首頁(yè) > 優(yōu)秀范文 > 函數(shù)最值的應(yīng)用
時(shí)間：2023-06-02 09:03:27
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中圖分類號(hào)：F12 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2014）31-0005-02
一、二元函數(shù)的最大值與最小值
求函數(shù)f（x，y）的最大值和最小值的一般步驟為：
（1）求函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值;（2）求f（x，y）在D的邊界上的最大值和最小值;（3）將前兩步得到的所有函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。
在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的內(nèi)部取得，而函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f（x，y）在D上的最大值（最小值）。
二、二元函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用
例1 設(shè)q1為商品A的需求量，q2為商品B的需求量，其需求函數(shù)分別為q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，總成本函數(shù)為C=3q1+2q2，其中p1，p2為商品A和B的價(jià)格，試問價(jià)格p1，p2取何值時(shí)可使利潤(rùn)最大？
解 按題意，總收益函數(shù)為：
R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）
于是總利潤(rùn)函數(shù)為
L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）
=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）
為使總利潤(rùn)最大，求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：
=14-4p1+8p2=0
=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）
=28+8p1-20p2=0
由此解得p1=63/2，p2=14，又因
（L"xy）2-L"xx?L"yy=82-（-4）（-20）<0
故取p1=63/2，p2=14價(jià)格時(shí)利潤(rùn)可達(dá)最大，而此時(shí)得產(chǎn)量為q1=9，q2=6。
例2 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有個(gè)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型f（x，y）=
cxαy1-α，式中x代表勞動(dòng)力的數(shù)量，y為資本數(shù)量（確切地說是y個(gè)單位資本），c與α（0<α<1）是常數(shù)，由各工廠的具體情形而定，函數(shù)值表示生產(chǎn)量，現(xiàn)在已知某制造商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)是f（x，y）=100x3/4y1/4每個(gè)勞動(dòng)力與每單位資本的成本分別是150元及250元，該制造商的總預(yù)算是50 000元，問他該如何分配這筆錢用于雇用勞動(dòng)力與資本，以使生產(chǎn)量最高。
解 這是個(gè)條件極值問題，求函數(shù)f（x，y）=100x3/4y1/4在條件150x+250y=5 000下的最大值。
令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程組
Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0
中的第一個(gè)方程解得λ=x-1/4y1/4，將其代入第二個(gè)方程中，得
25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0
在該式兩邊同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。將此結(jié)果代入方程組的第三個(gè)方程得x=250，y=50，即該制造商應(yīng)該雇用250個(gè)勞動(dòng)力而把其余的部分作為資本投入，這時(shí)可獲得最大產(chǎn)量f（250，50）=16 719。
例3 設(shè)銷售收入R（單位：萬元）與花費(fèi)在兩種廣告宣傳的費(fèi)用x，y（單位：萬元）之間的關(guān)系為
利潤(rùn)額相當(dāng)于五分之一的銷售收入，并要扣除廣告費(fèi)用.已知廣告費(fèi)用總預(yù)算金是25萬元，試問如何分配兩種廣告費(fèi)用使利潤(rùn)最大？
解 設(shè)利潤(rùn)為z，有
限制條件為x+y=25，這是條件極值問題，令
L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）
從而
Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0
整理得
（5+x）2=（10+y）2
又y=25-x，解x=15，y=10。根據(jù)問題本身的意義及駐點(diǎn)的唯一性即知，當(dāng)投入兩種廣告的費(fèi)用分別為15萬元和10萬元時(shí)，可使利潤(rùn)最大。
例4 設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c，每臺(tái)電視機(jī)的銷售價(jià)格為p，銷售量為x。假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售量x與銷售價(jià)格為p之間有下面的關(guān)系：
x=Me-ap （M>0，a>0） （1）
其中M為市場(chǎng)最大需求量，a是價(jià)格系數(shù)。同時(shí)，生產(chǎn)部門根據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對(duì)每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本c有如下測(cè)算：
c=c0-klnx （k>0，x>1） （2）
其中c0是只生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)時(shí)的成本，k是規(guī)模系數(shù)，根據(jù)上述條件，應(yīng)如何確定電視機(jī)的售價(jià)p，才能使該廠獲得最大利潤(rùn)？
解 設(shè)廠家獲得的利潤(rùn)為u，每臺(tái)電視機(jī)售價(jià)為p，每臺(tái)生產(chǎn)成本為c，銷售量x，則u=（p-c）x。
于是問題化為利潤(rùn)函數(shù)u=（p-c）x在附加條件（1）、（2） 下的極值問題。
利用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日函數(shù)：
L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）
令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0
將（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）
由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）
由Lc=0知x=μ，即x/μ=1
將（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得
p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0
由此得p*=
由問題本身可知最優(yōu)價(jià)格必定存在，故這個(gè)p*就是電視機(jī)的最優(yōu)價(jià)格。
1. 當(dāng)x>0時(shí)，在區(qū)間（0，■]上是減函數(shù)；在區(qū)間[■，+∞）上是增函數(shù).在x=■時(shí)，有最小值2■.當(dāng)且僅當(dāng)x=■，即x=■時(shí)，f（x） ■=2■.
2. 當(dāng)x
3. 當(dāng)x>0時(shí)
① 若x∈（0，m]，當(dāng)m■時(shí)，則f（x） ■=2■.
②若x∈[m，+∞），當(dāng)m■時(shí)，則f（x） ■=■.
4. 當(dāng)x
① 若x∈（-∞，m]，當(dāng)m-■時(shí)，則f（x） ■=-2■.
② 若x∈[m，0），當(dāng)m-■時(shí)，則f（x） ■=■.
例1：求y=x+■（x≠0）的最值
分析：當(dāng)x>0時(shí)，y=x+■有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=■時(shí)，即x=1時(shí)，y■=2；當(dāng)x
解：當(dāng)x>0時(shí)，且x=■時(shí)，即x=1時(shí)，y■=f（1）=2；當(dāng)x
例2：求y=■的最值
分析：■=■=■+■，且■≥■>0，故當(dāng)且僅當(dāng)■=■，即x=±1時(shí)，有最小值2■.
解：方法1： ■=■=■+■，且■≥■>0，■=■，即x=±1時(shí)，y■=f（±1）=2■.
方法2：■=■=■+■，令■=t（t≥■），y=■+t（t≥■），當(dāng)■=t，即t=■時(shí)，當(dāng)t∈[■， ■]時(shí)，f（t）是單調(diào)減函數(shù).當(dāng)t∈[■，+∞]時(shí)，f（t）是單調(diào)增函數(shù).故當(dāng)■=t，即t=■時(shí)，y■=f（t） ■=f（■）=2■.
例3：擬造一底面積為64平方米，底面為矩形，高為2米的長(zhǎng)方體水箱.由于受到空間的限制，底面的長(zhǎng)、寬都不能超過10米若造價(jià)是每平方米20元（鐵皮的厚度不計(jì)）.求解下列問題：
① 試設(shè)計(jì)水箱的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià).
② 若水箱被隔成七個(gè)體積相等的長(zhǎng)方體，求出最低造價(jià).
解：①設(shè)水箱的底面長(zhǎng)為x米，則寬為■米，又設(shè)總造價(jià)為y■元，則y■=20×2（64+2x+2×■）=2560+80（x+■）.
x>0，當(dāng)且僅當(dāng)x=■，即x=8時(shí)，y■=f（8）=3840.
又0
8∈[6.4，10]，而y=x+■在[6.4，8]上是單調(diào)減函數(shù)，在[8，10]上是單調(diào)增函數(shù)，y■=f（8）=3840，當(dāng)水箱的長(zhǎng)和寬都是8米時(shí)，造價(jià)最低，且最低造價(jià)是3840元.
