序論：速發(fā)表網(wǎng)結(jié)合其深厚的文秘經(jīng)驗(yàn)，特別為您篩選了11篇?dú)v史八下的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)范文。如果您需要更多原創(chuàng)資料，歡迎隨時(shí)與我們的客服老師聯(lián)系，希望您能從中汲取靈感和知識(shí)！

篇1

第一次月考的總結(jié)范文1剛升入初中的我，對(duì)一切新事物都很好奇。而初中的學(xué)習(xí)也改變了很多。政治地理以及小學(xué)從未接觸過的生物歷史，也變成了主要的科目。

還記得上學(xué)大概一個(gè)多月了，我們要進(jìn)行一次月考，老師一周前就對(duì)我們說了，可我的“讀書”方法，只是大概的瀏覽一邊，作業(yè)寫完了就睡覺了。

上課的時(shí)候，老師講的一切重點(diǎn)知識(shí)，我只記在了一個(gè)本子上，大概意思不是很明白。地理課，我是一點(diǎn)也不明白，老師留作業(yè)，我都是照同學(xué)抄的，除了地理外，別的課都還行。

一周的時(shí)間，很快就過去了。在月考的前一晚，我先看了看語文書，看了古文部分，每篇文章的作者朝代都是沒什么問題的。例如《木蘭詩》選自《樂府詩集》作者是宋代郭茂倩等等，這些文學(xué)常識(shí)我都會(huì)背。所以，由只會(huì)文學(xué)常識(shí)的語文有轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)可以說是我的強(qiáng)項(xiàng)，因?yàn)槲沂菙?shù)學(xué)課代表，所以數(shù)學(xué)我沒總復(fù)習(xí)，只是翻了幾頁。該到英語了，英語我是一點(diǎn)也不會(huì)，可以這么說，英語認(rèn)識(shí)我，我不認(rèn)識(shí)英語，在這種情況下，我只背了單詞。之后的時(shí)間我看了看小說等。月考的前一天我是這么度過的。

到了月考這一天，我有一些緊張。有什么我會(huì)的題也答錯(cuò)了，可能因?yàn)榫o張的關(guān)系，也可能因?yàn)槲覜]復(fù)習(xí)好埃數(shù)學(xué)題我太過自信，而算錯(cuò)很多題。成績下來后我真的很失望。

月考讓我明白了，考試之前要好好復(fù)習(xí)。

第一次月考的總結(jié)范文21.失去信心

“不知道怎么回事，一上數(shù)學(xué)課就覺得沒勁，但又覺得自己應(yīng)該認(rèn)真聽講，所以有些懼怕。上數(shù)學(xué)課感覺心里很煩躁，上課效率也減半了?！?/p>

“多次以來，數(shù)學(xué)考試成績都很不如意，我對(duì)數(shù)學(xué)失去信心了。甚至開始害怕數(shù)學(xué)，有時(shí)也對(duì)老師產(chǎn)生一種莫名的害怕?！?/p>

2.不努力，不認(rèn)真

“上課沒有好好抓進(jìn)課堂四十分鐘的'時(shí)間，課后沒有好好復(fù)習(xí)，做作業(yè)馬馬虎虎，課外輔導(dǎo)書更是沒有認(rèn)真做過，純屬應(yīng)付?！?/p>

3.知識(shí)點(diǎn)梳理不夠

“我固然做到了學(xué)，但沒有做到想，甚至從來不思考。”

“我現(xiàn)在終于發(fā)現(xiàn)思路、思維比解題更重要?！?/p>

4.時(shí)間不夠

“當(dāng)我決定中午問老師問題時(shí)，可不巧，英語老師來了!而且整整三節(jié)晚自修家作都來不及做，更何況解決疑難呢?”

5.不能、不會(huì)問問題

“還是和以前一樣，有問題沒有問老師，因?yàn)槲遗挛覇柕膯栴}太簡單，可能由于這樣想，使我的困難越積越厚，可我就是不敢問。有這心，沒這膽?！?/p>

6.“失誤”不斷

“每次考試我都很緊張。又是一個(gè)很簡單的題目或式子我也看很多遍，如12 + 36 = 48我都要算兩遍，就怕算錯(cuò)?！?/p>

事情過了好久了，好在我這次期末又扳了回來，耶!我要做到勝不驕，敗不餒!

第一次月考的總結(jié)范文3一陣揪心的鈴聲響過，我的心也變得忐忑不安起來，“咚咚，咚咚……”老師的腳步聲越來越近了，這時(shí)老師走進(jìn)了教室。喧鬧的教室里馬上變得鴉雀無聲，連自己的呼吸聲都聽得一清二楚。突然，月考試卷就如雪花一般飛來。這是自從我轉(zhuǎn)學(xué)以來的第一次月考，也是人生中的第一次。

考試時(shí)，我心中就如有一只活蹦亂跳的小兔子，在不停地奔跑著、跳著，使我的心砰砰的跳，心里七上八下，如激蕩的湖水一樣不平靜。我一次又一次的警告自己：一定要認(rèn)真，不能馬虎。正當(dāng)我寫完基礎(chǔ)題和閱讀題要開始寫作文時(shí)，筆突然沒墨了，我的心慌了：怎么辦。我該怎么辦呢?我停了下來。猛然間，我才發(fā)覺我應(yīng)該還有一只備用的，我忙打開鉛筆袋，將那只備用的筆拿了出來。我慌慌忙忙地寫著，生怕馬上要收卷了，不一會(huì)兒就收了筆。望著前面的字跡，這才發(fā)覺我寫的字太過于潦草、太小，又用了修正帶，這肯定又會(huì)扣個(gè)一分兩分的。心中充滿內(nèi)疚，后悔得不得了。

考試時(shí)的教室里，同學(xué)們正全神貫注的寫著試卷，教室里沒有聲音，只有沙沙寫字聲，人人都“埋頭苦干”，有的咬著筆頭思考問題，有的正文思如泉，把想好的答案寫在試卷上，有的因?yàn)橄氩怀龃鸢付p眉緊鎖，有的為大功告成而欣喜若狂。

“收卷。”突然，老師一聲令下，我顫抖得交了卷，坐在位子上回憶著考試試卷上內(nèi)容和題目。我的耳朵中灌滿同學(xué)們議論考試試卷答案的聲音，我聽不下去，也不想去同他們一起討論。生怕我會(huì)提前知道我要考砸了的消息。

第一次月考的總結(jié)范文4初中的第一次月考成績已經(jīng)出爐，語文92分全班第一，數(shù)學(xué)98分居次席，英語100，綜合91，第一次月考的反思。這看似良好的成績，其中還藏著小小的遺憾，這些遺憾都是由疏忽大意造成的。

先說語文，除去作文扣的四分，其余的四分丟的真不就應(yīng)，兩道題回答不完整各扣一分，一道沒加引號(hào)扣一分，一道“畫蛇添足”扣掉一分。我如果能一絲不茍的去完成它們，語文成績豈不是一個(gè)多么可觀的數(shù)字?

