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時間：2022-12-21 07:30:50
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第1題（本題為教材中的例題）：工地上有一些沙子，堆起來近似于一個圓錐，這堆沙子大約多少立方米？（得數(shù)保留兩位小數(shù)）
第2題：你會求圓錐的體積嗎？你是怎么知道的？
結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表。
■
根據(jù)前測信息，學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)簡析如下。
經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)：理解圓錐體積與底面積和高有關(guān)。在“不能正確列式計(jì)算”的學(xué)生中，兩班分別有一定比例的學(xué)生雖然不會正確列式計(jì)算，但能猜測圓錐體積是“底面積×高”，或認(rèn)為是“底面積×高÷2”。
知識起點(diǎn)：圓錐體積計(jì)算方法的學(xué)習(xí)已不是本課最重要的目標(biāo)。兩個班分別有78.3%和66.0%的學(xué)生已經(jīng)會正確列式計(jì)算圓錐的體積，學(xué)習(xí)的途徑也很多，其中“預(yù)習(xí)學(xué)會”的幾乎占50%，說明學(xué)生已有較好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
認(rèn)知起點(diǎn)：圓錐體積計(jì)算方法的探究過程需加強(qiáng)，需不斷豐富活動經(jīng)驗(yàn)。由于本課是在學(xué)習(xí)了圓柱的體積后進(jìn)行的，部分學(xué)生受直觀定式的影響，對圓錐體積計(jì)算方法的猜測出現(xiàn)偏差。
二、教學(xué)對策
1.學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)是什么？
很顯然，如果僅以“使學(xué)生掌握圓錐體積的計(jì)算方法”作為本課的教學(xué)目標(biāo)是不夠的。在學(xué)習(xí)圓錐體積計(jì)算方法的同時，需要創(chuàng)設(shè)有效環(huán)節(jié)幫助學(xué)生發(fā)展空間觀念。
2.怎樣幫助學(xué)生獲得豐富的操作經(jīng)驗(yàn)并理解知識？
需要組織行之有效的操作活動，讓每一位學(xué)生參與其中，經(jīng)歷操作過程，積累操作經(jīng)驗(yàn)，從而獲得感悟。操作器材的選擇與提供尤為重要。
三、教學(xué)實(shí)踐
1.復(fù)習(xí)準(zhǔn)備，直接揭題
2.切割猜想，初步溝通圓柱與圓錐的聯(lián)系
（1）如果要用木料加工（切削）成一個這樣的圓錐（課件出示），它的底面直徑是10厘米，高是15厘米。選擇怎樣形狀的木料加工最方便？
（2）為什么選擇圓柱形木料？你是怎么想的？
（3）這里有4個不同型號的圓柱形木料，選擇底面直徑和高分別是多少的圓柱形木料加工最方便？為什么？先獨(dú)立思考，再同桌交流。
■
（4）選擇第3個圓柱加工。猜測：這個圓錐的體積和圓柱有怎樣的關(guān)系？并說說你的想法。（課件出示：■）在這兩個容器中倒?jié)M水，再猜測它們的體積有什么關(guān)系。
3.探究圓錐體積的計(jì)算方法
操作材料說明：同桌兩人合做。全班共提供24套學(xué)具。其中22套中有3組不同型號等底等高的圓柱、圓錐，還有1套等底不等高的圓柱、圓錐和1套等高不等底的圓柱、圓錐。
（1）引入：這個圓柱和圓錐，它們的體積有什么關(guān)系呢？你打算怎么做試驗(yàn)？要注意什么？
（2）同桌合作，先思考準(zhǔn)備怎么做，再動手試一試。
（3）反饋：你們小組是怎樣做試驗(yàn)的？把你的過程和結(jié)果介紹給大家。
生1：把圓錐裝滿水后倒入圓柱中，一次又一次重復(fù)，重復(fù)倒了3次，正好把圓柱裝滿。以此說明圓錐體積是圓柱體積的■。
生2：在圓柱里灌滿水，然后倒進(jìn)圓錐，圓錐里的水滿后，倒回桶里。再把圓柱中的水倒進(jìn)圓錐，滿后再倒進(jìn)桶里，再把圓柱里剩下的水倒進(jìn)圓錐中，正好又倒?jié)M。
師（追問）：倒了幾次？你得到什么結(jié)論？
生2：正好倒3次。說明圓柱體積是圓錐體積的3倍。
生3：先將圓柱灌滿水，圓錐不灌水，把圓錐輕輕地放入圓柱中，此時圓柱中的水會溢出來。再把圓錐輕輕地拿出來，這時圓柱中的水面會下降。用尺量出圓柱中空出部分的高，看看與圓柱的高有什么關(guān)系。
師（追問）：溢出的水就是什么？空出部分的高與圓柱的高有什么關(guān)系？
生3：溢出的水就是圓錐的體積。空出部分的高是圓柱高的■。說明圓錐的體積就是圓柱的■。
生4：先把圓錐裝滿水，倒進(jìn)圓柱里。然后用尺量出圓柱中水的高度，最后用量出的數(shù)據(jù)除以圓柱的高度。
師（追問）：你們倒了幾次？結(jié)果如何？
生4：只倒了1次。結(jié)果水面的高度正好是圓柱高度的■。
師（再次追問）：說明什么？
生4：圓錐的體積是圓柱體積的■。
生5：把圓錐裝滿水后，倒進(jìn)圓柱中，用筆做個記號。然后再把圓錐裝滿水后倒進(jìn)圓柱，再做個記號。我用尺量了一下，這兩個記號正好把圓柱的高平均分成三份。說明圓錐體積是圓柱的■。
生6：我們前面猜測圓錐的體積是圓柱的■。所以根據(jù)圓柱上標(biāo)出來的線，倒■的水。
師（追問）：你是怎么知道是■的水？
生6（舉起試驗(yàn)圓柱）：這上面有紅色刻度的，正好是在高的■處。
師（評價）：哦！你們小組做試驗(yàn)的圓柱上有已經(jīng)做好標(biāo)記的紅線。你們能根據(jù)自己的猜測進(jìn)行試驗(yàn)，驗(yàn)證了猜測是正確的。這種猜想、驗(yàn)證的做法正是我們做學(xué)問的態(tài)度和方法。如果你一直用這種方法和態(tài)度進(jìn)行學(xué)習(xí)，相信你會越來越出色的！
生7：我們組開始用圓錐灌滿水倒進(jìn)圓柱里，感覺誤差大。就換了一種，把圓柱灌滿水，往圓錐里倒，剛剛好倒了3杯。說明圓柱體積是圓錐的3倍，也就是圓錐體積是圓柱體積的■。
師（評價）：真了不起！你們小組不但完成了試驗(yàn)任務(wù)，得出了結(jié)論，而且發(fā)現(xiàn)了做試驗(yàn)減少誤差的方法！
師（追問）：還有不同的發(fā)現(xiàn)嗎？
生8：我們的試驗(yàn)結(jié)果和他們的不一樣。我們也是做倒水試驗(yàn)，可是用圓錐裝滿水倒入圓柱，倒了4次多才倒?jié)M。
生9（另有一組的學(xué)生）：我們才倒了2次半就倒?jié)M了。（其他學(xué)生都靜下來）
師：請你們兩組把你們做試驗(yàn)的圓柱、圓錐拿上來，當(dāng)著大家的面再做一次。（這兩組學(xué)生當(dāng)著全班學(xué)生的面又做了一次，結(jié)果仍然和原來相同。）
師：這是怎么回事呢？
生10（興奮地）：我知道啦?。ㄗ叩街v臺前，邊指邊說）他們這兩組的圓柱、圓錐和我們做試驗(yàn)的不一樣。
師（追問）：什么不一樣？
生10：這個圓錐比圓柱矮，所以要倒4次多才能倒?jié)M。這個圓錐的底比圓柱大，所以倒了2次半就倒?jié)M了。（其余學(xué)生若有所思）
師：那你們做試驗(yàn)的圓柱、圓錐之間有什么關(guān)系呢？請你們仔細(xì)觀察。（學(xué)生紛紛觀察自己小組做試驗(yàn)的器材）
生10：我們做試驗(yàn)的圓柱、圓錐的底是相等的，高也是相等的。
師：你們的發(fā)現(xiàn)和他的一樣嗎？
生：一樣！
師：底相等，高也相等，我們叫做等底等高。其他同學(xué)還有什么想說的呢？
生11：必須是等底等高的圓柱和圓錐，做試驗(yàn)時，才正好倒3次。
師（小結(jié)）：只有等底等高的圓柱和圓錐，圓錐體積是圓柱體積的三分之一，圓柱體積是圓錐體積的3倍。
（4）課件演示試驗(yàn)過程，并根據(jù)過程推導(dǎo)圓錐體積計(jì)算方法。V圓錐=■V圓柱=■Sh。
（5）計(jì)算如右圖所示圓錐的體積。
反饋時追問：3.14×（10÷2）2×15表示什么意思？
引導(dǎo)：看著這個圓錐，先想像和它等底等高的圓柱的形狀，再用手比劃。（課件出示：■）
思考：削去了多少體積？你是怎么想的？根據(jù)這幅圖，你還想到什么？
4.練習(xí)鞏固
（1）課件出示：工地上有一些沙子，堆起來近似于一個圓錐，這堆沙子大約多少立方米？要計(jì)算這個沙堆的體積，需要知道哪些信息？結(jié)合生活實(shí)際想一想：底面半徑、直徑和周長，哪一個信息便于測量？為什么？（出示：底面周長是12.56米，高1.2米。反饋時追問：12.56÷3.14÷2和3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.2分別表示什么意思？）
（2）想一想，做一做。
出示：■已知圓錐的體積是56.52立方厘米，底面積是28.26平方厘米。它的高是多少厘米？
追問：56.52×3或56.52÷■表示什么意思？
課件演示一： ■
課件演示二：圓柱右移■
思考：圓柱與圓錐的體積有什么關(guān)系？如果要使它們的體積相等，并且保持原來的形狀，你有什么辦法？可以畫圖說明。
（3）觀察、猜想。
課件依次出示：■；■；……
思考：根據(jù)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么猜想？