②設(shè)水箱的底面長(zhǎng)為x米，則寬為■米，又設(shè)總造價(jià)為y■元，則y■=20×（2×64+2×2x×+2×8×■）=2560+（x+■）.當(dāng)x=■時(shí)，即x=16時(shí)，y■取最小值.
但6.4≤x≤10，16？埸[6.4，10]，y=x+■在[6.4，10]上是單調(diào)減函數(shù)，在[6.4，16）上亦為單調(diào)減函數(shù).
y■=f（10）=2560+80（10+■）=5408，當(dāng)y■=5408時(shí)，x=10，■=6.4.故水箱的長(zhǎng)為10米，寬為6.4米時(shí)造價(jià)最低，且最低造價(jià)為5408元.
參考文獻(xiàn)：
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形如“a≥f（x）”或“a≤f（x）”型不等式是恒成立問題中最基本的類型，它的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法是“a≥f（x）在x∈D上恒成立，則a≥
[f（x）]max（x∈D）；a≤f（x）在x∈D上恒成立，則a≤[f（x）]max（x∈D）”.許多復(fù)雜的恒成立問題最終都可歸結(jié)到這一類型中.
例題1（2012年陜西理科高考?jí)狠S題）
設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）.
（Ⅰ）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間 ，1內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)n=2，若對(duì)任意x1，x2∈[-1，1]有f2（x1）-f2（x2）≤4，求b的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)xn是fn（x）在 ，1內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列x2，x3…xn…的增減性。
解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略
（Ⅱ）當(dāng)n=2時(shí)，f2（x）=x2+bx+c，
對(duì)任意x1，x2∈[-1，1]都有f2（x1）-f2（x2）≤4等價(jià)于f2（x1）-f2（x2）max≤4.
即f2（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4.
當(dāng)- >1，即b>2時(shí)，M=f（1）-f（-1）=2b>4，與題設(shè)
矛盾.
當(dāng)-1≤- ≤0，即0
當(dāng)0≤- ≤1，即-2≤b≤0，M=f（-1）-f（- ）=（ -1）2≤4恒成立.
綜上所述，-2≤b≤2.
二、形如“？堝x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式
形如“？堝x∈D，a≤f（x）恒成立”問題可轉(zhuǎn)化為“a≤f（x）max”來
求解；
而形如“？堝x∈D，a≥f（x）恒成立”問題可轉(zhuǎn)化為“a≥f（x）min”來求解。
例題2（2013年重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考）
設(shè)f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.
若存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M.
解：由題意可知，存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，等價(jià)于：
[g（x1）-（x2）]max≥M，g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x- ）.
由上表可知，g（x）min=g =- ，g（x）max=g（2）=1
[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min= ，故滿足條件的最大整數(shù)M=4.
三、形如“？坌x1∈D，？坌x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式
該類問題可轉(zhuǎn)化為“f（x1）max-g（x2）min”來求解。
例題3（2013年重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考模擬試題）
設(shè)f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.
如果對(duì)任意的s，t∈[ ，2]都有f（x）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解：由題意，該問題可以轉(zhuǎn)化為：在區(qū)間[ ，2]上，f（x）min≥
g（x）max，
由例題3可知，g（x）的最大值為g（2）=1，
f（x）min≥1，又f（1）=a，a≥1
下面證明當(dāng)a≥1時(shí)，對(duì)任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立.
當(dāng)a≥1時(shí)，對(duì)任意x∈[ ，2]，f（x）= +xlnx≥ +xlnx，記h（x）= +xlnx h′（x）=- +lnx+1，h′（1）=0，
可知函數(shù)h（x）在[ ，2）上遞減，在區(qū)間[1，2]上遞增，h（x）min=
h（1）=1，即h（x）≥1.
所以當(dāng)a≥1時(shí)，對(duì)任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立，即對(duì)任意的s，t∈[ ，2]，都有f（s）≥g（t）成立.故a∈[1，+∞）所求.
四、形如“？坌x1∈D，？堝x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式
該類問題可轉(zhuǎn)化為“f（x1）max≤g（x2）min”來求解。
例題4（2013年南昌市高三文科第一次模擬題）
已知函數(shù)f（x）=ax2-blnx在點(diǎn)[1，f（1）]處的切線方程為y=3x-1.
（1）若f（x）在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若對(duì)任意x∈[0，+∞），均存在t∈[1，3]，使得 t3- t2+ct+ln2+ ≤f（x）試求實(shí)數(shù)c的取值范圍。
解：（1）略
（2）設(shè)g（t）= t3- t2+ct+ln2+ ，根據(jù)題意可知g（t）max≤
f（x）min .
由（1）知f（x）min=f（ ）= +ln2，g′（t）=t2-（c+1）t+c=（t-1）（t-c），
當(dāng)c≤1時(shí)，g′（t）≥0；g（t）在t∈[1，3]上單調(diào)遞增，g（t）min=g（1）= +ln2，滿足g（t）min≤f（x）min；
當(dāng)1
g（t）min=g（c）=- c3+ c2+ln2+ ，
由- c3+ c2+ln2+ ≤ +ln2得c3-3c2+2≥0，（c-1）（c2-2c-2）≥0，此時(shí)1+ ≤c
當(dāng)c≥3時(shí)，g′（t）≤0；g（t）在t∈[1，3]上單調(diào)遞減，g（t）min=
g（3）=- + +ln2.
g（3）=- + +ln2≤- + +ln2= +ln2.
綜上，c的取值范圍是（-∞，1]∪[1+ ，+∞）
五、反饋訓(xùn)練題
1.對(duì)于任意θ∈R，sinθ-2+sinθ-3≥a+ 恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________。
2.若對(duì)任意的a∈R，不等式，x+x-1≥1+a-1-a恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________。
3.（2010年山東理科14題）若對(duì)任意x>0， ≤a恒成立，則a的取值范圍是__________。
4.已知函數(shù)f（x）=x2-2x，g（x）=ax+2（a>0），對(duì)？坌x1∈[-1，2]，？堝x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x0），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（0，3] B. ，3 C.[3，+∞） D.（0， ]
[中圖分類號(hào)] R73 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-0742（2013）05（a）-0117-02
寒戰(zhàn)是麻醉蘇醒期常見并發(fā)癥，給患者帶來不適，影響患者預(yù)后。右美托咪啶為新型α2腎上腺素能受體激動(dòng)劑，具有獨(dú)特的鎮(zhèn)靜、鎮(zhèn)痛、抗應(yīng)激、抗寒戰(zhàn)等作用而無呼吸抑制，易喚醒的特點(diǎn)，在臨床上日益受到重視。右美托咪啶因其良好的鎮(zhèn)靜、鎮(zhèn)痛效果，可明顯減少丙泊酚及阿片類藥物的用量，從而改善麻醉后的復(fù)蘇，減少術(shù)后躁動(dòng)、寒戰(zhàn)、惡心嘔吐的發(fā)生[1]。該研究旨在觀察右美托咪啶輔助改善肺癌根治術(shù)麻醉后寒戰(zhàn)的臨床效果，以2010年2月―2012年2月期間的68例接受肺癌根治手機(jī)治療的患者為研究對(duì)象，現(xiàn)報(bào)道如下。