數(shù)學(xué)的馬虎更不就應(yīng)，一失手成千古恨，把x的絕對(duì)值當(dāng)成了x，雖說一個(gè)是對(duì)的，但把絕對(duì)值弄成個(gè)負(fù)數(shù)，簡直心里后悔地像老鼠在撓。唉，只能怪自我太大意了吧。

歷史部分更是大傷元?dú)?，司母戊鼎的歷史地位如何一題，標(biāo)準(zhǔn)答案是世界上現(xiàn)存最大的青銅器，可我粗劣加工寫成了世界上最大的鼎，這還不算，我在后面加上了四個(gè)字——用于祭祀，本該扣一分，因?yàn)樗鼈兯膫€(gè)又扣掉一分。

生物別提，43分，要不是歷史的的頑強(qiáng)抵抗，綜合否則失守90分，生物課代表沒戲了。

月考的一系列失誤，由于馬虎失分的多，把自我會(huì)做的做錯(cuò)，不后悔才怪呢!以后類似的錯(cuò)誤不要再犯，無論做什么馬虎總會(huì)耽誤大局。第二“畫蛇添足”讓我吃虧不少，復(fù)習(xí)資料的時(shí)候，要把每個(gè)知識(shí)點(diǎn)弄清、搞明白，每一天學(xué)過的知識(shí)要及時(shí)溫習(xí)。溫故而知新，能夠?yàn)閹熞印?/p>

月考，其實(shí)并不是多么難，認(rèn)真、細(xì)心的態(tài)度會(huì)造就一切。

第一次月考的總結(jié)范文5光陰似箭，日月如梭，第一次月考落下帷幕。排名和不理想的成績，不由得引起我的深思。

在楓楊的第一個(gè)月里，完全可以說我在學(xué)習(xí)上一點(diǎn)沒有用心!教師布置的作業(yè)，我僅僅按照最低標(biāo)準(zhǔn)完成。我沒有做到預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)，課堂上也沒有專心致志，一絲不茍地聽講，大腦死氣沉沉。這樣的聽課狀態(tài)，我的學(xué)習(xí)效率能高嗎?對(duì)于平日的練習(xí)，我絲毫沒放在心上，總會(huì)有一兩個(gè)小錯(cuò)誤。所以到月考時(shí)，我與那些認(rèn)真的同學(xué)的差距就很明顯。在空余的時(shí)間里，我不是跟同學(xué)說話，就是想著該怎么玩。于是，我又浪費(fèi)掉不少時(shí)間。就連月考前的國慶長假里，我依舊沉迷于歡樂之中，書本沒有碰過一下。我這樣做的結(jié)果只有一個(gè)——我的成績?nèi)缱莅阒本€下滑，我被遠(yuǎn)遠(yuǎn)地甩在了第40名!

篇2

有效教學(xué)是教師通過教學(xué)過程的合規(guī)律性，成功引起、維持和促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，相對(duì)有效地達(dá)到了預(yù)期教學(xué)效果的教學(xué)。在新課改條件下，有效教學(xué)被具體化為一種教學(xué)理念，即提高教師的工作效率，強(qiáng)化過程評(píng)價(jià)和目標(biāo)管理的一種現(xiàn)代教學(xué)理念，在不同的教學(xué)情境下，不同的教師可表現(xiàn)不同的教學(xué)風(fēng)格和特色。然而，同一版本的教材，要在不同的地方讓不同的學(xué)生和教師使用，不見得適合文化環(huán)境飛速發(fā)展的今天。因此，在實(shí)際教學(xué)中，常出現(xiàn)“同課異構(gòu)”的現(xiàn)象。

一、同課異構(gòu)中存在的問題

同課異構(gòu)的核心是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的重新整合，在具體的教學(xué)實(shí)踐表現(xiàn)中，主要存在以下幾個(gè)方面的問題。

1.單純改變各知識(shí)點(diǎn)的先后順序。這一點(diǎn)也是最常見的問題。由于現(xiàn)代教育觀點(diǎn)的改變、新課標(biāo)的實(shí)施等因素的影響，有些教師為順應(yīng)這一歷史潮流，體現(xiàn)自身對(duì)教材的解讀和整合，刻意變化課程中各知識(shí)點(diǎn)的先后順序。這樣的操作體現(xiàn)了教師在努力迎合新課標(biāo)的實(shí)施，且有不少的出彩之作，但也不乏敗筆之處。這樣的問題又讓許多教師，特別是年輕的教師不知該還是不該對(duì)教材進(jìn)行整合以及怎么整合。

2.面面俱到，重點(diǎn)反而不能凸顯，難點(diǎn)也未必能突破。初中科學(xué)是一門以觀察、實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科，新課標(biāo)要求突出科學(xué)探究，提高學(xué)生實(shí)驗(yàn)?zāi)芰ΑＳ谑?，許多教師在教學(xué)過程中增加許多實(shí)驗(yàn)，如演示實(shí)驗(yàn)、學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)、在多媒體上播放的實(shí)驗(yàn)等，盡其所能將相關(guān)的大小問題講全。這樣做反而沒將這個(gè)知識(shí)點(diǎn)講透，使得教學(xué)思路顯得混亂，重難點(diǎn)不能凸顯，學(xué)生也被“引導(dǎo)”得云里霧里。

3.“偽探究型”教學(xué)。在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師一般會(huì)不自覺地尋求最有效教學(xué)模式的教學(xué)，特別關(guān)注有利于學(xué)生學(xué)業(yè)成績的教學(xué)。因此，許多一線教師在教學(xué)過程中對(duì)教學(xué)內(nèi)容整合時(shí)難免出現(xiàn)矛盾心理，并最終選擇先達(dá)成知識(shí)目標(biāo)，再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。這樣的操作在表現(xiàn)上既有實(shí)驗(yàn)教學(xué)，又有高效的教學(xué)效果。以(華東師范大學(xué)版八年級(jí)上冊第四章第三節(jié))阿基米德原理一課為例，有不少的教師先告知阿基米德原理的內(nèi)容，再讓學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證性的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行探究。這樣的教學(xué)方式在實(shí)際教學(xué)過程中減少了學(xué)生犯錯(cuò)的機(jī)率，教師上課感覺非常順暢，但學(xué)生學(xué)習(xí)方式更被動(dòng)；學(xué)生的課堂表現(xiàn)看起來似乎起點(diǎn)更高，但對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力、創(chuàng)新性思維等方面的培養(yǎng)卻有較大的欠缺。

4.主體的角色仍未轉(zhuǎn)變。在常態(tài)課中，教師仍舊常常以講解為主，極有條理地按自己的思路將一整堂課講完，學(xué)生在教師的滔滔不絕中常扮演忠實(shí)的聽眾，“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)方式似乎在公開課中才更受關(guān)注。

5.整合教材時(shí)常脫離學(xué)情。在平時(shí)，教師備課常就一節(jié)課備一節(jié)課，少有整章一起備的，也較少聯(lián)系整本書的內(nèi)容。另外，教師備課時(shí)常根據(jù)教材備，對(duì)學(xué)生的情況卻關(guān)注相對(duì)少，一般也是根據(jù)往年的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行備課。這樣的備課習(xí)慣使得課堂教學(xué)有效性打了折扣，這個(gè)問題在年輕的教師身上尤為突出。對(duì)于這個(gè)問題，教師可以常開公開課進(jìn)行磨課以提高能力。