5.總結(jié)提升
四、反思
在教學(xué)過程中，學(xué)生的表現(xiàn)極其出色：操作到位、感悟深刻、回答精彩。這都得益于整堂課的設(shè)計(jì)都立足于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，真正做到尊重學(xué)生的需求。
1.立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)
六年級的學(xué)生，他們已積累了一定的生活與活動經(jīng)驗(yàn)。因此在教學(xué)時要重視喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)。
首先，喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)遷移到學(xué)習(xí)活動中，往往是一種直覺。這種直覺，可能是正確的，也可能是錯誤的，但不管如何，這些都是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的“土壤”，等待著知識“種子”的播撒。如在上課伊始，讓學(xué)生思考“如果要用木料加工（切削）成一個這樣的圓錐，它的底面直徑是10厘米，高是15厘米。選擇怎樣形狀的木料加工最方便？”學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，馬上想到要用圓柱形的木料加工，因?yàn)樗鼈兊牡锥际菆A的。這種根據(jù)兩個形體間基本特征的聯(lián)想，是多么可貴啊！接著讓學(xué)生從提供的4個不同型號的圓柱木料中做出選擇，學(xué)生能在潛意識中關(guān)注它們的底面直徑與高的數(shù)值作出判斷，這是生活經(jīng)驗(yàn)的又一次提升，明確了“圓錐從哪里來”的問題。
其次，關(guān)注基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累?；顒咏?jīng)驗(yàn)具有不可替代性。而在日常教學(xué)中，我們往往容易犯“經(jīng)驗(yàn)替代”的過錯，造成了學(xué)生只知道圓錐體積的計(jì)算方法，而不會主動溝通圓柱與圓錐的聯(lián)系。為了避免這種現(xiàn)象，在上述課例中，我設(shè)計(jì)了讓學(xué)生同桌合作的環(huán)節(jié)。通過合作，學(xué)生反饋的信息異常豐富，概括起來有三個層次：（1）兩種常規(guī)的倒水法；（2）“排水法”和“量高法”；（3）操作方法的優(yōu)化提升。學(xué)生通過操作發(fā)現(xiàn)，用圓柱容器往圓錐容器中倒水，比用圓錐容器往圓柱容器中倒水誤差小。這是多么可貴的發(fā)現(xiàn)??！試想，如果沒有實(shí)物操作，只讓學(xué)生看課件和看教師操作，他們能有這樣的體會和這些發(fā)現(xiàn)嗎？正因?qū)W生有如此豐富的經(jīng)驗(yàn)積累，才使圓錐體積的計(jì)算方法水到渠成！
2.立足學(xué)生的知識起點(diǎn)
“圓錐的體積”是學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的最后一個形體，在此之前，學(xué)生已積累了較為豐富的知識經(jīng)驗(yàn)。尤其是經(jīng)過長方體、正方體、圓柱體積的學(xué)習(xí)之后，學(xué)生對“柱體”的體積計(jì)算有了一定的認(rèn)識，“底面積×高”的思想已逐漸樹立。但在會求圓錐體積的學(xué)生中有相當(dāng)一部分只是記住了計(jì)算方法，而對為什么這樣算不清楚，也就是說學(xué)生公式推導(dǎo)過程的經(jīng)驗(yàn)幾乎為零。此外，由于圓柱與圓錐在形體上有一定的聯(lián)系（底面都是圓的），學(xué)生會很自覺地對這兩個形體進(jìn)行溝通，尋求它們之間的聯(lián)系。因此在教學(xué)中，如何讓學(xué)生進(jìn)一步深化這兩個形體之間的聯(lián)系顯得尤為重要，這也成為本課的一個重要的教學(xué)任務(wù)。如在學(xué)生嘗試列式計(jì)算圓錐的體積后追問：“3.14×（10÷2）2×15表示什么意思？”他們會不自覺地想到與圓錐等底等高的圓柱的體積，并用手勢比劃出圓柱的形狀，從而初步感悟等底等高的圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系。接著讓學(xué)生觀察■，從不同的角度分析圓柱、圓錐、削去部分的體積之間的關(guān)系，進(jìn)一步深化了等底等高的圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系。這些新知的獲得，都是立足于學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)，是學(xué)生自主地生發(fā)出來的。
3. 立足學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)
學(xué)生的認(rèn)知隨著年齡的增長而不斷豐富，他們的認(rèn)知起點(diǎn)包括心理起點(diǎn)與思維起點(diǎn)。
師：（出示兩個用土豆削成的圓柱體）它們是什么形體？
生：圓柱體。
師：它們是完全相同的兩個圓柱體底和高分別相等。
（用刀子將其中一個削成圓錐）
師：這是什么形體？
生：圓錐。
師：你有什么辦法知道這個圓錐的體積嗎？
生：把它放進(jìn)盛水的量杯里，看水面升高多少，就可以知道這個圓錐的體積。
師：如果要測量建筑屋上圓錐形尖頂?shù)捏w積，還能用這種方法嗎？
學(xué)生討論。
【設(shè)計(jì)理念】如果每個圓錐都這樣測不現(xiàn)實(shí)，讓學(xué)生感覺到排水法的局限性，產(chǎn)生推導(dǎo)圓錐體積計(jì)算公式的需要。蘇霍姆林斯基認(rèn)為，在人的內(nèi)心深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，而在兒童的世界里，這種需要特別強(qiáng)烈。
二、聯(lián)想、猜測
師：想一想，我們會計(jì)算哪些圖形的體積？
生：……
師：假如讓你來研究圓錐的體積，你認(rèn)為圓錐的體積可能和什么圖形的體積有關(guān)？
生：圓錐的體積可能與圓柱有關(guān)。
師出示四組不同的容器教具。第一組：等底等高的圓柱和圓錐。第二組：等底、圓錐的高是圓柱的高的3倍的圓柱和圓錐。第三組：等高不等底的圓柱和圓錐（任意）。第四組：不等底不等高的圓柱和圓錐（任意）。
師：猜一猜，第一組等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積有什么關(guān)系？
生：圓錐的體積可能是圓柱體積的二分之一。
生：可能是三分之一。
生：可能是五分之二。
師：第二組呢？第三組、第四組呢？
師：下面就讓我們一起來試驗(yàn)，探究一下圓錐和圓柱體積之間的關(guān)系。
【設(shè)計(jì)理念】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流。要結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容為學(xué)生準(zhǔn)備豐富典型的操作材料和工具。
三、實(shí)驗(yàn)探究
師：各小組要自主選擇材料，討論選擇怎樣的操作方法，分析研究操作的結(jié)果。
各小組討論、實(shí)驗(yàn)、分析、交流。
實(shí)驗(yàn)結(jié)果：第一組用圓錐容器裝水（或沙）倒入等底等高的圓柱容器中，剛好倒三次；第二組用圓錐容器（高是圓柱的三倍）裝水（或沙）倒入等底的圓柱容器中，剛好裝滿；第三組和第四組則不存在第一組和第二組那樣的關(guān)系。
【設(shè)計(jì)理念】數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生思考，掌握有效的學(xué)習(xí)方法。學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測 、驗(yàn)證、推理、計(jì)算、證明等活動過程。
四、導(dǎo)出公式
師：通過第一組（等底等高的圓柱和圓錐）你發(fā)現(xiàn)等底等高的圓柱和圓錐的體積有什么關(guān)系？你能用字母表示出它們的關(guān)系嗎？
生：在等底等高條件下：V圓錐=1/3V圓柱=1/3sh
師：通過第二組：底相等，圓錐的高為圓柱的高的3倍時，圓柱和圓錐的體積有什么關(guān)系？
生：體積相等。
師：你怎樣解釋？
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動與共同發(fā)展的過程。”師生、生生之間的互動與交往，應(yīng)互相分享彼此的思考、見解、方法和知識，交流彼此的情感，豐富教學(xué)內(nèi)容，從而達(dá)到共識、共享、共進(jìn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我注重讓學(xué)生充分參與課堂教學(xué)，讓學(xué)生表現(xiàn)為“我能學(xué)”，實(shí)現(xiàn)師生、生生之間的互動與交往。