1 資料與方法
1.1 一般資料
選擇在該院接受肺癌根治術(shù)手術(shù)治療的68例患者作為研究對(duì)象，其中男38例，女30例，年齡51～68歲，體重47～78 kg，ASA分級(jí)為Ⅰ級(jí)和Ⅱ級(jí)。有以下情況者不記入觀察對(duì)象：過敏體質(zhì)；精神異常不能合作者；嚴(yán)重腎或肝臟疾病者；有心動(dòng)過緩和緩慢性心律失常者；有長(zhǎng)期使用血管活性藥，鎮(zhèn)靜，鎮(zhèn)痛藥史者；有神經(jīng)-肌肉系統(tǒng)疾病史者。入選的患者均自愿參加該研究，且與患者簽訂知情同意書，并獲得本院倫理委員會(huì)批準(zhǔn)。按照隨機(jī)數(shù)字表法將68例患者隨機(jī)分為研究組（右美托咪啶）和對(duì)照組（生理鹽水），每組各34例，兩組患者的年齡、性別、體重及ASA分級(jí)均差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P>0.05）。
1.2 方法
患者入室后常規(guī)監(jiān)測(cè)，開放靜脈通道。所有患者均采用靜吸復(fù)合全麻，依次給予咪唑安定0.05 mg/kg，芬太尼2～4 μg /kg，丙泊酚1～2 mg/kg，順式阿曲庫(kù)銨0.2 mg/kg，行快速靜脈誘導(dǎo)，氣管插管后機(jī)械通氣。對(duì)研究組患者在氣管插管之后給予右美托咪啶（國(guó)藥準(zhǔn)字H20090251）負(fù)荷量0.5 μg/（kg?h）靜脈輸注，10 min泵完，以0.3 μg/（kg?h）靜脈維持，手術(shù)結(jié)束前1 h停止用藥；對(duì)照組組給予生理鹽水泵注速度與方法同研究組。麻醉維持：吸入七氟醚0.6～1.0 MAC，靜脈持續(xù)泵注丙泊酚3～5 μg/（kg?h）、瑞芬太尼0.1～0.3 μg/（kg?h），間斷靜注順式阿曲庫(kù)銨0.1 mg/kg，術(shù)畢前45 min不再追加肌松藥。維持血流動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定，當(dāng)心率60次/min時(shí)，給予阿托品0.3 mg靜注。術(shù)中維持呼吸末二氧化碳分壓30～40 mmHg、BIS40-60。術(shù)畢拔除氣管導(dǎo)管后送麻醉恢復(fù)室觀察。對(duì)手術(shù)后1 h內(nèi)的寒戰(zhàn)情況進(jìn)行記錄分析。
1.3 觀察指標(biāo)
①記錄并比較兩組患者術(shù)中七氟醚用量、術(shù)中輸液量、術(shù)中使用阿托品和寒戰(zhàn)出現(xiàn)后曲馬多的補(bǔ)救性使用情況。②記錄并比較兩組患者術(shù)后1 h內(nèi)寒戰(zhàn)的發(fā)生情況，寒戰(zhàn)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：0級(jí)為手術(shù)后沒有寒戰(zhàn)，1級(jí)為面部或頸部輕微肌顫，2級(jí)為全身或者一個(gè)部位一組肌肉偶有肌顫但是全身沒有發(fā)生肌顫，3級(jí)為全身的任何一組肌群均發(fā)生肌顫。寒戰(zhàn)≥3級(jí)定義為寒戰(zhàn)發(fā)生，如寒戰(zhàn)發(fā)生追加曲馬多1 mg/kg。
1.4 統(tǒng)計(jì)方法
采用SPSS17.0統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件進(jìn)行該研究數(shù)據(jù)的處理分析，計(jì)量資料進(jìn)行t檢驗(yàn)，計(jì)數(shù)資料進(jìn)行χ2檢驗(yàn)。
2 結(jié)果
2.1 兩組患者的一般資料和術(shù)中情況各項(xiàng)指標(biāo)對(duì)比
由表1可知兩組患者的各一般資料、手術(shù)時(shí)間、術(shù)中輸液量及拔管時(shí)間比較差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義；而研究組的七氟醚用量和曲馬多使用率均較對(duì)照組明顯下降，而阿托品使用率則明顯上升，且差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（χ2或t=3.02、12.35、13.47，P
2.2 兩組患者術(shù)后寒戰(zhàn)程度比較
由表2可知研究組患者的術(shù)后寒戰(zhàn)發(fā)生率明顯低于對(duì)照組，且差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（χ2=14.23，P
3 討論
麻醉后寒戰(zhàn)（Postoperative shivering，PAS）發(fā)生率通常在5%～65%，是臨床麻醉的常見并發(fā)癥，是指病人在蘇醒期骨骼肌不能自主的收縮，會(huì)對(duì)清醒患者的心理和生理方面都產(chǎn)生不良影響[2]。目前PAS的發(fā)生機(jī)制尚不清楚，全麻患者寒戰(zhàn)多發(fā)生在蘇醒期，其原因可能是由于全麻藥抑制了下丘腦體溫調(diào)節(jié)中樞（PO/AH），干擾了中樞性體溫調(diào)節(jié)，使代謝率降低，產(chǎn)熱減少；加之多數(shù)麻藥有血管擴(kuò)張作用，致散熱增加[3]。PAS的易患因素包括低溫、心理因素、年齡、術(shù)中大量輸血輸液、應(yīng)用揮發(fā)性麻醉劑等。嚴(yán)重的寒戰(zhàn)反應(yīng)可增加機(jī)體氧耗，加重心肺負(fù)擔(dān)；增加眼內(nèi)壓、顱內(nèi)壓；加重術(shù)后切口疼痛；影響麻醉監(jiān)測(cè)效果； Kurz等認(rèn)為，導(dǎo)致寒戰(zhàn)的術(shù)后低體溫可增加術(shù)后切口感染率[4]。因此防止PAS的發(fā)生是全麻術(shù)后管理的重要一環(huán)。
在臨床中阿片類藥物（哌替啶等）、中樞興奮藥（多莎普倫等）、α2受體激動(dòng)劑（可樂定等）、曲馬多等多種藥物均可治療寒戰(zhàn)，但同時(shí)可能帶來不良反應(yīng)。右美托咪啶為一種新型高選擇性α2腎上腺素能受體激動(dòng)劑，能作用于腦和脊髓的α2腎上腺素能受體，抑制神經(jīng)元放電，產(chǎn)生劑量依賴性鎮(zhèn)靜、鎮(zhèn)痛，抑制交感活性作用，但無呼吸抑制、易喚醒。與可樂定相比，具有更強(qiáng)的鎮(zhèn)靜、鎮(zhèn)痛及抗焦慮效應(yīng)。其α2受體的選擇性為α2∶α1為1620∶1，而可樂定α2∶α1為220∶1，分布半衰期為5 min，消除半衰期為2 h，可樂定為6～8 h，效價(jià)比可樂定高3倍。右美托咪啶能夠降低降低手術(shù)反應(yīng)引起的神經(jīng)內(nèi)分泌反應(yīng)，穩(wěn)定血流動(dòng)力學(xué)，并通過抑制大腦體溫調(diào)節(jié)中樞，降低寒戰(zhàn)閾值，在脊髓水平抑制體溫傳入信息，從而防止寒戰(zhàn)發(fā)生[5]。該研究結(jié)果顯示研究組的七氟醚用量和曲馬多使用率均較對(duì)照組明顯下降，阿托品使用率則明顯上升。研究組患者的術(shù)后寒戰(zhàn)發(fā)生率明顯低于對(duì)照組，提示右美托咪啶在預(yù)防全麻術(shù)后寒戰(zhàn)有良好效果。有相關(guān)研究表明，手術(shù)結(jié)束前靜脈注射右美托咪啶可降低腹部或矯形外科手術(shù)患者麻醉后寒戰(zhàn)的發(fā)生率[6]。該研究結(jié)果與之相符，不同的是該研究對(duì)象為肺癌根治術(shù)患者，患者均年齡偏大，開胸手術(shù)創(chuàng)傷大，手術(shù)時(shí)間長(zhǎng)。因肺癌根治術(shù)的特殊性，為了減少竇性心動(dòng)過緩的不良反應(yīng)和降低對(duì)術(shù)后蘇醒和拔管時(shí)間影響，該研究將右美托咪啶的維持量設(shè)定為0.3 μg/（kg?h）。該研究結(jié)果顯示研究組的七氟醚用量較對(duì)照組明顯下降，表明應(yīng)用右美托咪啶可以減少吸入麻醉劑的用量。另一項(xiàng)對(duì)擇期手術(shù)老年病人的研究表明[7]，右美托咪啶可減少七氟醚用量17%。右美托咪啶能夠抑制去甲狀腺素釋放，抑制交感神經(jīng)的活性，減少全麻藥用量[8]。
綜上所述，在肺癌根治術(shù)中輔助使用右美托咪啶可以有效降低患者麻醉后寒戰(zhàn)的發(fā)生率，為防治全麻術(shù)后寒戰(zhàn)提供一種新的藥物選擇。
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DOI：10.14163/ki.11-5547/r.2017.03.012
Hemostatic effect of carbazochrome sodium sulfonate injection in sleep apnea syndrome operation and its influence on anesthesia recovery period ZHANG Ai-rong， FAN Hong-mei. Department of Anesthesia， Hebei Cangzhou City People’s Hospital， Cangzhou 061000， China