二、教材整合應(yīng)遵循的原則

1.整合方式多樣性。在不同的教學(xué)情境下，不同的教師可以表現(xiàn)出不同的教學(xué)風(fēng)格或特色，學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容有不同的理解，有效教學(xué)可能有不同的表現(xiàn)。也就是說，在堅(jiān)持教學(xué)有效性的前提下，教師應(yīng)保持對(duì)教材的理解應(yīng)堅(jiān)持整合方式多樣性。因此，不必用統(tǒng)一模式、統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)來約束教師的教學(xué)行為，富有創(chuàng)意的、新穎的、靈活的教學(xué)是應(yīng)該值得提倡和鼓勵(lì)的。

2.教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)學(xué)生的主體性。教學(xué)過程是師生共同活動(dòng)的過程，因此師生都是教學(xué)活動(dòng)的主體，但兩者在教學(xué)中的作用略有不同，即教師起主導(dǎo)作用，學(xué)生起主體作用。學(xué)生的主體性集中表現(xiàn)為主動(dòng)性、適應(yīng)性和創(chuàng)造性，具體表現(xiàn)為學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣、主動(dòng)的參與態(tài)度和創(chuàng)新思維能力和實(shí)踐操作能力。教學(xué)內(nèi)容的整合情況直接決定了教師在課堂教學(xué)中主導(dǎo)作用的演繹。

3.教學(xué)內(nèi)容強(qiáng)化過程性。強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn)是現(xiàn)代課程觀的發(fā)展趨勢。因此，教師在教學(xué)中要注重結(jié)論和過程的統(tǒng)一、過程和方法的統(tǒng)一，即加強(qiáng)知識(shí)發(fā)生過程的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生生成概念、探尋原理、追究本質(zhì)，在動(dòng)態(tài)的過程中進(jìn)行知識(shí)的建構(gòu)。

4.關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。教學(xué)過程是學(xué)生的認(rèn)知、情感交互發(fā)展的過程，教學(xué)的根本目的是為了學(xué)生的發(fā)展，而學(xué)生的發(fā)展意味著學(xué)生的全面發(fā)展以及個(gè)性的張揚(yáng)。

三、整合教材的策略

1.合理組織，促進(jìn)自主參與。在教學(xué)過程中，根據(jù)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和實(shí)驗(yàn)操作能力，盡可能將各教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)成學(xué)生活動(dòng)，將課堂時(shí)間交給學(xué)生，讓學(xué)生成為課堂的主角，而教師作為“助理”幫助和引導(dǎo)學(xué)生自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)。如在華師大版科學(xué)(八下)第六章第一節(jié)第一課時(shí)“綠色植物的營養(yǎng)器官”一課中，教師將每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)整合成探究活動(dòng)：“根的形態(tài)和組成”由學(xué)生觀察菠菜、豆苗、大蒜苗和蔥的根并總結(jié)完成，“根的結(jié)構(gòu)與功能”這部分內(nèi)容則引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地觀察豆芽的根毛、根尖和根尖四個(gè)區(qū)域的特點(diǎn)，并讓學(xué)生通過觀看根尖結(jié)構(gòu)掛圖，對(duì)照課本知識(shí)歸納根尖各部分細(xì)胞特點(diǎn)和細(xì)胞的功能。在整節(jié)課中，要保證學(xué)生有足夠的時(shí)間動(dòng)手動(dòng)腦，教師則根據(jù)學(xué)生情況精心指導(dǎo)，在這樣的教學(xué)氛圍中，每個(gè)學(xué)生都能積極參與活動(dòng)，動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，而不是看領(lǐng)悟早的同學(xué)做實(shí)驗(yàn)。

2.引導(dǎo)探究，培養(yǎng)探究能力。在學(xué)生活動(dòng)的內(nèi)容上，教師應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，選取合適的活動(dòng)內(nèi)容，挖掘教材在培養(yǎng)與訓(xùn)練學(xué)生探究能力方面的內(nèi)在因素，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)奶骄啃詫?shí)驗(yàn)。在問題的設(shè)計(jì)上，問題要有針對(duì)性和啟發(fā)性，并充分滲透探究能力的培養(yǎng)，使教師對(duì)學(xué)生探究能力的培養(yǎng)和學(xué)生對(duì)科學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)緊密結(jié)合，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。如“綠色植物的營養(yǎng)器官”一課中，在觀察豆芽的根毛、根尖和根尖四個(gè)區(qū)域的特點(diǎn)時(shí)，如果根據(jù)課本的活動(dòng)步驟直接讓學(xué)生對(duì)根尖進(jìn)行觀察，則會(huì)出現(xiàn)學(xué)生無所適從的情況。因此，教師可讓學(xué)生先找出根毛，再對(duì)根尖進(jìn)行定義，然后讓學(xué)生用肉眼和放大鏡對(duì)根尖進(jìn)行仔細(xì)觀察，在充足的活動(dòng)時(shí)間下，學(xué)生能夠驚奇地發(fā)現(xiàn)短短的根尖居然會(huì)有這么細(xì)微的差別，從而促進(jìn)了學(xué)生對(duì)根尖各區(qū)域細(xì)胞特點(diǎn)進(jìn)行探究的欲望，也培養(yǎng)了他們耐心觀察、仔細(xì)實(shí)驗(yàn)的習(xí)慣。

3.講練結(jié)合，培養(yǎng)歸納推導(dǎo)能力。要使學(xué)生活動(dòng)達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，教師要根據(jù)學(xué)生的活動(dòng)情況將講解與學(xué)生活動(dòng)相結(jié)合，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)真思考。在活動(dòng)的編排中，教師要仔細(xì)推敲如何提問，如何指導(dǎo)學(xué)生觀察與思考、分析與歸納，尤其要讓學(xué)生發(fā)表意見，將觀察到的現(xiàn)象進(jìn)行分析以及得到的結(jié)論等與全班同學(xué)分享?；顒?dòng)要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，養(yǎng)成探究的思維習(xí)慣，在探索中培養(yǎng)歸納推導(dǎo)能力。如“綠色植物的營養(yǎng)器官”一課中，在觀察根的結(jié)構(gòu)掛圖這一活動(dòng)環(huán)節(jié)中，當(dāng)學(xué)生歸納出各區(qū)域細(xì)胞的結(jié)構(gòu)特征后，根據(jù)生物的結(jié)構(gòu)與功能是相適應(yīng)的這一原理，要求學(xué)生對(duì)照掛圖，從宏觀和微觀兩個(gè)角度進(jìn)行觀察和比較，嘗試著歸納和推理根尖各區(qū)域的功能并及時(shí)做出評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)。