例如，在教學(xué)“圓錐的體積”時，為了幫助學(xué)生進(jìn)一步弄清圓錐體積公式的推導(dǎo)過程，我先讓學(xué)生用硬紙板各做了一個等底等高的空心圓柱和圓錐，讓學(xué)生找出圓柱和圓錐之間有什么關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圓柱和圓錐的底面積相等，高也相等。我及時表揚(yáng)學(xué)生愛動腦筋，會觀察。這時，學(xué)生興致高漲，我馬上問：“現(xiàn)在你想它們倆幫助我們解決什么問題?”“我們會計(jì)算圓柱的體積，我想知道圓錐有沒有體積，怎么計(jì)算?！薄澳奈煌瑢W(xué)可以幫幫他?”學(xué)生回答踴躍：“物體所占空間的大小就是它的體積，圓錐也要占空間，所以有體積?！薄澳悄阒涝鯓忧髨A錐體積嗎?”學(xué)生分組討論，興致很濃。
學(xué)生匯報時，甲組說：“老師，我們想做一個實(shí)驗(yàn)，用圓柱做量筒，把圓錐裝滿水，再把水倒入圓柱中，看倒幾次可以將圓柱裝滿水，從而得出圓柱和圓錐的體積關(guān)系?！比嗤瑢W(xué)鼓掌表示贊同他們的方法，我高興極了。乙組同學(xué)說：“老師，我們也想到用實(shí)驗(yàn)來得出結(jié)論，可我們是準(zhǔn)備用沙子做實(shí)驗(yàn)?！贝藭r，我趁機(jī)接過學(xué)生的話：“我們的同學(xué)真的很不錯，想的辦法都很好，老師為你們做好了準(zhǔn)備，我這里有沙子和水，你們組想要什么實(shí)驗(yàn)器材，請組長來領(lǐng)。但是老師有要求，請大家聽清楚，做實(shí)驗(yàn)的時候大家要服從組長的安排，要團(tuán)結(jié)協(xié)作，每組派一個同學(xué)做好記錄，并注意保護(hù)好場地衛(wèi)生，現(xiàn)在馬上開始行動?！?/p>
同學(xué)們專心致志地分組做實(shí)驗(yàn)，老師巡視，了解實(shí)驗(yàn)情況。匯報時甲組的代表說：“我們把圓錐裝滿水，再倒入圓柱中，這樣反復(fù)倒了3次，圓柱里面的水正好滿了，這就說明圓柱的體積是圓錐體積的3倍?！蔽覍⑺f的關(guān)系式板書：圓柱的體積=圓錐體積×3；乙組的代表也是同樣的說法。我問：“同學(xué)們還有什么要補(bǔ)充的嗎?”沒有同學(xué)發(fā)表看法。這時我拿出兩個不是等底等高的空心圓柱和圓錐，讓學(xué)生猜一猜這時的圓柱體積是不是圓錐體積的3倍。學(xué)生有的說是的，有的說不是的，爭執(zhí)不下。有學(xué)生提議：我們再試一試就知道了。這時我用圓錐裝滿水倒人圓柱中，反復(fù)進(jìn)行，證明這時的圓柱體積不是圓錐體積的3倍，讓學(xué)生找出原因。有個細(xì)心的學(xué)生說：老師，我們開始做實(shí)驗(yàn)用的圓柱和圓錐是等底等高的，可后來用的不是等底等高的，我覺得要強(qiáng)調(diào)：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱體積是圓錐體積的3倍，圓錐體積是圓柱體積的1/3。這時我露出滿臉的笑容，豎起大拇指夸獎他們是小小數(shù)學(xué)家，并板書：圓錐體積=1/3圓柱體積。這樣的師生互動，使學(xué)生明白了圓錐與圓柱之間的體積關(guān)系。課后有一個學(xué)生很高興地對我說：“老師，我們自己也能學(xué)習(xí)新的知識，真是好極了!”通過這樣的互動活動，數(shù)學(xué)課堂變得寬松、活躍，極大地激活了學(xué)生內(nèi)在的求知欲望。
良好的師生互動，不僅能使學(xué)生獲得認(rèn)知方面的發(fā)展，而且使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中享受到樂趣，融知、情、意、行于一體，增進(jìn)了學(xué)生間的感情，讓他們在科學(xué)領(lǐng)域揮舞創(chuàng)新的翅膀，茁壯成長。
[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）05-022
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從感性認(rèn)識開始的，所以在數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)加強(qiáng)直觀演示的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)素材進(jìn)行多層面、多角度、多維度的觀察、比較、選擇與歸納。下面，以“圓柱與圓錐”單元教學(xué)為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^直觀教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。
一、操作，激發(fā)學(xué)生的思維
“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”課堂教學(xué)中，教師可通過動手操作，激活學(xué)生的思維，引導(dǎo)他們深入探究，真正理解所學(xué)知識。
師：圓柱的體積計(jì)算公式是什么？
生1：圓柱的體積=底面積×高。
師：我們是怎樣推導(dǎo)圓柱的體積計(jì)算公式的？
生2：我們把圓柱轉(zhuǎn)化成等底等高的長方體，通過長方體的體積計(jì)算公式推導(dǎo)出圓柱的體積計(jì)算公式。
師：今天，我們探究圓錐的體積計(jì)算方法。猜一猜，圓錐的體積可以怎樣求？它與哪些條件有關(guān)？
生3：只要把圓柱上面的一個圓縮成點(diǎn)就變成了圓錐，說明圓錐的體積和圓柱是有聯(lián)系的。
生4：可以把圓錐轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的立體圖形——圓柱，由于圓柱體積=底面積×高，那么圓錐的體積計(jì)算可能與它的底面積和高有關(guān)系。
……
我國數(shù)學(xué)家徐利治曾說過：“直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識。”教學(xué)“圓柱的體積”時，把圓柱的體積轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的長方體體積，這樣能有效喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，使學(xué)生去觀察、反思、梳理，為后續(xù)推導(dǎo)圓錐的體積計(jì)算埋下伏筆。由圓柱體積的推導(dǎo)過程，學(xué)生能想到圓錐的體積是不是能轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的立體圖形進(jìn)行計(jì)算，這樣就會產(chǎn)生一種學(xué)習(xí)新知識的需求。學(xué)生由于生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平的局限，更易于接受直觀的事物。因此，直觀演示更利于學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、分析和想象，并在此基礎(chǔ)上展開更加豐富多彩的直觀推理，進(jìn)而洞察相關(guān)聯(lián)物體之間的聯(lián)系與區(qū)別，獲得必要的結(jié)論。
二、實(shí)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的思維
學(xué)生的感悟因經(jīng)歷而豐富，視野因思維更拓展。因此，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)以實(shí)驗(yàn)為媒介，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)活動有機(jī)融合。
師（出示許多大小不等的圓柱和圓錐形容器）：你打算將圓柱與圓錐如何轉(zhuǎn)化？如果讓你在這么多的圓柱與圓錐中選擇兩個來探究，你打算選擇什么樣的圓柱和圓錐？說說你選擇的理由。
生1：剛才把圓柱的一個底面縮成點(diǎn)就變成了圓錐，其中圓錐與圓柱的底面積相等，高也相等，所以應(yīng)選擇底面積相等、高相等的圓柱和圓錐進(jìn)行探究。
師：為了便于我們研究圓錐體積，每個組都準(zhǔn)備了一個圓柱和一個圓錐，比一比，它們有什么相同的地方？（生操作演示，如下圖）
師：你發(fā)現(xiàn)了什么？底面積相等，高也相等，用數(shù)學(xué)語言來說就叫等底等高。既然圓錐與圓柱等底等高，能不能直接用圓柱的體積計(jì)算公式求出圓錐的體積呢？
生2：不行，把圓錐放入圓柱形容器中，發(fā)現(xiàn)圓錐比圓柱的體積小。
師：這位同學(xué)真了不起。請你再猜一猜，圓錐與它等底等高的圓柱體積有什么樣的關(guān)系呢？
生3：圓錐體積可能是它等底等高圓柱體積的1/2。
師：還有其他的猜想嗎？
生4：圓錐體積可能是它等底等高圓柱體積的1/3。
師：有什么好辦法驗(yàn)證自己的猜想是正確的呢？先在小組里交流，再做實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證你的猜想。（生動手操作）
師：誰來匯報一下？
生5：我選擇等底等高的圓錐和圓柱，發(fā)現(xiàn)把圓錐裝滿水倒入圓柱里，倒?jié)M了三次，說明圓錐體積是它等底等高圓柱體積的1/3。