【Abstract】 Objective To observe the hemostatic effect of carbazochrome sodium sulfonate injection in sleep apnea syndrome operation and its influence on anesthesia recovery period. Methods A total of 60 patients with sleep apnea syndrome operation were randomly divided into research group and control group， with 30 cases in each group. Both groups received operation in treating sleep apnea syndrome according to their symptoms. The research group received 100 ml （80 mg） carbazochrome sodium sulfonate injection by vein 30 min before operation， and another 100 ml （80 mg） carbazochrome sodium sulfonate injection by vein 2 h after operation， and the control group received 100 ml normal saline by vein. Observation and comparison were made on intraoperative bleeding volume， postoperative blood oozing volume， operation time， pulling out tracheal intubation time， oral blood oozing volume， time of leaving the recovery room and secondary surgery situation in two groups. Results The research group had better intraoperative bleeding volume， postoperative blood oozing volume， pulling out tracheal intubation time， oral blood oozing volume， and time of leaving the recovery room than those in the control group， and their difference had statistical significance （P0.05）. The research group had lower secondary surgery rate as 3.33% than 20.00% in the control group， and the difference had statistical significance （P
【Key words】 Sleep apnea syndrome； Carbazochrome sodium； Operation； Hemostatic； Tube drawing
鼾Y顧名思義即是打鼾， 多數(shù)的鼾癥患者除鼾聲過響外， 還存在不同程度的憋氣現(xiàn)象， 即所謂阻塞性睡眠呼吸暫停綜合征， 出現(xiàn)一系列缺氧癥狀， 易并發(fā)繼發(fā)性高血壓和心律失常， 有潛在致死的可能， 對(duì)健康危害甚大[1]。鼾癥的發(fā)病機(jī)制以咽阻塞為主， 所謂咽阻塞系指口咽部生理性異常引起的咽峽部左右徑狹小， 咽帆間隙前后徑縮短或舌根肥厚上抬使咽峽上下徑變小。生理性異常指組織結(jié)構(gòu)正常而表現(xiàn)出功能障礙而言， 如軟腭偏長(zhǎng)、懸雍垂過度下垂、咽后柱寬闊、咽壁黏膜下脂肪沉積、軟腭松弛和咽淋巴環(huán)肥大等。目前對(duì)于鼾癥已經(jīng)影響了生活質(zhì)量的患者一般采取腭咽成形術(shù)（palato-pharyngoplasty）[2]。而此種手術(shù)造成的創(chuàng)面容易出血和滲血， 手術(shù)時(shí)間一般在2.0～2.5 h左右， 一般止血的環(huán)節(jié)較困難， 本科采用卡絡(luò)磺鈉氯化鈉注射液手術(shù)前預(yù)防性應(yīng)用， 療效佳， 作用安全， 同時(shí)減少了術(shù)中及術(shù)后出血， 現(xiàn)總結(jié)如下。
1 資料與方法
1. 1 一般資料 選擇本院2014年6月～2016年6月在耳鼻喉住院的鼾癥患者60例， 術(shù)前凝血功能正常， 年齡20～50歲， 排除嚴(yán)重心腦血管疾病、嚴(yán)重肝腎功能疾病及出凝血異常者。將60例患者隨機(jī)分為對(duì)照組和研究組， 每組30例。對(duì)照組中男22例， 女8例， 平均年齡（33.1±7.8）歲；研究組中男23例， 女7例， 平均年齡（32.8±8.2）歲。兩組患者性別、年齡等一般資料比較差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P>0.05）， 具有可比性。
1. 2 方法 兩組患者依據(jù)病情需要均要接受手術(shù)治療。研究組在常規(guī)全身麻醉氣管插管后， 手術(shù)前30 min靜脈滴注卡絡(luò)磺鈉氯化鈉注射液100 ml（80 mg）， 手術(shù)結(jié)束后2 h再給予一次靜脈卡絡(luò)磺鈉氯化鈉注射液100 ml（80 mg）；對(duì)照組靜脈給予生理鹽水100 ml。兩組患者手術(shù)中常規(guī)監(jiān)測(cè)心電圖、脈搏氧、無創(chuàng)血壓及有創(chuàng)血壓。
1. 3 觀察指標(biāo) 記錄兩組患者術(shù)中出血量、術(shù)后滲血量、手術(shù)時(shí)間、拔出氣管插管時(shí)間、口腔滲血量、離開恢復(fù)室時(shí)間及二次手術(shù)情況， 并進(jìn)行組間比較。
1. 4 統(tǒng)計(jì)學(xué)方法 采用SPSS18.0統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件處理數(shù)據(jù)。計(jì)量資料以均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差（ x-±s）表示， 采用t檢驗(yàn)；計(jì)數(shù)資料以率（%）表示， 采用χ2檢驗(yàn)。P
2 結(jié)果
2. 1 兩組患者術(shù)中出血量、術(shù)后滲血量和手術(shù)時(shí)間對(duì)比 研究組術(shù)中出血量、術(shù)后滲血量均少于對(duì)照組， 差異均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P0.05）。見表1。
2. 2 兩組患者拔出氣管插管時(shí)間、口腔滲血量和離開恢復(fù)室時(shí)間對(duì)比 研究組拔出氣管插管時(shí)間、口腔滲血量、離開恢復(fù)室時(shí)間均優(yōu)于對(duì)照組， 差異均具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P
2. 3 兩組患者二次手術(shù)率對(duì)比 研究組二次手術(shù)率為3.33%， 明顯低于對(duì)照組的20.00%， 差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P
3 討論
鼾癥是臨床較常見的疾病類型， 發(fā)病機(jī)制以咽阻塞為主， 所謂咽阻塞系指口咽部生理性異常引起的咽峽部左右徑狹小， 咽帆間隙前后徑縮短或舌根肥厚上抬使咽峽上下徑變小。生理性異常指組織結(jié)構(gòu)正常而表現(xiàn)出功能障礙而言， 如軟腭偏長(zhǎng)、懸雍垂過度下垂、咽后柱寬闊、咽壁黏膜下脂肪沉積、軟腭松弛和咽淋巴環(huán)肥大等。多數(shù)的鼾癥患者除鼾聲過響外， 還存在不同程度的憋氣現(xiàn)象， 即所謂阻塞性睡眠呼吸暫停綜合征， 出現(xiàn)一系列缺氧癥狀， 易并發(fā)繼發(fā)性高血壓和心律失常， 有潛在致死的可能， 對(duì)健康危害甚大。不論是腭咽成形術(shù)或是懸雍垂腭咽成形術(shù)（uvulo-palatopharyngoplasty）， 其治療原則均為切除口咽部不重要的過剩組織， 擴(kuò)大咽帆（又名腭帆）間隙呼吸通道。