4.學(xué)以致用，促進(jìn)知識(shí)遷移。學(xué)習(xí)的目的是應(yīng)用到實(shí)際生活中，但教學(xué)過程常常與實(shí)際生活脫節(jié)，使學(xué)生感到學(xué)習(xí)枯燥乏味，抽象難理解，為應(yīng)付考試而不得已死記硬背。為改變這一現(xiàn)狀，教師可以在教學(xué)過程中把科學(xué)理論知識(shí)與生活實(shí)際聯(lián)系起來，不但培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也促進(jìn)了其知識(shí)遷移能力和解決實(shí)際問題的能力。為此，教師可在知識(shí)鞏固這一環(huán)節(jié)將現(xiàn)實(shí)問題拋給學(xué)生，由學(xué)生思考解決。如“綠色植物的營養(yǎng)器官”一課中設(shè)置這樣一個(gè)問題：移栽苗木時(shí)，常用帶土球起苗法進(jìn)行栽植，對(duì)起苗過程中不能帶上完好土球的植株，要把裸根沾上泥漿，再用濕草和草袋包裹，這是為什么？請(qǐng)解釋原因。又如，在華師大版科學(xué)(七下)第一章第五節(jié)檢驗(yàn)水的存在一課中可提出這個(gè)問題：我們常常使用護(hù)膚品對(duì)皮膚進(jìn)行保濕和補(bǔ)水，那么這些護(hù)膚品中到底有沒有水給我們補(bǔ)充呢，你能否對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證？此類問題源自生活，又應(yīng)用于生活，使得抽象的理論知識(shí)得到及時(shí)合理的運(yùn)用，學(xué)生也會(huì)慢慢習(xí)慣將學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行遷移，應(yīng)用到實(shí)際生活中去。

備好一節(jié)課是上好一堂課的關(guān)鍵。結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，整合教學(xué)內(nèi)容，可以優(yōu)化課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)有效性。當(dāng)然，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整合過程也是教師教學(xué)能力的提升過程，它需要教師關(guān)注學(xué)生、鉆研教材、用心磨課和不斷積累。

參考文獻(xiàn)：

篇3

一、課題研究的現(xiàn)實(shí)背景和意義

日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書中曾指出：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后很快就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。”這是數(shù)學(xué)教育家結(jié)合學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究的切身體驗(yàn)對(duì)教師提出的肺腑之言。然而長期以來，可能由于受應(yīng)試教育和傳統(tǒng)教學(xué)思想的影響，一些教師只關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握，只重視他們解題能力的提高，而忽視從這些知識(shí)的掌握和運(yùn)用中歸納、提取數(shù)學(xué)思想的能力，從而使學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)越來越難學(xué)，甚至?xí)劇皵?shù)”色變，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一堆冷冰冰的數(shù)字和奇特符號(hào)的組合，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)留給他們的只是“枯燥、繁難”的回味。事實(shí)上，這是學(xué)生受教師的不良影響，歪曲了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

首先，從學(xué)科本身的特點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)不僅僅是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法一般有兩種：一是數(shù)學(xué)思維方法，這是數(shù)學(xué)方法中較高層次的方法，是數(shù)學(xué)中思考問題的方法，它必須一開始就逐步滲透。二是數(shù)學(xué)解題方法，這是數(shù)學(xué)解題的通法，相對(duì)于特殊的解題技巧而言，它今后有系統(tǒng)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的之一在于訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的品質(zhì)，以及科學(xué)的世界觀和方法論，使學(xué)生能面對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)，能用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行分析，從而使問題得以解決。

其次，從教學(xué)現(xiàn)狀看，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不受重視。相當(dāng)一部分教師在教學(xué)目標(biāo)中只注重知識(shí)與技能的達(dá)標(biāo)，根本沒有把數(shù)學(xué)思想方法納入目標(biāo)體系，即使納入也只是在課堂上提提名而已。

再次，從數(shù)學(xué)教材體系看，整個(gè)數(shù)學(xué)教材中貫穿兩條主線，一是寫進(jìn)教材的基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，它是明線，一貫很受重視。另一條是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，這是條暗線，對(duì)學(xué)生的成長十分重要，但往往被忽視。現(xiàn)在教學(xué)中存在重視知識(shí)達(dá)標(biāo)評(píng)價(jià)，輕視數(shù)學(xué)思想形成的評(píng)價(jià)；重視學(xué)生眼前的分?jǐn)?shù)利益，輕視學(xué)生的長遠(yuǎn)素質(zhì)發(fā)展等問題。一些教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解不透徹，造成數(shù)學(xué)思想方法的滲透在課堂教學(xué)中短時(shí)期難以見成效。因此，在教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)難以規(guī)范有序地展開，教學(xué)實(shí)踐中僅僅關(guān)注雙基的落實(shí)，滿足學(xué)生考試分?jǐn)?shù)的提高，忽略對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的關(guān)注，導(dǎo)致學(xué)生思維發(fā)展的差異，且后續(xù)發(fā)展的差異越來越大，這種差異將直接影響學(xué)生今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和解決其他問題能力的發(fā)展。教材里各個(gè)章節(jié)里隱含很多數(shù)學(xué)思想方法，教師作為組織者、引導(dǎo)合作者，必須重視數(shù)學(xué)思想方法在日常教學(xué)中的有機(jī)滲透，只有將無形的數(shù)學(xué)思想方法貫穿到有形的數(shù)學(xué)知識(shí)之中，才有利于從整體上把握數(shù)學(xué)教學(xué)目的，將數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程、解決問題的過程展示給學(xué)生，將思維的方式方法展現(xiàn)給學(xué)生。

基于上述分析，我們抓住數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)與靈魂，以數(shù)學(xué)的精神、思想、方法為突破口，提出“依托新教材培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐研究”這一課題，通過這一課題的研究挖掘數(shù)學(xué)教材中的有機(jī)資源，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的深入理解，提高他們對(duì)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟能力，真正提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展。

二、課題研究的前提思考

（一）新教材指的是浙江教育出版社出版的7-9年級(jí)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書。

（二）數(shù)學(xué)思想是指人類對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其研究的本質(zhì)和規(guī)律性認(rèn)識(shí)。它是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中解決問題的觀點(diǎn)和根本想法，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，并在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決問題的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)思想方法還有一些觀點(diǎn)上的分歧，包含范圍比較廣泛，但并不影響本課題的研究。本課題的數(shù)學(xué)思想主要定位于通過挖掘教材中的資源滲透符號(hào)化、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)學(xué)模型思想這五類常用的數(shù)學(xué)思想。

（三）數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)方法是指人們從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的程序、途徑，是實(shí)施數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段，也是數(shù)學(xué)思想的具體化反映。所以說，數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的，而數(shù)學(xué)方法是外顯的，數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻，更抽象地反映數(shù)學(xué)對(duì)象間的內(nèi)在聯(lián)系。由于數(shù)學(xué)是逐層抽象的，數(shù)學(xué)方法在實(shí)際運(yùn)用中往往具有過程性和層次性等特點(diǎn)，層次越低，操作性越強(qiáng)。如變換方法包括恒等變換，恒等變換中又分換元法、配方法、待定系數(shù)法等。

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法有區(qū)別也有聯(lián)系，首先，兩者都以一定的數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)。其次，兩者具有抽象概括程度的不同，表現(xiàn)出互為表里的關(guān)系。數(shù)學(xué)方法受到數(shù)學(xué)思想的指引，是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的反映和體現(xiàn)，表現(xiàn)形式外顯；數(shù)學(xué)思想是相應(yīng)數(shù)學(xué)方法的結(jié)晶和升華，表現(xiàn)形式內(nèi)隱。數(shù)學(xué)思想往往帶有理論性的特征，而數(shù)學(xué)方法具有實(shí)踐性的傾向。一般來說，強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)調(diào)操作過程時(shí)稱數(shù)學(xué)方法。由于人們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究活動(dòng)中，很難把思想和方法嚴(yán)格區(qū)分開，因此常統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。