師：其他組實(shí)驗(yàn)的情況也和他們一樣嗎？
生：一樣。
師（出示兩組大小不同的圓柱和圓錐，如下圖）：這兩組圓柱和圓錐，圓錐的體積還是圓柱體積的1/3嗎？為什么？
生6：這里的圓錐體積不是圓柱體積的1/3，因?yàn)樗鼈儾皇堑鹊椎雀摺?nbsp;
師：這說明了什么？
生7：不是任何一個圓錐的體積都是圓柱體積的1/3。
師：什么樣的圓錐與圓柱體積才有1/3的關(guān)系呢？
生8：等底等高的圓錐和圓柱。
……
數(shù)學(xué)抽象地反映了客觀世界。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生由于受知識經(jīng)驗(yàn)和思維水平的限制，經(jīng)常會遇到一些很難用語言解釋清楚的數(shù)學(xué)問題，這時候直觀圖形或者直觀模型就能夠給學(xué)生提供形象的思考和表達(dá)的機(jī)會，幫助學(xué)生把頭腦里的數(shù)學(xué)事實(shí)外顯化。學(xué)生通過操作、實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證自己的想法是否正確，不知不覺中，學(xué)生的認(rèn)識變得更豐富了，理解變得更深刻了，思維變得更靈活了，體驗(yàn)變得更強(qiáng)烈了。這樣教學(xué)，順應(yīng)了學(xué)生的思維發(fā)展，使他們真正掌握了解決問題的策略。
三、觀察，發(fā)散學(xué)生的思維
系統(tǒng)的發(fā)散訓(xùn)練，能適當(dāng)降低思維的難度，給學(xué)生的自主學(xué)習(xí)搭建一個“腳手架”，有利于學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法，提升思維能力。
例1 如右圖，正方形OABC的面積是10平方厘米，O是圓心，求圓的面積。
由圖可知，正方形的面積就是r 2，圓的面積就是πr 2=3.14×10=31.4（平方厘米）。
例2 如右圖，正方形ABCD的面積是40平方厘米，求圓的面積。
由于有了例1的鋪墊，學(xué)生能把例2轉(zhuǎn)化為例1——畫兩條與正方形鄰邊互相垂直的直徑（如右圖），這樣就把大正方形平均分成了四個小正方形，可以先求出每個小正方形的面積，也就是求出r 2的值，再用r 2的值求出圓的面積，所以圓的面積πr 2=3.14×（40÷4）=31.4（平方厘米）。
例3 如右圖，求大正方形、圓、小正方形的面積比。
教學(xué)目標(biāo)
1.在操作和探究中理解并掌握圓錐的體積計(jì)算公式。
2.引導(dǎo)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納等能力。
3.在實(shí)驗(yàn)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。
教學(xué)重點(diǎn)
圓錐體積的計(jì)算公式的推導(dǎo)過程。
教學(xué)難點(diǎn)
圓錐體積計(jì)算公式的理解。
教學(xué)過程
一、情景鋪墊，引入課題
教師出示畫面，畫面中兩個小孩正在商店里買蛋糕，蛋糕有圓柱形和圓錐形兩種。圓柱形蛋糕的標(biāo)簽上寫著底面積16cm2，高20cm，單價：40元/個；圓錐形的蛋糕標(biāo)簽上寫著底面積16 cm2，高60 cm，單價：40元/個。
出示問題：到底選哪種蛋糕劃算呢？
教師：圖上的兩個小朋友在做什么？他們遇到什么困難了？他們應(yīng)該選哪種蛋糕劃算呢？誰能幫他們解決這個問題？
學(xué)生明白首先要求出圓錐形蛋糕的體積。
教師：怎樣計(jì)算圓錐的體積？這節(jié)課我們一起研究圓錐體積的計(jì)算方法。
揭示課題。板書課題：圓錐的體積
二、自主探究，感悟新知
1.提出猜想，大膽質(zhì)疑
教師：誰來猜猜圓錐的體積怎么算？
2.分組合作，動手實(shí)驗(yàn)
教師：圓錐的體積和圓柱的體積之間究竟有沒有關(guān)系呢？如果有關(guān)系的話，它們之間又是一種什么關(guān)系？通過什么辦法才能找到它們之間的關(guān)系呢？帶著這些問題，請同學(xué)們分組研究，通過實(shí)驗(yàn)尋找答案。
教師布置任務(wù)并提出要求。
每個小組的桌上都有準(zhǔn)備好的器材：等底等高空心的或?qū)嵭牡膱A柱和圓錐、河沙或水、水槽等不同的器材，以及一張可供選用的實(shí)驗(yàn)報告單。四人小組的成員分工合作，利用提供的器材共同想辦法解決問題，找出圓錐體積的計(jì)算方法。并可根據(jù)小組研究方法填寫實(shí)驗(yàn)報告單。
學(xué)生小組合作探究，教師巡視指導(dǎo)，參與學(xué)生的活動。
3.教師用展示實(shí)驗(yàn)報告單
教師：你們采用了哪些方法研究等底等高的圓柱和圓錐之間的關(guān)系？通過實(shí)驗(yàn)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？
方案一：用空心的圓錐裝滿水，再把水倒在與這個圓錐等底等高的空心圓柱形容器中，倒了三次，剛好裝滿圓柱形容器，因?yàn)閳A柱的體積=底面積×高，所以圓錐的體積=1/3×圓柱的體積。
方案二：方法與一小組的方法基本一樣，只不過裝的是河沙。我們的結(jié)論和一小組一樣，圓錐的體積也是這個等底等高圓柱體積的三分之一。
教師：二個小組采用的實(shí)驗(yàn)方法不一樣，得出的結(jié)論都一樣。老師為你們的探索精神感到驕傲。
教師把學(xué)生們的實(shí)驗(yàn)過程演示一遍，讓學(xué)生再經(jīng)歷一次圓錐體積的探究過程。
4.公式推導(dǎo)
教師：圓柱的體積怎樣計(jì)算？圓錐的體積又怎樣計(jì)算？
教師引導(dǎo)學(xué)生理解只要求出與這個圓錐等底等高的圓柱的體積，再乘以三分之一，就得到圓錐的體積。
板書：圓柱的體積=底面積×高
V=S×h
〖4〗〖6〗
圓錐的體積=1/3×底面積×高
V=1/3×S×h
教師：圓柱的體積用字母V表示，圓錐的體積也用字母V表示。怎樣用字母表示圓錐的體積公式？
抽學(xué)生回答，教師板書：V=1/3Sh
教師引導(dǎo)學(xué)生理解公式，弄清公式中的S表示什么，h表示什么。
要求學(xué)生閱讀教科書第39頁和第40頁例1前的內(nèi)容。勾畫出你認(rèn)為重要的語句，并說說理由。
5.運(yùn)用所學(xué)知識解決問題
教學(xué)例1。
一個鉛錘高6cm，底面半徑4cm。這個鉛錘的體積是多少立方厘米？
學(xué)生讀題，找出題中的條件和問題。
引導(dǎo)學(xué)生弄清鉛錘的形狀是圓錐形。
學(xué)生獨(dú)立解答。抽學(xué)生上臺展示解答情況并說出思考過程。
三、拓展應(yīng)用，鞏固新知
1.教科書第42頁第1題
學(xué)生獨(dú)立解答，集體訂正。
2.填一填
（1）圓柱的體積字母表達(dá)式是（ ），圓錐的體積字母表達(dá)式是（ ）。
（2）等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的（ ）倍。
抽生回答，熟悉圓錐的體積計(jì)算公式。
3.把下列表格補(bǔ)充完整
學(xué)生在解答時，教師巡視指導(dǎo)。
4.教科書第42頁練習(xí)九第2題
分組解答，抽生板算。教師帶領(lǐng)學(xué)生集體訂正。
5.應(yīng)用公式解決實(shí)際問題
教師：現(xiàn)在我們再來幫助這兩個同學(xué)解決他們的難題。
要求學(xué)生獨(dú)立解答新課前買蛋糕的問題。
抽學(xué)生說出計(jì)算的結(jié)果。明白兩個蛋糕的體積一樣大，因此買兩種形狀的蛋糕都可以。
四、課堂總結(jié)
關(guān)鍵詞：圓錐 圓柱 體積
一、教材依據(jù)：人教版九年義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)教科書第十二冊第二單元第25-28頁《圓錐的體積》。
二、設(shè)計(jì)思路：
指導(dǎo)思想：以《小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》、《新課程改革實(shí)施綱要》為指導(dǎo)。
設(shè)計(jì)理念：以新課程理念指導(dǎo)教學(xué)，運(yùn)用現(xiàn)代教學(xué)理論，以此來處理主導(dǎo)和主體，知識和能力，過程和結(jié)論的關(guān)系，充分調(diào)動了學(xué)生的積極性。引導(dǎo)學(xué)生動腦、動口、動手來探索、體驗(yàn)學(xué)習(xí)的全過程。
教材分析：《圓錐的體積》是新課標(biāo)人教版第十二冊第二單元的內(nèi)容。本節(jié)課屬于空間與圖形知識的教學(xué)，也是小學(xué)階段幾何圖形知識的重點(diǎn)和難點(diǎn)。從教材的編寫可以看出，教材加強(qiáng)了與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系；加強(qiáng)了在操作中對空間與圖形的思考，使學(xué)生在經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、猜測、操作實(shí)驗(yàn)、推理等過程中理解和掌握圓錐的體積的計(jì)算方法，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。