雖然這些手術(shù)方法的效果較好， 但術(shù)中的止血一直是在實(shí)施鼾癥手術(shù)中的巨大問題， 若沒有對(duì)患者起到及時(shí)有效的止血效果， 則會(huì)對(duì)治療效果造成重大影響， 甚至極有可能導(dǎo)致患者的身體受到更大的危害。因此對(duì)鼾癥患者實(shí)施手術(shù)治療時(shí)， 通過相關(guān)方法減少其術(shù)中出血非常重要。以往的止血方法是在手術(shù)中注意自身行為， 例如在手術(shù)前需察看咽腔寬暢程度， 有無滲血， 發(fā)音時(shí)軟腭能否貼近咽后壁。若咽后壁仍見縱形條索狀組織增厚者， 在咽后壁外側(cè)可作半圓形附加切口切除黏膜， 將內(nèi)側(cè)弧形切緣向外側(cè)移拉使與切緣外側(cè)黏膜縫合， 減少條索樣隆起。但這些方法并沒有藥物治療好， 而卡絡(luò)磺鈉就是這樣的藥物。在實(shí)際的起效過程中， 卡絡(luò)磺鈉能夠提升患者毛細(xì)血管對(duì)于自身?yè)p傷抵抗力， 并最終能夠?qū)γ?xì)血管的通透性進(jìn)行提升， 讓毛細(xì)血管的斷端重新回到毛細(xì)血管的斷端， 并起到止血效果[3-7]。這一效果相比傳統(tǒng)的止血方法明顯更佳。在常規(guī)的止血過程中， 小血管在受傷后會(huì)立即收縮， 若是破損不大， 甚至能夠直接讓血管封閉， 這種止血效果比較好， 但持續(xù)效果非常短。因此凝血開始成為了止血過程中的重要手段， 通過凝血的方式能夠起到更好的止血效果。但正常的凝血過程在時(shí)間上較長(zhǎng)， 并且其效果不佳， 因此使用促凝血藥物非常重要。促凝血藥物指的是能夠加快血液凝固， 或是降低毛細(xì)血管通透性的藥物， 在當(dāng)前得到了較好的使用。傳統(tǒng)凝血藥物為凝血酶、維生素K以及酚磺乙胺等藥物， 但這類藥物的副反應(yīng)非常大， 一些患者也無法耐受[8-11]。而卡絡(luò)磺鈉則能夠避免這些缺陷。卡絡(luò)磺鈉能夠增強(qiáng)毛細(xì)血管的通透性、彈性， 并能夠促進(jìn)毛細(xì)血管斷端的回縮， 明顯縮短出血時(shí)間， 因此能夠起到較好效果[12-15]。尤其是對(duì)于鼾癥手術(shù)而言， 使用卡絡(luò)磺鈉則能夠起到更好的止血效果。加上該種手術(shù)麻醉復(fù)蘇期的危險(xiǎn)性比如：全身麻醉拔管期誤吸、再次出血、窒息、再次手術(shù)等危險(xiǎn)情況， 使用該藥后減輕相關(guān)并發(fā)癥。但需要注意的是， 在實(shí)際的對(duì)患者服用卡絡(luò)磺鈉的治療時(shí)會(huì)有并發(fā)癥等出現(xiàn)。針對(duì)這一情況， 可對(duì)患者的身體狀況進(jìn)行分析， 并通過分析的結(jié)果為患者制定出不同的服藥計(jì)劃， 改善這一情況的出現(xiàn)。
本次研究結(jié)果顯示， 研究組術(shù)中出血量、術(shù)后滲血量、拔出氣管插管時(shí)間、口腔滲血量、離開恢復(fù)室時(shí)間均優(yōu)于對(duì)照組， 差異均具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P0.05）。研究組二次手術(shù)率明顯低于對(duì)照組， 差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P
總之， 卡絡(luò)磺鈉氯化鈉注射液在鼾癥手術(shù)中具有較好的止血效果， 可縮短拔管時(shí)間， 減少二次手術(shù)的幾率。
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一、函數(shù)最值的性質(zhì)
從函數(shù)的基本性質(zhì)出發(fā)來看，一些函數(shù)存在最值，有些函數(shù)卻不存在最值，比如一次函數(shù)以及正比例函數(shù)和反比例函數(shù)等不存在最值，但是二次函數(shù)以及三次函數(shù)等存在最值。在函數(shù)最值的求解過程中，對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行一次求導(dǎo)，使導(dǎo)函數(shù)的值為零的自由變量就是函數(shù)的極值點(diǎn)，換言之，就是導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就是函數(shù)的最大值或者是最小值。在對(duì)三次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)的過程中，導(dǎo)函數(shù)的根存在多種情況，對(duì)于無根的情況就是函數(shù)無最值，有重根以及異根的情況都是函數(shù)存在駐點(diǎn)，但是函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是最值點(diǎn)，所以，就需要在教學(xué)活動(dòng)中，對(duì)學(xué)生分辨極值點(diǎn)以及最值點(diǎn)的區(qū)別，并且在掌握了各種函數(shù)的基本性質(zhì)之后采用正確的方法對(duì)于函數(shù)的最值進(jìn)行求解。
二、常見函數(shù)的最值求解方法
1、對(duì)一元函數(shù)最值的求解
在對(duì)一元函數(shù)進(jìn)行最值求解的時(shí)候，要先對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)就是函數(shù)最值點(diǎn)。為此，要首先對(duì)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的求導(dǎo)方法進(jìn)行了解和掌握，函數(shù)如果在一點(diǎn)處連續(xù)，這是函數(shù)可導(dǎo)的前提條件，那么對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到的導(dǎo)函數(shù)的根就是一元函數(shù)的最值點(diǎn)。最對(duì)一元函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)過程中，首要的步驟就是要先求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得出了導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)以及不可導(dǎo)點(diǎn)之后，再將駐點(diǎn)以及不可到店導(dǎo)入函數(shù)中求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并且對(duì)于函數(shù)的定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值也要進(jìn)行求解，最后，再對(duì)于求解出駐點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值以及定義域端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行比較，大的值就是函數(shù)的最大值，小的函數(shù)值即為函數(shù)的最小值。經(jīng)典例題舉例說明：已知函數(shù)f （x）=ln（1+x）-x，求函數(shù)的最大值，首先要對(duì)f（x）求導(dǎo)得f'（x）=1/（1+x）-1，導(dǎo)函數(shù)的唯一根為x=0，則函數(shù)的最大值為f（0）=0。例2：若已知f（x）=x3-x，試求f （x）的最值，首先求出導(dǎo)函數(shù)的根，有-1、0、1，它們是f（x）的極點(diǎn)，然后得到函數(shù)的原函數(shù)的增減區(qū)間，f（x）的四個(gè)單調(diào)區(qū)間分別為減區(qū)間、增區(qū)間、減區(qū)間、增區(qū)間，比較三個(gè)極值的大小，得到最小值為-1/4+c。
2、對(duì)于二元函數(shù)的最值求解方法探討
（1）配方法
在對(duì)二元函數(shù)進(jìn)行最值求解的過程中，要首先對(duì)于二元函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征以及性質(zhì)進(jìn)行分析，除此之外，還要結(jié)合函數(shù)的特殊性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐浞?，使其能夠轉(zhuǎn)化成為一元函數(shù)來進(jìn)行求解，之后再利用函數(shù)的基本性質(zhì)，對(duì)于函數(shù)進(jìn)行相關(guān)的求解，比如函數(shù)的絕對(duì)值大于零或者是函數(shù)的平方大于等于零等處理方法進(jìn)行求解。相關(guān)例題說明：已知x-y2-2y+5=0，求x的最小值，首先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)x=y2+2y-5，然后將方程右邊進(jìn)行配方，得到y(tǒng)2+2y-5=（y+1）2-6 ≥ - 6，則x 最小值為- 6。例：求2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值，合并同類項(xiàng)得2x2-4xy+3y2-12y+13=2（x-y）2+3（y-2）2+1，當(dāng)x=y=2時(shí)，原函數(shù)的最小值為1。
（2）求導(dǎo)法
通過二元函數(shù)的性質(zhì)分析可以知道二元函數(shù)的極值在函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)以及駐點(diǎn)處，二元函數(shù)存在最值的充分條件為函數(shù)在連續(xù)并且存在極值，函數(shù)在抹點(diǎn)處取得極值的必要條件就是函數(shù)在某一點(diǎn)處存在二階偏導(dǎo)數(shù)，令函數(shù)對(duì)x的二階偏導(dǎo)數(shù)為A，對(duì)y的二階偏導(dǎo)數(shù)為B，對(duì)x、y的偏導(dǎo)數(shù)為C，若B2-AC小于0，并且A小于0，則該點(diǎn)處的函數(shù)值為極大值；若B2-AC小于0，并且A大于0，則該點(diǎn)處的函數(shù)值為極小值；若B2-AC小于0，則該點(diǎn)不是極值點(diǎn)，根據(jù)求出極值來得到最大值。