（四）數(shù)學(xué)思想的主要特征。

1.導(dǎo)向性。數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向性是指研究數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想，是數(shù)學(xué)思維的策略。數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向性表現(xiàn)在它既是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的根源，又是建立數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)，還是解決具體問題“向?qū)А?。正如日本學(xué)者米山國藏所說：“數(shù)學(xué)的精神、思想是創(chuàng)造數(shù)學(xué)著作，發(fā)現(xiàn)新的東西，使數(shù)學(xué)得以不斷地向前發(fā)展的根源?！北热鐦O限思想既是微積分理論的基礎(chǔ)，又是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要方法。在解決具體問題中，數(shù)學(xué)思想往往起主導(dǎo)作用，尤其是它對(duì)產(chǎn)生一個(gè)好“念頭”、一種好“思路”、一種好“猜想”提供方向。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想在指示解題的方向時(shí)，還為數(shù)學(xué)方法的具體實(shí)施留有應(yīng)變的余地。

2.統(tǒng)攝性。數(shù)學(xué)思想對(duì)于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法具有巨大的凝聚力，它是聯(lián)系知識(shí)的紐帶，具有舉綱張目的作用。數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)攝性主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。雖然數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)量的不同是影響學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個(gè)方面，但是，即使有同樣數(shù)量的知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生，由于知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系結(jié)構(gòu)的差異，也會(huì)造成數(shù)學(xué)能力發(fā)展不平衡。二是發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)思想在知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的過程中起重要的中介作用。如果說能力是知識(shí)的結(jié)晶的話，那么思想往往起著結(jié)晶核的作用。學(xué)生在學(xué)習(xí)教材中的定義、定理、公式等外顯知識(shí)時(shí)，若未能了解這些知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，則很難真正理解知識(shí)，因而就會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)了不少，但由于缺乏數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)領(lǐng)，知識(shí)沒有活性，能力卻得不到發(fā)展的現(xiàn)象。另一方面，數(shù)學(xué)思想將分散的知識(shí)吸附起來，組成一個(gè)整體，并且能像滾雪球那樣越滾越大。

3.概括性。人們的理性認(rèn)識(shí)之所以高于感性認(rèn)識(shí)，是因?yàn)槔硇哉J(rèn)識(shí)能反映、揭示事物的普遍的必然的本質(zhì)屬性和聯(lián)系，這就是理性認(rèn)識(shí)的一大特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想在這方面具有突出的表現(xiàn)，即數(shù)學(xué)思想具有較高的概括性。概括性程度的不同決定數(shù)學(xué)思想有層次之分，概括化程度高，其“抽象度”大；對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性揭示得越深刻，對(duì)問題的理解就愈透徹。數(shù)學(xué)思想的概括性還表現(xiàn)在客觀存在，能反映數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系和內(nèi)部規(guī)律上。

4.遷移性。高度的概括性導(dǎo)致數(shù)學(xué)思想具有廣泛的遷移性。這種遷移性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)部：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，這是數(shù)學(xué)知識(shí)遷移的基礎(chǔ)和根源，是溝通數(shù)學(xué)各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁和紐帶，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的基石。這種遷移性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)外部：能溝通數(shù)學(xué)與其他科學(xué)、與社會(huì)的聯(lián)系，產(chǎn)生更廣泛的遷移。

三、依托新教材培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐與研究

數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)、發(fā)展、形成是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，通過問題解決體現(xiàn)的，所以數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要以學(xué)生接受知識(shí)的全過程加以滲透，以便逐漸形成。

（一）數(shù)學(xué)思想形成的過程

從認(rèn)識(shí)論的角度看，對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)，必須經(jīng)歷“具體―抽象―具體”，即從感性的具體到抽象的規(guī)定，再從抽象的規(guī)定上升到思維中具體的過程。

對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)所形成的“感性的具體”是指掌握某部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容，如具體的概念、定理、公式、法則等?！俺橄蟮囊?guī)定”是指掌握某些數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)方法。認(rèn)識(shí)過程達(dá)到的“思維中的具體”則是指數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。

從上圖可以看出數(shù)學(xué)思想形成必須經(jīng)歷掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、明確其中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法、建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)這一過程。數(shù)學(xué)思想的形成主要來自于以下渠道：

1.在知識(shí)發(fā)生中挖掘數(shù)學(xué)思想方法。

在教學(xué)過程中，要注意知識(shí)的形成過程，特別是定理、性質(zhì)、公式的推導(dǎo)過程和例題求解的過程，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法就是在這個(gè)過程中形成和發(fā)展的。

（1）在概念、定理的講述中呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。

概念是思維的細(xì)胞，是感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)的結(jié)果，而飛躍的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，需依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。因而概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)完整地體現(xiàn)這一過程，引導(dǎo)學(xué)生揭示隱藏于概念之中的思維內(nèi)核。如“有理數(shù)”一章就是最好的例證，學(xué)生初次接觸負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值等抽象概念時(shí)，往往理解上有困難，如果能有機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過數(shù)軸幫助理解就可以降低理解這些概念的難度。

（2）在規(guī)律、法則的推導(dǎo)運(yùn)用中引進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法。

在定理、性質(zhì)、法則、公式、規(guī)律等的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與這些結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程，不斷在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下，弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系，最后引導(dǎo)學(xué)生歸納得出結(jié)論。如，學(xué)生在學(xué)習(xí)一元一次方程的解法時(shí)，如果只是讓學(xué)生注意解一元一次方程的步驟，即去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等，而未掌握解一元一次方程的思想――求出一個(gè)與原方程同解的且解是明顯的方程，即ax=b（a≠0），那么學(xué)生對(duì)這一思想的精髓就不會(huì)真正領(lǐng)悟，對(duì)解方程的認(rèn)識(shí)只能是“知其然，而不知其所以然”。在教學(xué)中，在強(qiáng)調(diào)解決步驟的同時(shí)應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)所反映出的“化歸”思想方法，使學(xué)生真正體會(huì)解題步驟是“化歸”思想方法指導(dǎo)下的具體外顯，這樣學(xué)生才會(huì)舉一反三，建立數(shù)學(xué)模型，加強(qiáng)方法遷移。

2.在思維活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須充分暴露思維過程，讓學(xué)生參與教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，揭示其中隱含的數(shù)學(xué)思想，才能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。例如八下“多邊形”的教學(xué)可以借三角形、四邊形、五邊形等圖形的分析探求，讓學(xué)生大膽猜想，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)方法，滲透類比、歸納、猜想思想，在驗(yàn)證所得結(jié)論中結(jié)合多邊形可化歸三角形處理從而得以證明，從中滲透化歸思想和分類思想。