學(xué)情分析：美國教育心理學(xué)家奧蘇伯爾說：“如果我不得不把教育心理學(xué)還原為一條原理的話，影響學(xué)習(xí)的最主要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況進(jìn)行教學(xué)?！北竟?jié)課是學(xué)生在認(rèn)識了圓錐特點(diǎn)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。學(xué)生在分組操作時，借助倒水（或沙子）的實(shí)驗(yàn)，親身感受到等底等高的圓柱與圓錐之間的3倍關(guān)系。但是他們不易發(fā)現(xiàn)的是圓柱體積和圓錐體積之間具備3倍的關(guān)系前提，為了凸現(xiàn)這一條件，可借助體積關(guān)系不是3倍的實(shí)驗(yàn)器材，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷去粗求精、去偽求真、由表及里、層層逼近的過程，進(jìn)行深度的信息加工。
三、教學(xué)目標(biāo)
知識技能目標(biāo)：
1、使學(xué)生探索并初步掌握圓錐體積的計(jì)算方法和推導(dǎo)過程；
2、使學(xué)生會應(yīng)用公式計(jì)算圓錐的體積并解決一些實(shí)際問題。
方法與途徑目標(biāo)：
提高學(xué)生實(shí)踐操作、觀察比較、抽象概括及邏輯推斷的能力，發(fā)展空間觀念。
情感與評價目標(biāo)：
1、培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和探究意識；
2、使學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。
四、教學(xué)重點(diǎn)：
使學(xué)生掌握圓錐體積的計(jì)算方法并解決一些實(shí)際問題
五、教學(xué)難點(diǎn)：
正確探索圓錐與圓柱體積之間的關(guān)系。
六、教具、學(xué)具準(zhǔn)備：
不同型號、相同型號的圓柱、圓錐實(shí)物和容器各5套、沙子、水、尺子、多媒體課件。
七、教學(xué)流程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課。
1、（課件出示）夏天，森林里悶熱極了，小動物們都熱的喘不過氣來，一只小白兔去“動物超市”購物，它在冷飲專柜熊伯伯那兒買了一個圓柱形的雪糕，這一切都被躲在一旁的狐貍看見了，他就去熊伯伯的專柜里買了一個圓錐形的雪糕。小白兔剛張開嘴，滿頭大汗的狐貍拿著它的圓錐形雪糕一溜煙的跑了過來。（圖中圓柱形與圓錐形雪糕是等底等高的。）
2、引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題討論。
問題一：狐貍貪婪的問：“小白兔，用我手中的雪糕跟你換一下，怎么樣？（如果這時小白兔和狐貍交換了雪糕，你覺得小白兔有沒有上當(dāng)？）
問題二：（動畫演示）狐貍手上又多了一個同樣大小的圓錐形雪糕。（小白兔這時和狐貍交換雪糕，你覺得公平嗎？）
問題三：如果你是森林中的小白兔，狐貍手中的圓錐形雪糕有幾個時，你才肯和它交換？
3、過渡：小白兔究竟和狐貍怎樣交換才公平合理呢？我們需要怎么做？（預(yù)設(shè)：看圓柱和圓錐體積究竟有什么關(guān)系？）那么，我們這節(jié)課就來學(xué)習(xí)圓錐的體積。
（設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)課程要關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識體驗(yàn)，在引入新知時，創(chuàng)設(shè)了一個有趣的童話情境，捕抓課堂問題的生成。讓學(xué)生在猜想中交流，在交流中感悟，引發(fā)了進(jìn)一步探究的強(qiáng)烈欲望。）
4、揭示題目。
（二） 自主探索，操作實(shí)驗(yàn)。
1、圓錐體積公式的推導(dǎo)
1）請學(xué)生拿出第一組圓柱形，圓錐形的容器(等底等高)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，探究其之間的關(guān)系。
a、觀察圓柱形，圓錐形的容器的特點(diǎn)。
b、（課件出示）實(shí)驗(yàn)要求。
C、學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)。
d、學(xué)生匯報實(shí)驗(yàn)結(jié)果。
板書：圓柱體積是圓錐體積的3倍。
圓錐體積是圓柱體積的1/3。
圓柱的體積=底面積×高
圓錐的體積=底面積×高×1/3
e、課件演示公式推導(dǎo)過程。
（設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)是在學(xué)生前面猜想的基礎(chǔ)上，通過小組合作動手實(shí)驗(yàn)―具體操作―驗(yàn)證得出等底等高的圓柱和圓錐之間的體積關(guān)系，是本節(jié)課的重點(diǎn)知識，讓每位同學(xué)都經(jīng)歷了知識的形成過程，體現(xiàn)了“動態(tài)生成”，為抽象的理論提供了感性材料。）
2）誘導(dǎo)反思。
提問：是不是所有的圓柱體積是圓錐體積的3倍，圓錐體積是圓柱體積的1/3呢？請同學(xué)們拿出第二組圓柱形，圓錐形的容器（等底不等高、等高不等底、不等底不等高）進(jìn)行試驗(yàn)，探究其之間的關(guān)系。
a、觀察圓柱形，圓錐形的容器的特點(diǎn)。
b、學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)。
C、學(xué)生匯報實(shí)驗(yàn)結(jié)果。
板書：等底等高
（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生親身感受到了等底等高圓柱體積與圓錐體積間的3倍關(guān)系。但是他們不易發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的“等底等高”是3倍關(guān)系成立的前提，為了凸現(xiàn)這一條件，這一環(huán)節(jié)我又準(zhǔn)備了等底不等高、等高不等底、不等底不等高3組實(shí)驗(yàn)器材讓學(xué)生進(jìn)行試驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷去粗求精、去偽求真、由表及里、層層逼近的過程，進(jìn)行深度的信息加工。以此來突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。）
3）用字母表示圓錐的體積公式。
板書：V=1/3sh
2、思考：要求圓錐的體積必須知道哪些條件？
指名回答。
（設(shè)計(jì)意圖：新課程要關(guān)注所有學(xué)生的發(fā)展。這個問題的設(shè)計(jì)，會使不同層次的學(xué)生作出不同深度的回答，使每位學(xué)生都會得到不同的進(jìn)步和發(fā)展。）
3、問題解決。（課件出示例題）
例：在打谷場上，有一個近似于圓錐的小麥堆，測得底面直徑是4米，高是1.2米。這堆小麥有多少立方米？
學(xué)生獨(dú)立完成,集體訂正。
（三）鞏固練習(xí)、拓展提高。
1、基本練習(xí)。
計(jì)算下面圓錐的體積。(單位:厘米)
1）r=2 h=8 2)d=6 h=3 3)c=6.28 h=6
2、綜合性練習(xí) 。
工地上運(yùn)來 6 堆同樣大小的圓錐形沙堆，每堆沙的底面積是18.84平方米，高是0.9米。這些沙有多少立方米？如果每立方米沙重1.7噸，這些沙有多少噸？
（設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)是對所學(xué)知識的再創(chuàng)造，由淺入深，循序漸進(jìn)，學(xué)生的思維逐步得到發(fā)展。）
3、實(shí)踐性練習(xí)。
讓學(xué)生把實(shí)驗(yàn)用的沙土，堆成圓錐形沙堆，合作測量計(jì)算出它的體積。
（設(shè)計(jì)意圖：這道題就地取材，給了學(xué)生一個運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的機(jī)會，讓學(xué)生動手動腦解決身邊的實(shí)際問題，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。）
4、開放性練習(xí)
（1）變式思維：（出示等底等高的圓柱圓錐圖）
思考后反饋：圓柱和圓錐等底等高，它們的體積又怎樣的關(guān)系？如果要使圓柱體積和圓錐體積相等，只改變圓柱或圓錐底和高中的一個量，你有什么方法？
（討論、交流、反饋后出示下面的結(jié)論）
a、圓柱的高縮小3倍。
b、圓柱的底縮小3倍。
c、圓錐的底擴(kuò)大3倍。
d、圓錐的高擴(kuò)大3倍。
（2）一段圓柱形鋼材,底面直徑10厘米,高是15厘米,把它加工成一個圓錐零件。根據(jù)以上條件信息,你想提出什么問題?能得出哪些數(shù)學(xué)結(jié)論?(可小組討論)