3、對(duì)于三角函數(shù)最值的求解方法探討
對(duì)于三角函數(shù)最值的求導(dǎo)是函數(shù)最值求導(dǎo)的重要組成部分，三角函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中國(guó)所占的比重視比較大的，所以在三角函數(shù)最值的求解方法的教學(xué)過程中，三角函數(shù)的教學(xué)課時(shí)比重是比較大的。對(duì)于三角函數(shù)的最值進(jìn)行求解，其實(shí)就是對(duì)于三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行最值的求導(dǎo)，這就需要學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)的基本知識(shí)進(jìn)行充分的了解和掌握之后才能夠?qū)ζ溥M(jìn)行靈活的求解。在解答三角函數(shù)的最值問題時(shí)，需要充分了解函數(shù)的定義域?qū)χ涤虻挠绊懞驼?、余弦的取值范圍，同時(shí)還要應(yīng)用二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值，像利用函數(shù)的正弦與余弦的平方和等于1等性質(zhì)。在剛剛學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，需要從基礎(chǔ)出發(fā)，避免計(jì)算量過大的題目，從基礎(chǔ)出發(fā)，加強(qiáng)三角工具的應(yīng)用意識(shí)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。
4、對(duì)于解析幾何中的最值求解問題
解析幾何中的最值問題是解析幾何綜合性問題的重要內(nèi)容之一，常以直線與圓、圓錐曲線等內(nèi)容為載體，綜合考查函數(shù)、不等式、三角等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，屬偏難問題。其常見方法首先有代數(shù)法，代數(shù)法就是先建立一個(gè)“目標(biāo)函數(shù)”，再根據(jù)其特點(diǎn)靈活運(yùn)用求函數(shù)最值的方法求得最值。其次就是幾何法，幾何法是借助圖形特征利用圓或圓錐曲線的定義及幾何性質(zhì)來求最值的一種方法。最值問題在數(shù)列和立體幾何應(yīng)用題等知識(shí)點(diǎn)中也有體現(xiàn)，但都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)或解析幾何形式的最值問題來予以解決，這里不一一細(xì)述了。對(duì)于解析幾何中的最值求解問題需要學(xué)生多進(jìn)行解題練習(xí)，對(duì)于多種題型的解題方法都要有很好的掌握，這樣才能夠做好解析幾何中的最值求解問題。
三、結(jié)束語(yǔ)
中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A？搖 文章編號(hào)：1674-9324（2014）07-0245-02
數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中可以說是“叱咤風(fēng)云”，具有深刻的內(nèi)涵與豐富的外延，在應(yīng)用中顯示出獨(dú)特的魅力和勢(shì)不可擋的滲透力.從近幾年新課標(biāo)高考來看，數(shù)列的考查逐漸趨向于簡(jiǎn)單化，但是數(shù)列求最值，卻成了高考命題的熱點(diǎn)，也成了聯(lián)系數(shù)列與函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式求解等知識(shí)交匯題型的紐帶.本文主要談?wù)剶?shù)列求最值的幾個(gè)常規(guī)解法，供讀者參考.
一、均值定理求數(shù)列中項(xiàng)的最值
例1 （2013屆閔行區(qū)二模）公差為d，各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列{an}中，若a1=1，an=73，則n+d的最小值等于（？搖？搖）.
解：Q a1=1，an=73，d=■，d+n=■+n=■+（n-1）+1，n=9時(shí)，n+d取最小值18.
點(diǎn)評(píng)：利用式子特征構(gòu)造均值定理應(yīng)用環(huán)境，適用于所求式子為齊次分式，或分子分母一、二次能分離的，可以構(gòu)造均值定理的數(shù)列求最值問題.
【變式1】設(shè)a1，a2，…，a2007均為正實(shí)數(shù)，且■+■+…+■=■，則a1a2…a2007的最小值是（？搖？搖） .
解：設(shè)xi=■，則ai=2?■，且■xi=1，所以a1a2…a2007 =22007?■?（x2+x3+…+x2007）?（x1+x3+…+x2007）…（x1+x2+…+x2006）≥22007?■?2006?■?2006?■…2006?■22007?20062007=40122007
二、函數(shù)性質(zhì)法求解數(shù)列最值
例2 （2013江蘇理14題）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5=■，a6+a7=3，則滿足a1+a2+L+an>a1a2Lan的最大正整數(shù)n的值為 .
解：a5=■，a6+a7=3，a5q+a5q2=3，q2+q-6=0，Qq>0， q=2，an=2n-6，Qa1+a2+a3+…+an>a1a2a3…an，2n-5-2-5>
2■，2n-5-2■>2-5>0，n-5>■， ■
解法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q，則q>0，根據(jù)題意得a5=a1q4=■a5+a7=a1q4（q+q2）=3，化簡(jiǎn)得q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍），a1=2-5，又QSn=■=2-5（2n-1-1）a1?a2?…?an=a1n?q1+2+3+…+n-1=（2-5）n2■，又Qa1+a2+…+an>a1?a2?…?an，所以2n-1-1>2■，將n=1，2，3，…帶入驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)n≥13時(shí)上述不等式成立.故n取最大整數(shù)12.
點(diǎn)評(píng)：數(shù)列是特殊的函數(shù)，若其通項(xiàng)或前n項(xiàng)和有明確的函數(shù)解析式時(shí)，一般考慮用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)求取最值，但要注意自變量n的取值范圍.一般情況下用作差或作商來證明單調(diào)性求解，有時(shí)也用導(dǎo)數(shù)來證明.本題易忽視公比的取值范圍而致錯(cuò)，對(duì)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)不熟也會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.
【變式2】已知數(shù)列{an}滿足an=■-■，數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為 .
解：（作商法求單調(diào)性）an=■，■=■n∈N*，■+■a3>L>an>an+1>L數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第一項(xiàng)a1=■-1.
三、導(dǎo)數(shù)法在數(shù)列求最值當(dāng)中的應(yīng)用
例3 [2013新課標(biāo)Ⅱ卷（理）]等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為 .
解：由已知得：Sn=■n（n-10），設(shè)f（n）=nSn=■（n3-10n2）f '（n）=n（n-■），靠近極小值點(diǎn)n=■的整數(shù)為6和7，代入f（n）計(jì)算得n=7時(shí)f（n）最小，最小值為49.
點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)法求數(shù)列最值，一般用于所求解析式是高次，或作商和作差不好判斷單調(diào)性的題型，是利用函數(shù)性質(zhì)求數(shù)列最值的一種特況，作為研究數(shù)列和函數(shù)的橋梁，使問題解決便捷.
【變式3】 （2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答）數(shù)列{■}，n=1，2，L，則數(shù)列中最大項(xiàng)的值為（ ？搖）.
解：f（x）=x■=e■？圯f'（x）=■（1-lnx）？圯x=e為極大值點(diǎn)，即數(shù)列最大項(xiàng)■.
四、數(shù)列特性法求解最值
例4？搖（2011北約13校自主選拔）在等差數(shù)列{an}中，a3=-13，a7=3，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求數(shù)列{Sn}的最小項(xiàng)，并指出其值為何.