3.在問題解決過程中揭示數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)問題的探索與解決過程，實(shí)質(zhì)是命題不斷變化和數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運(yùn)用的過程，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)問題的解決的觀念性成果，它存在于數(shù)學(xué)問題解決的過程之中。數(shù)學(xué)問題的探索與解決，都遵循數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。數(shù)學(xué)問題的推廣、引申和解決過程既是新的問題發(fā)現(xiàn)和解決的過程，又是數(shù)學(xué)思想方法深化的過程。一些教師往往有這樣的困惑：題目講得不少，但是學(xué)生總是停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍微變化就不知所措，不能形成較強(qiáng)的解決問題的能力，更談不上創(chuàng)新能力的形成。究其原因就是教師在問題解決中就題論題，沒有抓住問題的本質(zhì)，沒有突出數(shù)學(xué)思想方法，“只有劍招，沒有劍魂”。

在解題教學(xué)中，教師首先要善于通過選擇典型例題進(jìn)行解題示范，通過范例展現(xiàn)自己是如何“想”數(shù)學(xué)，如何“做”數(shù)學(xué)的。進(jìn)一步說，就是自己是怎樣審清題意的，是怎樣運(yùn)用探索法誘發(fā)靈感、產(chǎn)生“好念頭”的，是怎樣對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和變更的，是怎樣通過解題進(jìn)行回顧、概括形成方法和模式的，是怎樣運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論的，等等。其次，在解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生善于反思，達(dá)到舉一反三的效果。

4.在知識(shí)整理歸納中概括數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)教材是采用蘊(yùn)含披露的方式將數(shù)學(xué)思想方法融于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，適時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)思想作出歸納、概括是十分必要的。概括數(shù)學(xué)思想方法要納入教學(xué)計(jì)劃，應(yīng)有目的、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思想的概括過程，尤其在章節(jié)結(jié)束或單元復(fù)習(xí)中對(duì)知識(shí)復(fù)習(xí)的同時(shí)，將統(tǒng)攝知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法概括出來，可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用意識(shí)，也使其對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的具體操作方式有更深刻的了解，有利于活化所學(xué)知識(shí)，形成獨(dú)立分析、解決問題的能力。例如，在二元一次方程組的解法中有這樣的敘述：這種解法的思路是，通過“代入”、“加減”，達(dá)到消元（即消去一個(gè)未知數(shù)）的目的，從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。在教學(xué)實(shí)踐中給足時(shí)間，讓學(xué)生自讀，結(jié)合課本題目，專項(xiàng)討論“消元”怎樣進(jìn)行，不僅突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，更重要的是強(qiáng)化內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想方法。

為此，我們不難發(fā)現(xiàn)，由于同一數(shù)學(xué)知識(shí)可表現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)思想方法，而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常分布在許多不同的知識(shí)點(diǎn)里，因此通過課堂小結(jié)、單元總結(jié)或總復(fù)習(xí)，甚至在某個(gè)概念、定理公式、問題教學(xué)都可以在縱橫兩方面歸納概括出數(shù)學(xué)思想方法。

（二）數(shù)學(xué)思想在教材中的體現(xiàn)及實(shí)踐操作

大量的、較高層次的思想方法蘊(yùn)含于表層知識(shí)之中，處于潛形態(tài)，教師應(yīng)該將深層知識(shí)揭示出來，將這些深層知識(shí)由潛形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轱@形態(tài)，由對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的朦朧感受轉(zhuǎn)變?yōu)槊魑睦斫夂驼莆铡?/p>

1.符號(hào)化、方程與函數(shù)思想。

符號(hào)化思想、方程思想和函數(shù)思想本來是三個(gè)不同的思想，它們各有側(cè)重點(diǎn)，符號(hào)化偏重于形式化、結(jié)構(gòu)化。方程思想相對(duì)于算術(shù)法，偏重于關(guān)注問題中的等量關(guān)系、構(gòu)造方程，由解方程而達(dá)到問題解決。函數(shù)思想則偏重于事物的運(yùn)動(dòng)變化，尋求變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。但是，一方面由于數(shù)學(xué)知識(shí)量畢竟有限，這三種思想的形成還有待學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)中完成，另一方面這三種思想存在有機(jī)聯(lián)系，符號(hào)化是方程思想實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)，而方程又可以看做是函數(shù)的特殊情況，方程方法是研究函數(shù)的有力工具。

（1）符號(hào)化思想。符號(hào)既可以表示數(shù)，又可以表示量；既可以表示未知數(shù)，又可以表示已知數(shù)；既可以表示常量，又可以表示變量，還可以用符號(hào)表示運(yùn)算、表示關(guān)系、表示語句、表示圖形。如七年級(jí)上冊4.1《用字母表示數(shù)》用節(jié)前語中的兒歌青蛙跳水動(dòng)畫場面，寓教于樂地引出用字母表示數(shù)的思想，認(rèn)識(shí)到字母表示數(shù)具有問題的一般性，就便于問題的研究和解決，由此就可產(chǎn)生從算術(shù)到代數(shù)的認(rèn)識(shí)飛躍。學(xué)生領(lǐng)會(huì)用字母表示數(shù)的思想就可順利地進(jìn)行以下內(nèi)容的教學(xué)：①用字母表示問題（代數(shù)式模仿、列代數(shù)式）；②用字母表示規(guī)律（運(yùn)算定理、計(jì)算公式、認(rèn)識(shí)數(shù)式通性的思想）；③用字母表示數(shù)解題（適應(yīng)字母式問題能力）。

（2）方程思想。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過設(shè)元，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，這種解決問題的思想稱為方程思想。

如（“7.3線段的長短比較”例3）如圖1，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C，D把線段AB三等分，已知線段CP的長為1.5cm，求線段AB的長。在講解完書上的解法之后，引導(dǎo)學(xué)生分析：能否用方程的思想解決呢？這一問不僅引起學(xué)生的好奇，而且激活學(xué)生的思維，多種解決問題方法的產(chǎn)生也就不足為奇了。

如果設(shè)∠AOC的度數(shù)為x度，那么∠COB的度數(shù)就等于（x+30）度，再根據(jù)∠AOC與∠COB是互為鄰補(bǔ)角，就得到下面的方程。

x+（x+30）=180，解得x=75.即∠AOC=75°，∠COB=105°，∠AOE=∠AOD+∠DOE=105°+37.5°=142.5°.

