的，也是無法完成的任務(wù).所以，該設(shè)計(jì)把時間重點(diǎn)分配在證明勾股定理和欣賞勾股定理文化上.從學(xué)習(xí)的角度看，這樣的安排是有效的，是基于學(xué)情來考慮的，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力.
《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》[3]（以下簡稱標(biāo)準(zhǔn)）在課程基本理念中指出：學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.除接受學(xué)習(xí)外，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程.顯然，上述過程少了學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想的過程，而這卻是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要功能所在.事實(shí)上，發(fā)現(xiàn)一個定理的價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于證明這個定理，從這個角度看，上述安排是不完美的.
1.2以探究發(fā)現(xiàn)定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)
特級教師卜以樓認(rèn)為：研究一個定理，一般要從猜想――驗(yàn)證――證明這三個方面去把握，如果離開了猜想、發(fā)現(xiàn)定理這兩個環(huán)節(jié)，那么培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意R和實(shí)踐能力就會在教學(xué)中打折.事實(shí)上，發(fā)現(xiàn)一個定理的價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于證明這個定理.卜老師同時給出了基于上述思考的教學(xué)設(shè)計(jì).
課例2卜以樓首先通過畫兩個直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊間有關(guān)系，然后順勢提出問題：既然直角三角形三邊數(shù)量之間有一個等量關(guān)系，這個等量關(guān)系是什么呢[4]？接著，引導(dǎo)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生在單位長度為1 cm的坐標(biāo)紙上，理性地選擇幾個直角三角形去畫一畫、量一量，觀察量出的數(shù)值，估計(jì)、猜想三邊間的關(guān)系；引導(dǎo)基礎(chǔ)較好的學(xué)生理性分析三邊間的關(guān)系：a、b、c三邊間關(guān)系可以是一次等量關(guān)系、二次等量關(guān)系，甚至是高次等量關(guān)系，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊否定三邊間存在一次關(guān)系，然后探討三邊間的二次等量關(guān)系，先從特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)猜想成立，再用“證偽”否定其它的二次關(guān)系，最后引導(dǎo)學(xué)生從a2、b2、c2這些“式結(jié)構(gòu)”想到“邊長分別為a、b、c的正方形面積”這個“形結(jié)構(gòu)”，然后利用圖形面積（割補(bǔ)法）來分析和解決問題.
分析首先，本課例關(guān)注學(xué)生四能培養(yǎng)，教學(xué)過程就是基于發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的思路來設(shè)計(jì)的，教學(xué)過程就是引導(dǎo)學(xué)生思維的過程；其次，符合“猜想――驗(yàn)證――證明”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律，過程嚴(yán)謹(jǐn)，絲絲入扣，數(shù)學(xué)味濃，注重學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).
但仔細(xì)分析其教學(xué)設(shè)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，其課堂教學(xué)過于理想化，既要啟發(fā)基礎(chǔ)較差的學(xué)生畫一畫、量一量，觀察量出的數(shù)值，估計(jì)、猜想三邊間的關(guān)系，又要引導(dǎo)基礎(chǔ)較好的學(xué)生理性分析三邊間的關(guān)系，直至發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的平方關(guān)系，還要引導(dǎo)學(xué)生證明勾股定理，復(fù)雜的教學(xué)過程可能會導(dǎo)致教學(xué)時間不夠，文章展示的探究過程很難在現(xiàn)實(shí)的課堂中得以實(shí)現(xiàn).另外，在引導(dǎo)基礎(chǔ)較好的學(xué)生理性分析三邊間關(guān)系的過程中，作者根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊就可以否定三邊間存在一次關(guān)系，這句話是有問題的，比如，邊長分別為a=3、b=4、c=5的關(guān)系可以表述為a+b=75c這樣的等量關(guān)系.對于a、b、c之間二次關(guān)系的三種形式的分類是可行的，但直接從特殊情況a2+b2=c2入手，是執(zhí)果索因的結(jié)果，這和直接告知結(jié)論是一樣的效果.
1.3以實(shí)驗(yàn)操作來發(fā)現(xiàn)定理的教學(xué)設(shè)計(jì)
蘇科版數(shù)學(xué)教材主編董林偉先生指出：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是學(xué)生被動地接受課本上的或老師敘述的現(xiàn)成結(jié)論，而是學(xué)生從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，通過自己動手、動腦，用觀察、模仿、實(shí)驗(yàn)、猜想等手段獲得經(jīng)驗(yàn)，逐步建構(gòu)并發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的活動過程[5].數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)已成為數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要方式.關(guān)于勾股定理的教學(xué)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)大致有兩種方法：測量法和計(jì)算法.