解：因?yàn)閍3=-13，a7=3，所以d=4，所以an=4n-25，
法一：由an=4n-25≤0an+1=4（n+1）-25>0得■
最值問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和歷年高考的熱點(diǎn),它涉及中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支,在一些特定的領(lǐng)域中應(yīng)用還十分廣泛,分清問題
的類型對(duì)于最值問題的解決十分有益。本文就三角函數(shù)中的最值問題略作介紹。
三角函數(shù)是一種函數(shù),因此初等函數(shù)中的最值問題的求法對(duì)三角函數(shù)也適用,但三角函數(shù)既然是一種特殊的函數(shù),其最值問題的求法當(dāng)然也有其獨(dú)特的地方。
一、配方法
例1.(1997年全國(guó))函數(shù)y=cos2x-3cosx+2的最小值為()
A.2 B.0C.-■D.6
略解:由y=cos2x-3cosx+2=(cosx-■)2-■,cosx∈[-1,1]
利用三角函數(shù)的有界性及二次函數(shù)在閉區(qū)間上求值域可得:0≤y≤6。
答案:B
點(diǎn)評(píng):配方法作為初等函數(shù)中極為重要的方法在三角函數(shù)中應(yīng)用仍然十分廣泛,但本例運(yùn)用配方法意在確定對(duì)稱軸的位置。若將本例變?yōu)?函數(shù)y=sin2x-cosx+2的最小值為,則需異名化同名(余弦),再由配方法得出答案為1。
二、“合一變形”及有界性法
例2.(2000年春季北京、安徽文)y=sinx+cosx+2的最小值是()
A.2-■ B.2+■
C.0 D.1
略解:根據(jù)兩角和與差的三角公式作逆運(yùn)算得,y=■sin(x+■)+2,再利用三角函數(shù)的有界性知:y∈[2-■,2+■]。
答案:A
點(diǎn)評(píng):“合一變形”法就是逆用“兩角和與差的正余弦公式”對(duì)同角異名弦之和與弦之差作“二合一變形”。
變題:函數(shù)y=■的值域?yàn)?/p>
略解:由y=■得,sinθ=■
而sinθ∈[-1,1],故函數(shù)的值域?yàn)?
[-2,0]
三、“和積不等式”與“勾子函數(shù)”法
例3.函數(shù)y=sinα+■,α∈(0,π)的最小值為()
A.2■ B.-2■
C.6 D.-6
略解:由α∈(0,π),則sinα∈(0,1)
由“勾子函數(shù)y=x+■>0”性質(zhì)可求y≥6。
答案:C
變題:函數(shù)y=5sinα+■,α∈(0,π)的最小值為()
A.2■ B.-2■
C.6 D.-6
略解:由α∈(0,π),則sinα∈(0,1)
由和積不等式知:5sinα+■≥2■,當(dāng)且僅當(dāng)sinα=■時(shí)取等號(hào)
答案:A
點(diǎn)評(píng):“勾子函數(shù)”法的本質(zhì)是函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)于勾子函數(shù)y=x+■,a>0,當(dāng)x∈(0,■]時(shí)函數(shù)單調(diào)減,當(dāng)x∈(■,+∞]函數(shù)單調(diào)增。而“和積不等式”強(qiáng)調(diào)“一正、二定、三等”限制條件。
四、數(shù)形結(jié)合與換元法
例4.函數(shù)y=■的值域?yàn)?/p>
答案:(-∞,0]
例5.函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx的值域?yàn)?/p>
答案:[-■,1+■]
點(diǎn)評(píng):例4可看作是圓:x2+y2=1上點(diǎn)(cosθ,sinθ)與點(diǎn)(-2,1)連線的斜率的取值范圍。
例5則可將sinx+cosx整體換元為t∈[-■,■],并將sinxcosx化為t的代數(shù)式,進(jìn)而將原問題化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上求值域。
五、三角函數(shù)最值問題的簡(jiǎn)單應(yīng)用
例6.(2000年全國(guó),理)已知函數(shù)y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R
當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合;
解:y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R
=■cos2x+■sin2x+■
=■sin(2x+■)+■
y取得最大值必須且只需2x+■=■+2kπ,k∈Z,
即x=■+kπ,k∈Z
所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),自變量x的集合為{x|x=■+kπ,k∈Z｝
點(diǎn)評(píng):本題的突破口是利用三角函數(shù)的降冪公式進(jìn)行恒等變形,重點(diǎn)考查了三角函數(shù)最值所取得的條件。
例7.設(shè)向量■=(3cosx,3sinx),■=(3cosx,sinx),■=(2,0),向量■與向量■的夾角為θ,當(dāng)變量x∈(0,■)時(shí),(1)求證:(■-■)■
(2)求角θ的最大值及相應(yīng)的x值。
解:(1)■-■=(0,2sinx),而■=(2,0)
( ■ -■ )? ■=0×2+2sinx×0=0
(■-■)■
(2)cosθ=■=■
=■
又x∈(0,■)
令:■=t,則t∈(1,3)
cosθ=■≥■(當(dāng)t=■,即cosx=■時(shí)取等號(hào))
又θ∈(0,π),cosθ在(0,π)內(nèi)為減函數(shù)
θ≤■
θ的最大值為■,此時(shí)相應(yīng)的x值為■
點(diǎn)評(píng):本例運(yùn)用了換元法、基本不等式等初等函數(shù)最值問題的求法,而其核心是以向量為載體考查三角函數(shù)的最值問題。
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查主要是針對(duì)“三次”函數(shù)，下面就利用導(dǎo)數(shù)求“三次”函數(shù)的最值問題的步驟進(jìn)行分類解析。
一、利用導(dǎo)數(shù)求最值的一般步驟
求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的主要步驟：（1）求y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將y=f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值。
例1：函數(shù)f（x）=2x3-3x2-12x+5在區(qū)間[-2，3]上最大值與最小值分別為（ ）
A.1，-4 B.12，-15 C.12，-4 D.-4，-15
解析：先求導(dǎo)數(shù)，得f ′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），
令f ′（x）=0，即6x2-6x-12=0，解得x1=-1，x2=2。
導(dǎo)數(shù)f ′（x）的正負(fù)以及f（-2）=5，f（2）=-4，如下表：
從上表可知，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最大值12，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值-15，故選B。
點(diǎn)評(píng)：從上面的解答看，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的過程相對(duì)較繁，是不是可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)化呢？請(qǐng)同學(xué)們看下面的分析。
二、利用導(dǎo)數(shù)求最值的簡(jiǎn)化步驟
根據(jù)例1的解答可以看到，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，實(shí)際上就是將函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程f ′（x）=0根對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，整個(gè)過程無須判斷極值為極大值還是極小值。此時(shí)利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；（2）求方程f′（x）=0的全部實(shí)根；（3）求出f ′（x）=0的根對(duì)應(yīng)的函數(shù)值及端點(diǎn)的函數(shù)值，并進(jìn)行大小比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值。
例2：求函數(shù)f（x）=x3-2x2+1在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值。
解析：f ′（x）=3x2-4x，令f ′（x）=0，得x1=0，x2=，
則f（0）=1，f（）=-，同時(shí)f（-1）=-2，f（2）=1，
比較上述四個(gè)函數(shù)值的大小知，當(dāng)x=0或2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為1，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-2。
點(diǎn)評(píng)：從上面兩個(gè)的解答可以看到，求導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程f′（x）=0有實(shí)數(shù)根。至此有學(xué)生會(huì)問了：如果方程f′（x）=0沒有實(shí)數(shù)根，那又如何進(jìn)行解答呢？是否也有步驟可尋？請(qǐng)繼續(xù)往下看。
三、利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性求最值的步驟
如果導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程f ′（x）=0無實(shí)數(shù)，此時(shí)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)就確定了，函數(shù)在整個(gè)定義域上就具有單調(diào)性，即函數(shù)的最值就是定義域的端點(diǎn)處取得。其解法的一般步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；（2）考查f ′（x）=0根的情況，若有根，則按例2的方法求解，若無實(shí)根，則首先判斷f ′（x）的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）按單調(diào)性與函數(shù)最值的關(guān)系求最值。
例3：求函數(shù)f（x）=x3-3x2+6x-2，x∈[-1，1]的最大值和最小值。
解析：f ′（x）=3x2-6x+6，令f ′（x）=0，方程無解。