（設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)題目的設(shè)計(jì)，是要求學(xué)生從不同的方面來思考問題、解決問題，提高了題目的靈活性，發(fā)散了學(xué)生的思維，將本節(jié)課推上。）
（四）這節(jié)課你收獲了什么？
（五）作業(yè)布置。
板書設(shè)計(jì)：
圓錐的體積
生：它們的底和高都相等。
師：同學(xué)們準(zhǔn)備了沙子或米，請同學(xué)們自己動手試一試，你能不能利用這些工具來得出圓錐的體積與圓柱的體積之間的關(guān)系？
（小組活動）
師：同學(xué)們研究得特別認(rèn)真，你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？圓柱的體積和圓錐的體積有什么關(guān)系？
生1：我發(fā)現(xiàn)圓柱的體積是圓錐體積的3倍。
師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？
生1：我們把圓錐里面裝滿沙子倒在圓柱里面，倒三次才能倒?jié)M，說明，圓柱的體積是圓錐體積的3倍。
師：這是什么樣的圓柱和圓錐？
生1：空的。
生2：等底等高的。
師（興高采烈的）：說得好，這是等底等高的圓柱和圓錐，雖再說說他們體積的關(guān)系？
生3：圓柱和圓錐等底等高，圓柱的體積是圓錐的3倍。
生4：等底等高的圓柱的體積是圓錐的3倍。
師：別的小組也是這樣嗎？
生（異口同聲地）：是。
……
評析：
改變學(xué)習(xí)方式是本次課程改革的核心，探究性學(xué)習(xí)作為新課程所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式，非常有利于挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。然而，上面的探究，卻大打了折扣，存在著幾個明顯問題。
1.目標(biāo)不明。
探究性學(xué)習(xí)一般包括提出問題、確定策略、展開探究、交流結(jié)果幾個過程。而在上面的片斷中，問題的提出和確定策略兩個環(huán)節(jié)全部省略。學(xué)生沒有經(jīng)過思索，只是稀里糊涂地按照老師的要求去操作，至于為什么這樣做，學(xué)生根本不清楚。目標(biāo)不明，導(dǎo)致了學(xué)生興趣不濃，思維也根本沒有被激活，整個探究的過程中學(xué)生只充當(dāng)了被動的操作工。如果教學(xué)時先提出問題：探索圓錐的體積。在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生們一定能夠從形狀的相似上發(fā)現(xiàn)圓錐和圓柱的關(guān)系最密切，可以借助圓柱來推導(dǎo)圓錐的體積公式。然后，讓小組設(shè)計(jì)、交流研究方案，小組選擇比較簡便的操作方法展開探究。這樣，學(xué)生的探究欲望會是多么強(qiáng)烈，探究的方法該是多么豐富多彩。
2. 空間太小。
探索的路總是充滿艱辛的，正因?yàn)槿绱耍骄康倪^程才更有魅力。可是，本節(jié)課的探究卻是格外的一帆風(fēng)順，原因在于空間太小。等底等高的空心圓柱和圓錐，學(xué)生只需要裝裝沙子，就可以一下子發(fā)現(xiàn)教師需要的結(jié)果，沒有一點(diǎn)波折，在學(xué)生的心里也就激不起什么波瀾，狹窄的探究空間，還使得結(jié)論中的關(guān)鍵因素“等底等高”沒能引起學(xué)生的主意，是在老師的追問、強(qiáng)調(diào)中學(xué)生才意識到的。其實(shí)探究中，老師可以選擇一些非等底等高圓錐和的圓柱，這樣，有的小組一定能得到3倍的結(jié)論，而有的小組一定是得不出3倍結(jié)論的：或許是圓錐和的圓柱的體積一樣多，或許是4倍、5倍關(guān)系。在這種情況下，讓學(xué)生觀察實(shí)驗(yàn)所使用的工具，在分析比較、互動交流中學(xué)生恍然大悟：只有當(dāng)圓錐和圓柱等底等高時，他們的體積關(guān)系才會出現(xiàn)三分之一（或者3倍）的關(guān)系。這樣的設(shè)計(jì)，學(xué)生的思維才能在廣闊的空間內(nèi)自由馳騁，碰撞出智慧的火花，不僅發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還能積累探究的經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)創(chuàng)造的樂趣，促進(jìn)三維目標(biāo)的有效達(dá)成。
3.沒有適時的評價。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：掌握圓錐體體積公式的推導(dǎo)。
教具準(zhǔn)備：1、等底等高的圓柱體和圓錐體6套，大小不同的圓柱體和圓錐體6套、水槽6套。
2、多媒體課件設(shè)計(jì)
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
(一)復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：
1．怎樣計(jì)算圓柱的體積？(板書：圓柱體的體積=底面積×高)
2．一個圓柱的底面積是60平方分米，高15分米，它的體積是多少立方分米？
3．圓錐有什么特征？
學(xué)生回答后，教師用課件演示：屏摹上顯示一個圓錐體，將它的底面、側(cè)面、高和頂點(diǎn)閃爍。
（二）導(dǎo)入新課
今天我們就利用這些知識探討新的問題-----怎樣計(jì)算圓錐的體積（板書課題）
（三）進(jìn)行新課
1、探討圓錐的體積公式
教師：怎樣探討圓錐的體積計(jì)算公式呢？在回答這個問題之前，請同學(xué)們先想一想，我們是怎樣知道圓柱體積公式的：
學(xué)生回答，教師板書：
圓柱------（轉(zhuǎn)化）------長方體
圓柱體積公式--------（推導(dǎo)）長方體體積公式
教師：借鑒這種方法，為了我們研究圓錐體體積的方便，每個組都準(zhǔn)備了一個圓柱體和一個圓錐體。你們小組比比看，這兩個形體有什么相同的地方？學(xué)生操作比較。
（1）提問學(xué)生：你發(fā)現(xiàn)到什么？（這個圓柱體和這個圓錐體的形狀有什么關(guān)系）
(學(xué)生得出：底面積相等，高也相等。)
底面積相等，高也相等，用數(shù)學(xué)語言說就叫“等底等高”。
(板書：等底等高)
（2）為什么？既然這兩個形體是等底等高的，那么我們就跟求圓柱體體積一樣，就用“底面積×高”來求圓錐體體積行不行？(不行，因?yàn)閳A錐體的體積小)
教師：（把圓錐體套在透明的圓柱體里)是啊，圓錐體的體積小，那你估計(jì)一下這兩個形體的體積大小有什么樣的倍數(shù)關(guān)系？(指名發(fā)言)
的水和圓柱體、圓錐體做實(shí)驗(yàn)。怎樣做這個實(shí)驗(yàn)由小組同學(xué)自己商量，但最后要向同學(xué)們匯報，你們組做實(shí)驗(yàn)的圓柱體和圓錐體在體積大小上有什么樣的倍數(shù)關(guān)系。
（3）學(xué)生分組做實(shí)驗(yàn)。
A.誰來匯報一下，你們組是怎樣做實(shí)驗(yàn)的？
b.你們做實(shí)驗(yàn)的圓柱體和圓錐體在體積大小上發(fā)現(xiàn)有什么倍數(shù)關(guān)系？
(學(xué)生發(fā)言：圓柱體的體積是圓錐體體積的3倍)
同學(xué)們得出這個結(jié)論非常重要，其他組也是這樣的嗎？
我們學(xué)過用字母表示數(shù)，誰來把這個公式整理一下？(指名發(fā)言)
（4）學(xué)生操作：出示另外一組大小不同的圓柱體和圓錐體進(jìn)行體積大小的比較，通過比較你發(fā)現(xiàn)什么？
學(xué)生回答后，教師整理歸納：不是任何一個圓錐體的體積都是任何一個圓柱體體積的。(老師拿起一個小圓錐、一個大圓柱)如果老師把這個大圓錐體里裝滿了水，往這個小圓柱體里倒，倒三次能倒?jié)M嗎？(不能)
為什么你們做實(shí)驗(yàn)的圓錐體里裝滿了水往圓柱體里倒，倒三次能倒?jié)M呢？(因?yàn)槭堑鹊椎雀叩膱A柱體和圓錐體。)
呢？(在等底等高的情況下。)
(老師在體積公式與“等底等高”四個字上連線。)
現(xiàn)在我們得到的這個結(jié)論就更完整了。(指名反復(fù)敘述公式。)
今后我們求圓錐體體積就用這種方法來計(jì)算。
(三)鞏固反饋
1．口答。填空：
v(立方米)
v（立方米）
60
52
126
4.5
2．出示例題學(xué)生讀題，理解題意，自己解決問題。
例一個圓錐形的零件，底面積是19平方厘米，高是12厘米，這個零件的體積是多少？
A學(xué)生完成后，進(jìn)行小組交流。
你是怎樣想的和怎樣解決問題。（提問學(xué)生多人）
C教師板書:
×19×12=76（立方厘米）
答：它的體積是76立方米
3．練習(xí)題。
一個圓錐體，半徑為6cm，高為18cm。體積是多少？(學(xué)生在黑板上只列式，反饋。)
4、出示例2：要求學(xué)生自己讀題，理解題意思。
在打谷場上，有一個近似于圓錐形的小麥堆/！/，測得底面直徑是4米，高是1.2米，每立方米小麥約重735千克，這堆小麥約有多少千克？（得數(shù)保留整千克）
（1）提問：從題目中你知道什么？
（2）學(xué)生獨(dú)立完成后教師提問。并回答同學(xué)的質(zhì)疑：3.14×（）×1.2×表示什么？為什么要先求圓錐的體積？得數(shù)保留整千克數(shù)是什么意思？….