教材中能用方程思想解決的問題有很多，如“7.6余角和補(bǔ)角”一節(jié)中的例2：已知一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的余角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù)。本章復(fù)習(xí)題的第5、10、11、15題等。在教學(xué)中，適時(shí)適度地引導(dǎo)學(xué)生用方程的思想思考問題，不僅有利于學(xué)生建立模型思想，而且能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

③函數(shù)思想。世界上一切事物都處在運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的過程中，我們在教學(xué)中必須重視函數(shù)思想方法的教學(xué)。函數(shù)思想是一種考慮對(duì)應(yīng)、考慮運(yùn)動(dòng)變化、相依關(guān)系，以一種狀態(tài)確定地刻畫另一種狀態(tài)，由研究狀態(tài)過渡到研究變化過程的思想方法。函數(shù)思想的本質(zhì)在于建立和研究變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。要有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地培養(yǎng)函數(shù)思想方法，讓學(xué)生逐漸形成以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)觀察事物，并借助函數(shù)關(guān)系思考解決問題。

如八（上）一次函數(shù)的簡單應(yīng)用例2：小聰和小慧去某風(fēng)景區(qū)游覽，約好在“飛瀑”見面，上午7：00小聰乘電動(dòng)汽車從“古剎”出發(fā)，沿景區(qū)公路去“飛瀑”，車速為36km/h，小慧也于上午7：00從“塔林”出發(fā)，騎電動(dòng)自行車沿景區(qū)公路去“飛瀑”，車速為26km/h。

（1）當(dāng)小聰追上小慧時(shí)，他們是否已經(jīng)過了“草甸”？

（2）當(dāng)小聰?shù)竭_(dá)“飛瀑”時(shí)，小慧離“飛瀑”還有多少km？

第一個(gè)問題對(duì)于大部分學(xué)生來說，還是有一定的“恐懼感”。我們不妨讓每個(gè)同學(xué)都先獨(dú)立思考，至少想到一種方法，然后小組交流。通過合作學(xué)習(xí)后展示討論結(jié)果時(shí)，有以下幾種思考方法。

法一：把這個(gè)問題看成是純粹的應(yīng)用題，則是一個(gè)同時(shí)不同地出發(fā)的追及問題，只要算出什么時(shí)候什么地方追上就能判斷小聰追上小慧時(shí)，他們是否已經(jīng)過了“草甸”；有兩種不同解題思路，一種是用算術(shù)的方法，另一種是用列方程解決。

法二：因?yàn)樾÷敽托』鬯叩穆烦膛c時(shí)間是呈正比例關(guān)系的兩個(gè)變量，所以可用函數(shù)知識(shí)解決這個(gè)問題，追上的時(shí)間與地點(diǎn)就是兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，而這里兩個(gè)變量的設(shè)法也有多種，真可謂思維異彩紛呈。

對(duì)于第二個(gè)問題，我們完全拋給學(xué)生，讓他們合作討論完成。

第一小組：生1：用算術(shù)的方法求解；

生3和生4都是用方程的方法。

第二小組：生5、生6都是用方程的方法。

生8不會(huì)解答，但在其他同學(xué)的幫助下懂得了如何列方程進(jìn)行解答。

該生介紹這種方法后，得到了大家的一致認(rèn)同，最后教師作出延伸，從上述幾種方法的解答中我們發(fā)現(xiàn)：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)（1，36），就是二元一次方程組s=36ts=26t+10的解?？梢姡脠D像法也能求方程組的解（近似解）。

2.數(shù)形結(jié)合思想。

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)（恩格斯語）。數(shù)學(xué)中兩大研究對(duì)象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面，借助圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡潔明快，而且可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟一條重要的途徑。因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。為了培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，在七年級(jí)數(shù)學(xué)中就可以有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想。

如在《有理數(shù)》一章中，數(shù)軸就是把數(shù)和形結(jié)合在一起的內(nèi)容。這樣在討論相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的幾何意義時(shí)，數(shù)和形結(jié)合得合理將為學(xué)習(xí)降低難度。

（1）利用圖像，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)情境。七年級(jí)教材通過溫度計(jì)引出數(shù)軸概念，能夠具體、直觀地掌握負(fù)數(shù)的意義。利用數(shù)軸把點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系揭示出來，這樣數(shù)量關(guān)系常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀的反映和描述。

（2）相反數(shù)。在數(shù)軸上，相反數(shù)就是在原點(diǎn)兩旁到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)。零的相反數(shù)是它本身即原點(diǎn)。如圖：

（3）絕對(duì)值。在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離。在下圖中，A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離比B點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大，所以A點(diǎn)表示的數(shù)的絕對(duì)值比B點(diǎn)表示的數(shù)的絕對(duì)值大。

（4）倒數(shù)。在數(shù)軸上表示a與1的位置關(guān)系?？梢越Y(jié)合數(shù)軸加以分析，把0、+1、-1作為分界點(diǎn)，然后再進(jìn)行討論。

觀察是人們認(rèn)識(shí)客觀事物的開始，直觀是圖形的特征。例如，利用數(shù)軸可以比較兩個(gè)有理數(shù)大小，學(xué)生在學(xué)習(xí)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，常常不過了符號(hào)關(guān)，利用數(shù)軸學(xué)生可以準(zhǔn)確、快速地確定結(jié)論。相反數(shù)概念的引入、理解，都依賴“數(shù)軸”，特別是教材第一次出現(xiàn)字母表示數(shù)：數(shù)的相反數(shù)是時(shí)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)思維難點(diǎn)，利用數(shù)軸可以幫助學(xué)生理解：可以是正數(shù)、0、負(fù)數(shù)。

在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過程中，必須遵循下述原則：轉(zhuǎn)化等價(jià)原則；數(shù)形互補(bǔ)原則；求解簡單原則。當(dāng)然在教學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握以下幾點(diǎn)：

（1）善于觀察圖形，揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。

（2）正確繪制圖形，反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。

（3）切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性，以性識(shí)圖。

教師可以通過各種形式有意識(shí)地使學(xué)生領(lǐng)會(huì)到數(shù)形結(jié)合方法具有形象、直觀、易于說明等優(yōu)點(diǎn)，并初步學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合觀點(diǎn)分析問題、解決問題。

3.分類討論思想。

分類討論思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類是以比較為基礎(chǔ)的，它能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，使所學(xué)知識(shí)條理化。我們可啟發(fā)學(xué)生按不同的情況對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行分類，如實(shí)數(shù)的分類、三角形的分類、方程的分類等，幫助他們掌握好分類的方法原則形成分類的思想。當(dāng)數(shù)量大小不確定，或圖形的位置、形狀不確定時(shí)，常常可以運(yùn)用分類討論的思想分析解決。如對(duì)七年級(jí)有理數(shù)的加法教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、探究，將有理數(shù)的加法分為三類進(jìn)行研究，正確歸納出有理數(shù)加法法則，這樣學(xué)生不僅掌握具體的“法則”，而且對(duì)“分類”有深刻的認(rèn)識(shí)，能在較復(fù)雜的情況下，利用掌握好的分類的思想方法，正確地確定標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏地進(jìn)行分類，從而使看問題更加全面。

在進(jìn)行分類討論時(shí)，必須遵循以下原則：

（1）分類原則――不重復(fù)、不遺漏。由于學(xué)生在思考問題時(shí)有時(shí)帶有片面性或缺乏條理性，因此在解決問題過程中，往往違背這個(gè)原則。實(shí)際上，在教材中定理證明、例題、習(xí)題中都采用分類思想，只要同學(xué)們認(rèn)真鉆研教材，多思考，并注意解題后的回顧與總結(jié)，在分類時(shí)就會(huì)做到不重、不漏。

（2）對(duì)復(fù)雜問題采用多級(jí)分類。對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問題有時(shí)進(jìn)行一級(jí)分類，很難將問題討論清楚，這時(shí)需要對(duì)其中一類或幾類再進(jìn)行分類，即多級(jí)分類。多級(jí)分類是一個(gè)難點(diǎn)，應(yīng)注意：①每一級(jí)分類一定要把握好分類標(biāo)準(zhǔn)。②每一級(jí)里，要始終如一地按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)討論，同時(shí)每一級(jí)都要以“不重不漏”為原則。教材中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學(xué)過程中要有意識(shí)地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸體會(huì)分類討論的思想。