課例3測量法[6]：任黨華引導(dǎo)學(xué)生從“直角三角形的角度特殊，會不會它的邊在數(shù)量上也有特殊的關(guān)系呢？”開始思考，然后讓學(xué)生動手畫一個任意直角三角形，測量其三邊長度，計(jì)算交流，接著學(xué)生展示所得數(shù)據(jù)及本組猜想，師生用幾何畫板演示，發(fā)現(xiàn)a2+b2=c2這一結(jié)論成立，再用拼圖法證明結(jié)論，最后介紹有關(guān)勾股定理的數(shù)學(xué)史.
課例4計(jì)算法[7]：萬廣磊從展示2002年的數(shù)學(xué)大會的弦圖開始，然后直接給出直角三角形和以該三角形三邊向形外作三個正方形，通過填空的方式來計(jì)算三個正方形的面積，學(xué)生通過畫一畫、想一想、試一試、辨一辨來發(fā)現(xiàn)a2+b2=c2，再用實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證鈍角三角形和銳角三角形不具備兩短邊的平方和等于最長邊的平方，然后用拼圖法證明勾股定理，最后介紹有關(guān)勾股定理的數(shù)學(xué)史.
分析這兩個課例都是通過畫一畫、想一想、算一算來發(fā)現(xiàn)勾股定理的，動手實(shí)驗(yàn)的過程有利于培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，獲得研究問題的方法，積累活動經(jīng)驗(yàn).但課例3存在兩點(diǎn)不足，一是學(xué)生畫圖、測量過程中無法保證圖形的準(zhǔn)確和數(shù)據(jù)的精確，不能為發(fā)現(xiàn)規(guī)律提供保證；二是學(xué)生從測量出的三邊數(shù)據(jù)中，怎么會輕易發(fā)現(xiàn)三邊的平方關(guān)系？課例4教師通過填空計(jì)算面積的方式已經(jīng)把解題思路和盤托出，難點(diǎn)化為烏有，就像幾何題中老師提前告知輔助線一樣，是避開難點(diǎn)，而不是突破難點(diǎn).羅增儒教授稱以上教學(xué)為“虛假性情境發(fā)現(xiàn)”和“淺層次的情境發(fā)現(xiàn)”.
2勾股定理教學(xué)中需要突破的難點(diǎn)
通過上述課例的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)在勾股定理的教學(xué)中回避不了幾個難點(diǎn)：一是如何創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊間的平方關(guān)系？二是怎樣引導(dǎo)學(xué)生從a2、b2、c2這些“式結(jié)構(gòu)”想到“邊長分別為a、b、c的正方形面積”這個“形結(jié)構(gòu)”？三是選擇探究教學(xué)，探究的時間較長，有時甚至不可控，需要時間成本；四是數(shù)學(xué)定理的呈現(xiàn)雖是美麗的，但發(fā)現(xiàn)的過程確是漫長和痛苦的，所以，課堂上定理的發(fā)現(xiàn)不能過于理想化，所謂還原數(shù)學(xué)家火熱的思考，實(shí)在過于理想化，在短短的一節(jié)課內(nèi)要完成一個定理的發(fā)現(xiàn)，必然要降低發(fā)現(xiàn)坡度，縮短發(fā)現(xiàn)時間，中間教師的引導(dǎo)甚至干預(yù)就必不可少.3吸收精華，改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)
上述四個課例均有可取之處，在認(rèn)真學(xué)習(xí)比對優(yōu)劣的基礎(chǔ)上，多方吸收各種教法中的精華，充分考慮勾股定理教學(xué)中需要突破的四大難點(diǎn)，經(jīng)過認(rèn)真整合，確定“從特殊到一般，經(jīng)歷猜想――驗(yàn)證――證明”這樣的探究教學(xué)設(shè)計(jì)，在實(shí)際教學(xué)中取得了較好的效果.
3.1情境入
在一個確定的三角形中，有確定的角的關(guān)系：①三角形內(nèi)角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三邊間有確定的關(guān)系嗎？
3.2探究發(fā)現(xiàn)
（1）從最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三邊間關(guān)系
直角邊長為1的等腰直角三角形的面積是多少？如果斜邊用字母c表示，請用c表示三角形的面積.（SABC=12×1×1=12，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）
用同樣的方法研究直角邊長為2的等腰直角三角形，有什么發(fā)現(xiàn)？
（SABC=12×2×2=2，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.