5、比較：例1和例2有什么地方不同？
（1）直接告訴了我們底面積，而（2）沒有直接告訴，要求我們先求出底面積，再求出圓錐體積；（2）例1是直接求體積，例2是求出體積后再求重量。
我們已經(jīng)學(xué)會了求圓錐體的體積，現(xiàn)在我們來解決有關(guān)圓錐體體積的問題。
四、鞏固練習(xí)：
1、一個圓錐形沙堆，高是1.5米，底面半徑是2米，每立方米沙重1.8噸。這堆沙約重多少噸？
2、選擇題。每道題下面有3個答案，你認(rèn)為哪個答案正確就用手指數(shù)表示。。
(1)一個圓錐體的體積是a立方米，和它等底等高的圓柱體體積是(
)
⑴立方米②3a立方米③9立方米
(2)把一段圓鋼切削成一個最大的圓錐體，圓柱體體積是6立方米，圓錐體體積是(
)立方米
（1）6立方米（2）3立方米（3）2立方米
2、學(xué)生操作：
看看我們的教室是什么體？(長方體)
要在我們的教室里放一個盡可能大的圓錐體，想一想，怎樣放體積最大？(小組討論)
（1）學(xué)生在動手操作與小組交流等學(xué)習(xí)活動中，理解并掌握圓錐的體積計(jì)算公式，并能解決有關(guān)圓錐體積的簡單實(shí)際問題。
（2）經(jīng)歷圓錐體積的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、動手操作、分析歸納等能力。
（3）在猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、推理等過程中滲透恒等、模型等數(shù)學(xué)思想和實(shí)踐第一的辯證唯物主義思想，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。
（4）通過小組實(shí)驗(yàn)操作，匯報交流，分享成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。
教學(xué)重點(diǎn)：理解圓錐體積的計(jì)算公式，能運(yùn)用公式解決實(shí)際問題。
教學(xué)難點(diǎn)：圓錐體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程及圓錐體積等于等底等高的圓柱體積的三分之一的理解。
教學(xué)具準(zhǔn)備：
多媒體課件、等底等高的圓柱和圓錐、河沙、提水桶裝水、實(shí)驗(yàn)報告單等。
教學(xué)過程：
一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知
1.復(fù)習(xí)舊知
師：孩子們，今天老師帶了兩個可愛的朋友想與大家一起學(xué)習(xí)，你們也歡迎它們嗎？（出示圓柱的圖片）看看，認(rèn)識它嗎？你了解圓柱嗎？都知道些什么呢？
學(xué)生暢談有關(guān)圓柱的知識。
師：孩子們對圓柱真是太熟悉了。那這個朋友呢？（出示圓錐圖片）你又了解了些什么？
學(xué)生大膽交流有關(guān)圓錐的知識。
師：孩子們真是太棒了，把鼓勵的掌聲送給自己！
2.引入新知
師：孩子們喜歡上手工課嗎？用橡皮泥做過學(xué)具嗎？看看在一節(jié)手工課上發(fā)生了什么？在一節(jié)手工課上，小紅和小芳用橡皮泥做學(xué)具。小紅做了一個底面積為15平方厘米，高為6厘米的圓柱；小芳做了一個底面積為15平方厘米，高為18厘米的圓錐。小紅說：“你做這么高，用的橡皮泥太多了。”小芳說：“你的圓柱要粗的多，用的橡皮泥更多”她們倆究竟誰用的橡皮泥多呢？學(xué)生猜猜看。
師：要比較她們倆誰用的橡皮泥多，可以通過計(jì)算圓柱圓錐的什么來判斷？
生：體積。
圓柱的體積等于什么？（底面積乘以高），那圓錐的體積也等于底面積乘以高嗎？究竟該怎樣計(jì)算圓錐的體積？這節(jié)課我們一起來研究圓錐體積的計(jì)算方法。
揭示課題：圓錐的體積
二、小組操作，探究新知
1.提出猜想，大膽質(zhì)疑
師：大家猜猜看，圓錐的體積與我們以前學(xué)過的哪種形體的體積有關(guān)？
2.小組合作，動手實(shí)驗(yàn)
師：圓錐的體積和圓柱的體積之間究竟有沒有關(guān)系呢？如果有關(guān)系的話，它們之間又是一種什么關(guān)系？通過什么辦法才能找到它們之間的關(guān)系呢？帶著這些問題，請同學(xué)們分組研究，通過實(shí)驗(yàn)尋找答案。
在小組探究前，請看清要求：（多媒體出示）
1.六人小組的成員必須分工合作（實(shí)驗(yàn)員，填表員，匯報員各司其職），利用提供的器材共同想辦法解決問題，找出圓錐的體積的計(jì)算方法。
2.根據(jù)小組研究的方法填寫實(shí)驗(yàn)報告單。
溫馨提示：裝沙的時候，輕輕的把圓錐裝滿即可，用尺子水平的將多余的沙子輕輕刮掉，再輕輕的倒入圓柱。裝水注意裝滿。
師：明白了嗎？請?jiān)诮M長的帶領(lǐng)下，開始行動吧！
附：（ ）組的實(shí)驗(yàn)報告單
記錄人：
實(shí)驗(yàn)方法：我們組是用的是空心圓錐裝（）的方法實(shí)驗(yàn)的。
實(shí)驗(yàn)步驟：
（1）用等底等高的（ ）裝滿（ ）倒入（ ）中。
（2）我們組共倒了（ ）次，正好裝滿。
（3）我們的發(fā)現(xiàn)：用等底等高的（）裝滿（）倒入（）中，（）次剛好能裝滿。
實(shí)驗(yàn)結(jié)論：圓錐的體積等于等底等高的（）體積的（）
學(xué)生小組合作探究，教師巡視指導(dǎo)，參與學(xué)生的活動。
3.展示匯報，導(dǎo)出新知
師：哪個小組來交流你們的實(shí)驗(yàn)方法和結(jié)果？
至少抽三個小組匯報，老師注意引導(dǎo)組員補(bǔ)充與教師的跟進(jìn)。
結(jié)合學(xué)生的交流，師板書：圓錐的體積等于等底等高的圓柱的體積的[13]。反過來說，圓柱的體積等于等底等高的圓錐體積的3倍。
4.公式推導(dǎo)，理解新知
師：圓錐的體積=圓柱體積的[13]，如果用字母v錐表示圓錐的體積，圓柱的體積用v柱表示，則v錐=[13]v柱，而圓柱的體積v柱=sh，所以v錐=[13] sh。公式中的s表示什么，h表示什么？圓錐的底面是什么形狀？怎樣計(jì)算它的底面積？所以圓錐的體積公式還可以怎樣表示？
v錐=[13]π[r2]h學(xué)生齊讀公式，并記住公式。
5.實(shí)驗(yàn)質(zhì)疑，拓展新知
師 ：是不是所有的圓錐的體積都是圓柱體積的三分之一呢？我們來做個實(shí)驗(yàn)。
師請兩個學(xué)生做實(shí)驗(yàn)演示：用兩個等底不等高的圓柱和圓錐裝水，結(jié)果沒有得到圓錐體積是圓柱體積的三分之一，讓學(xué)生進(jìn)一步體會等底等高的含義。
6.問題解決，應(yīng)用新知
孩子們能用我們自己研究的成果來解決問題嗎？
出示例1：一個鉛錘高6厘米，底面半徑4厘米。這個鉛錘的體積是多少立方厘米？
孩子們默讀題目后問：能獨(dú)立解答嗎？學(xué)生獨(dú)立解答后抽學(xué)生的作業(yè)展示匯報。
三、拓展應(yīng)用，鞏固新知
1.填一填
（1）圓柱的體積字母公式是（），圓錐的體積字母公式是（）。
（2）等底等高的圓柱的體積是圓錐的體積的（）倍。
（3）圓錐的底面積是15平方米，高9米，體積是（）。與它等底等高的圓柱的體積是（）立方米
2.教科書第42頁第一題。（課件出示）
學(xué)生獨(dú)立解答，集體訂正。
3.剛才小紅和小芳的爭議，同學(xué)們能幫她們解決了嗎？誰用的橡皮泥多？
中圖分類號：G623 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A
深度學(xué)習(xí)是相對于淺層學(xué)習(xí)所提出的一個概念，是一種基于理解的學(xué)習(xí)，它強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者要批叛地學(xué)習(xí)新知識，把它們納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而幫助決策，解決問題。深度學(xué)習(xí)鼓勵學(xué)生積極地探索、反思和創(chuàng)造。與淺層學(xué)習(xí)相比，它凸顯了學(xué)生由被動學(xué)習(xí)向主動學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)化，關(guān)注了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，解決問題的能力。下面，結(jié)合《圓錐的體積》一課的教學(xué)，談?wù)劷處熑绾我龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。
1激發(fā)學(xué)生主動探究的欲望
贊可夫說過：“單純地聽教師講解，不能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的精神力量?！苯處煹闹鲗?dǎo)作用就在于激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情，促使其積極主動地探索知識。所以，上課伊始，教師可以利用新舊知識的連接點(diǎn)激發(fā)學(xué)生對圓錐體積探索的興趣：（1）讓學(xué)生說說長方體、正方體、圓柱體積的計(jì)算方法。因這三個物體的體積都可以用底面積乘高來進(jìn)行計(jì)算，這個問題為下面學(xué)生的猜想作了鋪墊。（2）讓學(xué)生猜想：怎樣計(jì)算圓錐的體積？學(xué)生很自然地想到用“底面積乘高”的方法來計(jì)算。但有的同學(xué)提出了質(zhì)疑：底面積乘高是計(jì)算圓柱體積的，很明顯，圓錐體積不能用同樣的方法來計(jì)算。（3）在學(xué)生的討論中，新的問題油然而生：那么怎樣計(jì)算圓錐的體積？圓錐的體積與圓柱的體積有什么關(guān)系呢？這幾個問題激發(fā)了學(xué)生探究的興趣，學(xué)生有了問題才會有探索，只有主動探索，才會有創(chuàng)造。
2引導(dǎo)學(xué)生真正參與探究過程
利用學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，組織學(xué)生研究是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的良好方式，但在課堂上往往受時空的限制，有時很難有效地完成，要么蜻蜓點(diǎn)水，要么變成個別同學(xué)的研究。對于圓錐體積的計(jì)算方法，在課堂教學(xué)中，很多老師常常是拿來一個圓柱容器、一個與圓柱容器等底、等高的圓錐形容器，老師演示：往圓錐容器中裝水或者谷粒，裝滿后倒入圓柱容器中，讓學(xué)生仔細(xì)觀察幾次能裝滿。老師裝完，學(xué)生也數(shù)完，需三次才能裝滿，于是師生共同得出結(jié)論：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一。從課堂教學(xué)來看，只是老師在做，學(xué)生在看，學(xué)生只是一個旁觀者，沒有參與到研究的過程中去，這種學(xué)習(xí)是機(jī)械地、被動地，是一種淺層的學(xué)習(xí)。
蘇霍姆林斯基說過：“在的人內(nèi)心深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者，研究者、探索者，而在兒童的精神世界中這種需要特別強(qiáng)烈。”只有讓每個孩子都動起來，在動手做的過程中，引發(fā)思考、啟迪思維，學(xué)生才會進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。
我們可以設(shè)計(jì)這樣的探究活動：
2.1課前制作容器
課前讓學(xué)生用硬紙板制作一個圓柱容器，再做與這個圓柱等底等高、等高不等底、等底不等高，不等底不等高的圓錐容器各一個。別小看這簡單的制作活動，在制作容器的過程中，學(xué)生需要測量、計(jì)算、剪、粘，在動手、動腦的過程中，對圓錐、圓柱的底面積和高又加深了認(rèn)識，對“等底等高”這個概念有了深入的認(rèn)識，為新課的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。