因f ′（x）=3x2-6x+6=3（x-1）2+3，所以函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上是增函數(shù)，
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（-1）=-12，
當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)f（x）的最大值為f（-1）=2。
點(diǎn)評(píng)：本類題型實(shí)際上表現(xiàn)為函數(shù)在整個(gè)定義域上具有單調(diào)性，但不具有極值，因此不必去確定極值，其解題步驟得到了簡(jiǎn)化。從上面的三個(gè)例子可以看到，函數(shù)除含有未知數(shù)外，沒有其他的變量了，因此我們不難想到，如果對(duì)函數(shù)含有其他參數(shù)，那么又該如何操作呢？下面我們繼續(xù)分析。
四、利用導(dǎo)數(shù)求含有參數(shù)的函數(shù)最值的步驟
利用導(dǎo)數(shù)求含有參數(shù)的最值時(shí)，一般步驟：（1）求導(dǎo)函數(shù)f ′（x）。（2）對(duì)導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程f ′（x）=0進(jìn)行討論，主要涉及三類討論：①對(duì)首項(xiàng)系數(shù)的討論；②對(duì)判別式的討論；③對(duì)方程根的大小的討論。（3）根據(jù)f ′（x）的符號(hào)確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性。（4）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值。
例4：已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2（x-a）。求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值。
解析：f ′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a）。令f ′（x）=0，解得x1=0，x2=。
當(dāng)≤0，即a≤0時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，從而f（x）max=f（2）=8-4a。
當(dāng)≥2，時(shí)，即a≥3時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，從而f（x）max=f（0）=0。
當(dāng)0
從而f（x）max=8-4a 0
綜上所述，f（x）max=8-4a a≤20 a>2。
點(diǎn)評(píng)：本題由于函數(shù)解析式中含有參數(shù)，因此方程f′（x）=0的根含有參數(shù)，對(duì)其根0與的大小進(jìn)行了討論。同時(shí)還可以注意到本題解答不是通過先確定函數(shù)在區(qū)間上的極值，再比較其與區(qū)間端點(diǎn)值的大小來求解的，而是利用函數(shù)單調(diào)性來求函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間上的最值，再比較這些最值大小來求解的。上面幾例都是求函數(shù)的最值情況，現(xiàn)在我們進(jìn)行逆向思維，即如果已知函數(shù)的最值情況，而求參數(shù)問題，那該如何處理呢？
五、已知函數(shù)的最值求解參數(shù)值的步驟
已知函數(shù)的最值求參數(shù)的值是一類逆向思維問題，解答的主要步驟：（1）求導(dǎo)函數(shù)f ′（x）；（2）確定方程f ′（x）=0的根，可能時(shí)要注意討論；（3）確定函數(shù)的最值；（4）根據(jù)已知的最值與所求得的最值建立方程（組），由此可求得參數(shù)的值。
例5：已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a。若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。
解析：（Ⅱ）由f ′（x）=-3x2+6x+9=0，得x=-1或x=3，則由x∈[-2，2]，得f（-2）=a+2，f（2）=a+22，f（-1）=a-5。
比較知f（2）=a+22=20，解得a=-2，
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為
一、研究函數(shù)最值的實(shí)際意義
在生產(chǎn)實(shí)踐及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常遇到“最好”，“最省”，“最低”，“最大”和“最小”等問題。例如質(zhì)量最好，用料最省，效益最高，成本最低，利潤(rùn)最大，投入最小等等，這類問題在數(shù)學(xué)上常常歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。函數(shù)最值問題在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，科學(xué)研究、航天航空、計(jì)算機(jī)編程等，在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域尤為重要，在市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，企業(yè)總是千方百計(jì)地挖掘生產(chǎn)潛力，希望在生產(chǎn)能力許可的條件下，用最低的生產(chǎn)成本達(dá)到最大利潤(rùn)，要想做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵是管理。而將數(shù)學(xué)中最值問題應(yīng)用到企業(yè)管理中，能使管理更具科學(xué)性、有效性。
二、怎樣由實(shí)際問題求最值
（1）建立目標(biāo)函數(shù)。（2）求最值；若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最值。
三、由實(shí)際問題求最值應(yīng)用舉例
例1：敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？
解：（1）建立敵我相距函數(shù)關(guān)系。
設(shè)t為我軍從B處發(fā)起追擊至射擊的時(shí)間（分）。
敵我相距函數(shù)s(t) s(t)=■.
（2）求s=s(t)的最小值點(diǎn)。
st(t)=■令st(t)=0
得唯一駐點(diǎn)t=1.5。
故：我軍從B處發(fā)起追擊后15分鐘射擊最好。
例2：某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去。當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)。試問房租定為多少可獲得最大收入？
解：設(shè)房租為每月x元，租出去的房子有50-(■)套，每月總R(x)=(x-20)(50-■)，Rt(x)=(68-■)+(x-20)(-■)=70-■，
Rt(x)=0=>x=350（唯一駐點(diǎn)）。故每月每套租金為350元時(shí)收入最高。
最高收入為：R(x)=(350-20)(68-■)=10890（元）。
由此，若f(x)在定義域上取到最大（小）值，現(xiàn)給出求f(x)在區(qū)間I上的最大（?。┲缔k法：
（i）求出f(x)在Ⅰ上的所有駐點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn)。
（ii）求出f(x)在這些點(diǎn)上的函數(shù)值，再進(jìn)行比較：最大（小）者即為所求的最大（?。┲?。
參 考 文 獻(xiàn)
1.與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，大都是綜合性問題，解法靈活，技巧性強(qiáng)，涉及代數(shù)、三角、幾何等多方面的知識(shí)，現(xiàn)把這類問題的求解策略與方法介紹如下
（1）平面幾何法
平面幾何法求最值問題，主要是運(yùn)用圓錐曲線的定義和平面幾何知識(shí)求解.
（2）目標(biāo)函數(shù)法
建立目標(biāo)函數(shù)解與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，是常規(guī)方法，其關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用求函數(shù)最值的方法確定最值.
（3）判別式法
（4）圓錐曲線定義的應(yīng)用
①運(yùn)用圓錐曲線的定義解題常用于：a.求軌跡問題；b.求曲線上某些特殊的點(diǎn)的坐標(biāo)；c.求過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)、焦半徑.
②要注意不斷總結(jié)和積累應(yīng)用圓錐曲線的定義解題的經(jīng)驗(yàn)，以便提高靈活應(yīng)用定義解題的能力.
a.在利用圓錐曲線定義求軌跡時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的定義，寫出所求的軌跡方程；若所求軌跡是某種圓錐曲線上的特定的軌跡，則利用圓錐曲線的定義列出等式，化簡(jiǎn).
b.涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題，常用第一定義結(jié)合正弦定理或余弦定理來解決問題；涉及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率、圓錐曲線上的點(diǎn)中的三者，常用第二定義解決問題.
c.研究有關(guān)點(diǎn)之間的距離的最值問題時(shí)，常用第一定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為另一焦點(diǎn)的距離或利用第二定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，再?gòu)膸缀螆D形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題.
2.與圓錐曲線有關(guān)的范圍問題的討論常用以下方法解決
（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系.
（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍.
（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.
（4）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思.
（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式.因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于：
① 通過參數(shù)θ簡(jiǎn)明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；
② 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；
二、典例分析