依次研究直角邊長分別為3、4的等腰直角三角形，會發(fā)現(xiàn)下面結(jié)論.
12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（這里是需要教師干預(yù)和引導(dǎo)的）
（2）在網(wǎng)格中研究直角邊不等的特殊直角三角形圖1
如果兩直角邊不等，上述猜想還成立嗎？老師在黑板空白處畫圖分析，指出上面的方法行不通，能否借助格點(diǎn)正方形來發(fā)現(xiàn)呢？分析“式結(jié)構(gòu)”，在上圖（圖1）中22=4，用四個正方形表示，12=1，用一個正方形表示，那么以斜邊為邊的正方形的面積是等于5嗎？引導(dǎo)利用割補(bǔ)法研究（小學(xué)已經(jīng)學(xué)過）.
（3）幾何畫板驗(yàn)證猜想的結(jié)論
（4）不完全歸納法得出勾股定理
3.3定理證明與介紹
證明過程略.（圖形割補(bǔ)見圖2，證明思路見上面分析）
本設(shè)計(jì)在研究最簡單的三角形時，學(xué)生是不可能想到運(yùn)用面積來發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形的三邊關(guān)系的，這時教師直接引導(dǎo)先用兩直角邊求面積，再啟發(fā)用斜邊求面積，這個過程不自然，但確實(shí)沒有更好的辦法.所以，發(fā)現(xiàn)式教學(xué)不能不加干預(yù)，任由學(xué)生自由思考，正如佛賴登塔爾所說：“強(qiáng)調(diào)用發(fā)生的方法來教各種思想，并不意味著應(yīng)該從它們產(chǎn)生的順序來呈現(xiàn)它們，甚至不關(guān)閉所有的僵局，刪除所有的彎路.”顯然，這就是教師主導(dǎo)作用的意義所在.
綜上所述，通過文獻(xiàn)資料的研究，我們可以對相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)有清楚的認(rèn)識，并在比較中去粗存精，獲得比較合理的教學(xué)方法，這不失為一種行之有效的備課方式.
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[4]卜以樓.基于四能的“勾股定理”教學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2016（7）：11-14.
[5]董林偉.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理論與實(shí)踐[M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013.
對于勾股定理新授課教學(xué)，我做過多角度探討．緊扣課本，設(shè)計(jì)最佳環(huán)節(jié)是我的目標(biāo)．上好這一課不一定要拓展面積計(jì)算的專門理論知識，也不需要高難度構(gòu)圖設(shè)計(jì)技巧．如果做好課前預(yù)備，課堂上的難點(diǎn)突破，重點(diǎn)把握，都可以放手讓學(xué)生完成．也就是說，在勾股定理新授課堂上，學(xué)生并不是也發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯的奇妙圖案，就被載上一輛馬車奔馳著去藏寶地發(fā)掘到一個奇思妙想，最后，趙爽告訴他，想法很好也很對，并送了一個小風(fēng)箏玩具，往回走時又看了伽菲爾德一個小魔術(shù)．我認(rèn)為，好課堂不一定要做得像是帶領(lǐng)學(xué)生逛一次迪斯尼樂園一樣熱鬧！
勾股定理是數(shù)學(xué)的幾個重要定理之一．它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系．它可以解決許多直角三角形中的計(jì)算問題，是解直角三角形的主要依據(jù)，在生產(chǎn)生活實(shí)際中應(yīng)用很大．由于勾股定理反映了一個直角三角形三邊之間的關(guān)系，它也是直角三角形的一條重要性質(zhì)．同時由勾股定理及其逆定理，能夠把形的特征轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，它把形與數(shù)密切的聯(lián)系起來，因此在理論上也有重要的地位．
勾股定理這節(jié)內(nèi)容，在教材設(shè)計(jì)中，它貫穿著發(fā)現(xiàn)規(guī)律、拓展思路、猜想命題、證明定理四個環(huán)節(jié)．
（1）故事化導(dǎo)入很是耐人尋味，畢達(dá)哥拉斯朋友家的地面磚鋪圖案非常漂亮．無論是幾何形狀還是色塊搭配，它們都已經(jīng)傳承了幾千年，可謂厚重的文化底蘊(yùn)．地板基本上可以看出由兩種等腰直角三角形和正方形鋪設(shè)而成，而且大小多樣．所謂：看似平淡無奇的現(xiàn)象有時卻隱藏著深刻的道理．可以猜想，畢達(dá)哥拉斯正好站在中間的那個重要的等腰直角三角形上看四周的色塊與圖案．再換個位置站著看一下，與它有著同樣展示效果的圖案原來很多！如果引導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)得當(dāng)，學(xué)生也會對踏在腳底下那平常不起眼的地磚圖案感興趣！