2.2課堂演示操作
課堂上以小組為單位，讓每個學(xué)生都親自動手操作：用各種圓錐容器為測量工具，往圓柱容器中裝谷粒，記錄下裝滿的次數(shù)，并填好表格。
將與圓柱與關(guān)的四種圓錐羅列出來，讓學(xué)生分別都動手做一做，旨在讓學(xué)生明確“與圓柱等底等高”這一前提的唯一性。
2.3組織學(xué)生交流
操作完成后組織學(xué)生交流各組操作后的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生從自己小組里的信息可發(fā)現(xiàn)，只有與圓柱等底等高的圓錐需3次才能將圓柱容器裝滿，而其它的次數(shù)各不相同，這是不是偶然現(xiàn)象呢？教師再匯總?cè)喔餍〗M的數(shù)據(jù)讓學(xué)生觀察并思考：觀察表中數(shù)據(jù)，會發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：所有組與圓柱等底等高的圓錐都需要3次才能將圓柱裝滿，而其它圓錐裝的次數(shù)各不相同。
這樣在課堂上組織學(xué)生交流分享，碰撞研究火花，學(xué)生在獨(dú)立研究的基礎(chǔ)上，與同伴在共贏共進(jìn)中進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。
2.4啟發(fā)思考，得出結(jié)論
引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？圓錐體積和什么樣的圓柱體積有關(guān)系呢？有什么關(guān)系呢？怎樣計(jì)算圓錐的體積呢？學(xué)生從交流中自己會發(fā)現(xiàn)：圓錐體積只和與它等底等高的圓柱體積有關(guān)系，而且總是這樣圓柱體積的三分之一，于是利用圓柱的體積公式推導(dǎo)出：圓錐的體積=底面積贅?。?/p>
學(xué)習(xí)情境的真實(shí)展現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)過程的真實(shí)展開，是學(xué)生自我建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)的必備條件，只有真正經(jīng)歷用已有數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，不斷解決新問題的過程，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)才有生命力。
【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）33-0070-02
【作者簡介】1.張?jiān)?，江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒實(shí)驗(yàn)學(xué)校（江蘇鎮(zhèn)江，212028）副校長，高級教師，江蘇省優(yōu)秀教育工作者；2.朱君，江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒實(shí)驗(yàn)學(xué)校（江蘇鎮(zhèn)江，212028）教師，一級教師，鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)骨干教師。
每個學(xué)科都有自己獨(dú)特的美，語文有人文之美，音樂有節(jié)奏之美，美術(shù)有意境之美，而數(shù)學(xué)則應(yīng)閃爍著“理性”之美。
前不久，筆者曾觀摩一位教師執(zhí)教的蘇教版六下《圓錐的體積》一課，基本環(huán)節(jié)是：回顧鋪墊，通過復(fù)習(xí)圓柱的知識、觸摸立體圖形等活動，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)新知識的情境；提出問題，通過觸摸新事物，使學(xué)生產(chǎn)生問題，然后教師出示本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)；觀察實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系，得出圓錐體積的計(jì)算方法；鞏固練習(xí)，師生共同總結(jié)。教者的基本功扎實(shí)，課件設(shè)計(jì)得精美、巧妙，教學(xué)過程如下：
師：請同學(xué)們拿出一個圓柱與圓錐，看看它們有什么關(guān)系。
生：等底等高。
師：這組等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積相等嗎？你能看出這個圓錐的體積是這個與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾嗎？
生：體積不相等，圓錐體積大致是與它等底等高的圓柱體積的二分之一或三分之一。
師：到底是幾分之幾呢？下面我們來做一個實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證一下。
接著教師在課件上演示：一個圓錐裝滿了水向一個等底等高的圓柱里倒，連續(xù)倒了三次剛好倒?jié)M。
師：通過觀察上面的實(shí)驗(yàn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生：圓錐體積是和它等底等高的圓柱體積的三分之一。
教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)書本上的實(shí)驗(yàn)以及公式推導(dǎo)的過程，鞏固所學(xué)知識，同時體會探究問題的，鼓勵學(xué)生繼續(xù)探索。
【困惑】
一節(jié)課上得很熱鬧，學(xué)生看著制作精美的多媒體課件，學(xué)習(xí)熱情高漲。但聽完課后，不由得讓筆者疑惑：
這是一堂數(shù)學(xué)課還是觀影課？這節(jié)課最重要的環(huán)節(jié)“通過研究圓錐與同它等底等高的圓柱的關(guān)系，推導(dǎo)圓錐體體積的計(jì)算公式”，學(xué)生沒有親身實(shí)驗(yàn)，而是觀看多媒體課件。這節(jié)課更像是一節(jié)觀影課。
課件演示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否真實(shí)可信？有課件制作常識的人都知道，“一個圓錐裝滿了水向一個與其等底等高的圓柱里倒，連續(xù)倒了三次剛好倒?jié)M”可能是教師刻意制作的結(jié)果。對學(xué)生而言，這樣的教學(xué)缺少動手操作和理性思考的過程。
基于以上兩點(diǎn)感受，筆者認(rèn)為現(xiàn)代教育媒體雖然給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了諸多方便，將原本枯燥、抽象的數(shù)學(xué)變成了形象、具體、富有動感的數(shù)學(xué)，大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。但是，如果教師過于依賴多媒體，學(xué)生的探究能力和提出問題、分析問題、理性思考的能力都將無法得到提高。
如何提高學(xué)生的綜合能力，打造高效的數(shù)學(xué)課堂，彰顯數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)價值？為了回答這個問題，同樣教學(xué)“圓錐的體積推導(dǎo)”這一內(nèi)容，筆者設(shè)計(jì)了如下教學(xué)環(huán)節(jié)：
1.明確為什么要做實(shí)驗(yàn)。
師：你們已經(jīng)會求圓柱的體積了，如果讓你求圓錐的體積，你會求嗎？你有什么方法？說出來交流一下。
生1：可以將這個圓錐裝滿水，倒到量杯里量一量，就知道它的體積了。
師：你真聰明，但這樣做求出來的是容積。
生2：如果圓錐不是空的怎么辦？所以我覺得可以把它放到一個量杯里，溢出來的水的體積就是圓錐的體積。
生3：有那么大的杯子?？諒T椒ǘ疾恍小N頤且找到一個計(jì)算公式。只要知道圓錐的高和底面積，就可以求出圓錐的體積。
生4：用底面積乘以高嗎？那不是圓柱的體積計(jì)算公式嗎？
生5：我想三角形和平行四邊形有關(guān)系。圓柱和圓錐是不是也有關(guān)系呢？它們的體積是不是也存在著幾分之幾的關(guān)系呢？
師：那怎么辦呢？
生：可以用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證！找等底等高的圓柱和圓錐，看看它們的體積存在著怎樣的關(guān)系？
2.明確為什么要找等底等高的圓柱和圓錐。 師：為什么要找等底等高的圓柱和圓錐來做實(shí)驗(yàn)?zāi)?？不是等底等高就不行嗎?/p>
生：那樣研究出來也沒有什么意義呀，不能推導(dǎo)出一般的計(jì)算公式。
3.明確實(shí)驗(yàn)步驟和相關(guān)注意點(diǎn)。
師：那如何來實(shí)驗(yàn)?zāi)兀?/p>
生：我們可以將圓錐裝滿米，倒入圓柱中，看看需要倒幾次；也可以將圓柱裝滿米，倒入圓錐中，看看需要倒幾次。
師：我們做實(shí)驗(yàn)時要注意什么？
生：實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性。如：米要裝滿，刮平，倒時不漏到外面等。
【反思】
1.用數(shù)學(xué)的思維方式組織教學(xué)。
學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是什么？筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的至少包括：第一，理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，為學(xué)習(xí)更高層次的數(shù)學(xué)知識打好基礎(chǔ)；第二，解決實(shí)際生活中的一些問題，從而更好地為學(xué)生的生活服務(wù)；第三，通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式、創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力，同時使學(xué)生的情感、態(tài)度與價值觀得到發(fā)展。在這三條中，筆者認(rèn)為最核心的就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，促使學(xué)生進(jìn)行理性的思考。數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)課區(qū)別于其他學(xué)科課程的顯著特征之一便是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。圓錐體積計(jì)算公式的推導(dǎo)不應(yīng)牽著學(xué)生的鼻子走，而應(yīng)讓學(xué)生明白為什么這樣做，這樣做的目的是什么。那么，如何使學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)分析問題、思考問題，使其思維走向深刻、理性呢？教師在教學(xué)時應(yīng)及時捕捉課堂生成資源，激發(fā)學(xué)生思考的欲望，促進(jìn)其思維的發(fā)展，使數(shù)學(xué)課多一些“數(shù)學(xué)味”。
2.把思考的主動權(quán)交給學(xué)生。
兒童的智慧在他的指尖上。加強(qiáng)動手操作能力的培養(yǎng)，是幫助學(xué)生解決問題的捷徑。放手讓學(xué)生在有限的時間里多動手、多思考、多實(shí)踐，成為真正的探索者，才能切實(shí)提高課堂教學(xué)效率，提高學(xué)生的綜合能力。教師不應(yīng)低估學(xué)生的潛能，而應(yīng)把思考的主動權(quán)交給學(xué)生，由學(xué)生按照自己的想法動手實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論。