（2）接著學(xué)生看到網(wǎng)格邊看格點(diǎn)正方形，要求計(jì)算其中那些斜放著的正方形面積并借此探究那個類似的結(jié)論．它所呈現(xiàn)出的新穎大方定會讓學(xué)生眼前一亮，進(jìn)而躍躍欲試、興趣盎然．在知識層面上它與七年級教學(xué)內(nèi)容中的鑲嵌的探索與應(yīng)用是接軌的．除了圖形結(jié)構(gòu)認(rèn)識上的難度略大一點(diǎn)．只要專注于部分與整體的思想就能解決問題（不需要求證斜放的是正方形，更不必刻意要求找出類同趙爽弦圖的面積算法，只要能感知它們得正確性和實(shí)用就行）．
（3）接著就是猜想命題．它要求學(xué)生能用簡明扼要的文字概括描述課堂上得到的結(jié)論，能分析命題的題設(shè)與結(jié)論，再畫圖、寫出已知、求證．它在幾何的理論學(xué)習(xí)中是重點(diǎn)，在幾何初步知識中是教學(xué)難點(diǎn)．
（4）趙爽這位老人，它帶來的不只是用來證明定理的弦圖．他那獨(dú)特的構(gòu)圖方法能吸引學(xué)生、教師，還有所有喜歡它的人深思．他不僅指導(dǎo)我們做了一個漂亮的紙風(fēng)箏，而且他所采用的原材料，那套矩形組合模板中的各部件，連同他老人家精湛的手藝深深地引著我們．
若把這些比作一幕舞臺劇，則它就是融合古今中外東西方文明的一次大合奏！
在課堂教學(xué)實(shí)際過程中，本節(jié)課教學(xué)任務(wù)的實(shí)施環(huán)節(jié)部分教學(xué)中存在4大難點(diǎn)：
第一，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．
第二，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形結(jié)構(gòu)并計(jì)算以斜邊為邊長的正方形面積的方法．
第三，得到猜想命題，賞析趙爽的動態(tài)構(gòu)圖和他對于定理的證法思想．
第四，拓廣美國總統(tǒng)伽菲爾德以及幾何原本中對于此定理的證明方法．
對此，課本的編排意圖是：
先讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)以直角三兩直角邊為邊長的正方形面積與以斜邊為邊長的正方形之間的面積關(guān)系，走實(shí)踐出真知的路線并能夠作為技術(shù)性的緩沖．然后迅速抓住他所帶來的存在與特殊直角三角形中的結(jié)論──三邊關(guān)系．
在計(jì)算網(wǎng)格中以斜邊為邊長的正方形面積時把它作為格點(diǎn)正方形，探究它與周邊材料構(gòu)圖的方法．以此突破算法技巧并迅速掌握它所帶來的存在于邊長為任意的直角三角形中的圖形結(jié)構(gòu)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)．再以其簡潔明快型動態(tài)效果圖證明勾股定理，借以激發(fā)學(xué)生的興趣．
可見，這些難點(diǎn)的突破關(guān)系到課堂教學(xué)的實(shí)質(zhì)性效果．不僅要使學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)事物、認(rèn)識事物的方法還要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和局部與整體的認(rèn)知能力．
教材編排給讀者留下了廣闊的思考空間．每個環(huán)節(jié)獨(dú)立成段，整個過程又渾然一體．學(xué)生在定理的產(chǎn)生、發(fā)展、成型的過程中又有了些許的困惑．究其原因在教師用書相關(guān)章節(jié)中已經(jīng)提及：勾股定理證明方法很多，這里介紹的是一種面積法，學(xué)生以前沒見過這種方法，會感到陌生，尤其是覺得不像證明．這主要是因?yàn)榻炭茣鴽]有專門將面積的理論，推理的根據(jù)造成的．
不難發(fā)現(xiàn)：勾股定理的新授課本著從發(fā)現(xiàn)到發(fā)展并形成猜想命題及證明的嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)思想，貫穿著從特殊到一般的捕捉信息、認(rèn)識事物、從現(xiàn)象到本質(zhì)的常規(guī)治學(xué)方法．筆者認(rèn)為這堂課有必要追根溯源，緊扣直角三角形自身存在的問題：面積算法與斜邊長的關(guān)系，再從圖形結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)入手，進(jìn)而歸納猜想，并完成對命題的證明．