如（“7.2線段、射線和直線”課內(nèi)練習(xí)的第2題），請(qǐng)寫出圖3中以O(shè)為端點(diǎn)的各條射線。

這是一個(gè)封閉性的題目，條件明確，結(jié)論唯一。如果在教學(xué)中，我們在學(xué)生練習(xí)完之后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，把這個(gè)問題中的條件“以O(shè)為端點(diǎn)”去掉，那么圖中又有多少條射線呢？這就是一個(gè)以射線端點(diǎn)為分類標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)分類問題。該問題雖小，但它讓學(xué)生看到了分類思想解決問題的巨大作用。如果再把這個(gè)圖形進(jìn)行變式，點(diǎn)A為直線BC上的一點(diǎn)，那么在圖4中有幾條射線呢？

進(jìn)一步，如果直線BC上有3個(gè)點(diǎn)，4個(gè)點(diǎn)，乃至n個(gè)點(diǎn)，那么圖4中又有多少條射線呢？至此，學(xué)生自己已經(jīng)不難解決這個(gè)問題了。

再如（“7.5角的大小比較”例2），如圖5，∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP的度數(shù)。

這是一道幾何計(jì)算題，它包含簡單的推理過程，怎樣有條理地表述解題過程，這是幾何入門教學(xué)過程中學(xué)生遇到的又一個(gè)難點(diǎn)。就本題來說，為使學(xué)生能表述清楚語句之間的邏輯關(guān)系，首先引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的圖形，找出圖5中與解題有關(guān)的角，分清哪些是已知度數(shù)的角，哪個(gè)是所求的角；其次根據(jù)已知條件和圖形，分析角與角的數(shù)量關(guān)系。然而，這樣的能力培養(yǎng)在學(xué)習(xí)的初始階段是需要模仿的，那么怎樣選擇問題呢？我們不妨對(duì)例2做簡單的變式，把題中的“如圖”兩字刪去，這時(shí)由于圖形位置的不確定性，需要對(duì)問題進(jìn)行分類討論，學(xué)生對(duì)問題既有新鮮感，又可以模仿例題的格式學(xué)習(xí)，正可謂一舉兩得。

4.化歸與轉(zhuǎn)化思想。

所謂“化歸”，從字面上看可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)中把待解決的問題通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中，最終獲得原問題解答的一種手段和方法。化歸方法用框圖可直觀表示為：

其中，問題B常被稱作化歸目標(biāo)或方向，轉(zhuǎn)化的手段被稱為化歸途徑或化歸策略。化歸包括三個(gè)要素，即化歸對(duì)象、化歸目標(biāo)和化歸策略?；瘹w的方向是：由未知到已知，由復(fù)雜到簡單，由困難到容易。

在數(shù)學(xué)教材中無處不滲透化歸思想，我們時(shí)常需要把高次的化為低次的，把多元的化為單元的，把高維的化為低維的，把指數(shù)運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，把幾何問題化為代數(shù)問題，化無理為有理等。從化歸的方向上來看，化歸的方向大致可以分為下面兩種：

（1）新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)教材中，有許多新知識(shí)的獲得或新問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)或已解決的問題完成的，也就是將新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決。下面就以解方程為例分析這種化歸的方向。

①消元降次化歸，實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化。

I.降次化歸解一元方程

解一元二次方程時(shí)有以下四種解法：

b.如果將方程通過配方恒等變形，一邊化為含未知數(shù)的完全平方式，另一邊為非負(fù)的常數(shù)，則其后的求解可由思路一完成，此為配方法。

c.如果方程一邊為零，一邊能分解成兩個(gè)一次因式之積，就可以得到兩個(gè)因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的解，此為因式分解法。

d.如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解。

從以上分析不難看出：將“一元二次”這個(gè)新知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“一元一次”這個(gè)已知知識(shí)點(diǎn)之際，也就是順利求解一元二次方程之時(shí)。因此，應(yīng)用化歸思想降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。

II.消元化歸解方程組

解二元一次方程組，其方法是通過加減消元或是代入消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即完成從新知識(shí)點(diǎn)到已知知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，從而得到求解。三元一次方程組，通過消元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而使問題得解。

②分式方程整式化，實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向已知知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化。

新教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式方式和可化為一元二次方程的分式方程，前者安排在七年級(jí)（下），后者雖然在教材中沒有安排，但是在中考復(fù)習(xí)中也會(huì)頻頻出現(xiàn)，可以看出把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一已知的知識(shí)模式是解分式方程的思路。這里需要注意的是在分式方程整式化變形過程中，有可能不是恒等變形，可能產(chǎn)生增根，所以分式方程必須驗(yàn)根。

縱觀整個(gè)教材，除解方程問題外，還有許多知識(shí)的轉(zhuǎn)化都屬于新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化，如：異分母分?jǐn)?shù)的加減法，通過通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)的加減法；多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和解決；梯形的中位線問題轉(zhuǎn)化為三角形的中位線解決等，無不滲透化歸思想。

（2）一般情況向特殊情況的轉(zhuǎn)化

在解決數(shù)學(xué)問題中除上述的化歸方向外，還有一類化歸方向是：先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問題解決，這也是解決新問題獲得新知識(shí)的一種重要的化歸方向。

如九年級(jí)上冊圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

分析：圓周角∠BAC與圓心O的位置關(guān)系有三種：（1）圓心O在∠BAC的一條邊AB（或AC）上（如圖二）；（2）圓心O在∠BAC的內(nèi)部（如圖三）；（3）圓心O在∠BAC的外部（如圖四）。

圖二 圖三 圖四

在第一種位置關(guān)系中，圓心角∠BOC恰為AOC的外角，這時(shí)很容易得到結(jié)論；在第二、三兩種位置關(guān)系中，我們均可作出過點(diǎn)A的直徑，將問題轉(zhuǎn)化為第一種情況，同樣可以證得結(jié)論。上述問題的解決都是先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問題解決，同時(shí)此定理的證明也滲透合理的分類數(shù)學(xué)思想。

5.數(shù)學(xué)模型思想。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)認(rèn)為：數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)所揭示的是人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。各種數(shù)學(xué)概念和各種數(shù)學(xué)命題都具有超越特殊對(duì)象的普遍意義，它們都是一種模式。如果把數(shù)學(xué)理解為由概念、命題、問題和方法等組合成的復(fù)合體，那么掌握模式的思想就有助于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)模型就是指針對(duì)或參照某種事物的特征或數(shù)量的相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程，大致可用如下框圖說明：

在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境―建立模型―解釋、應(yīng)用、拓展”的過程，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過實(shí)踐活動(dòng)，自己研究、探索，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，從而體會(huì)方程、不等式、函數(shù)等是現(xiàn)實(shí)世界的模型，初步領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想和方法，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

如“用不等式知識(shí)解決實(shí)際問題”的教學(xué)就可使用課后一道習(xí)題引入：

師：不等式（組）是反映現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量不等關(guān)系的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型，許多現(xiàn)實(shí)問題可用不等式（組）知識(shí)來解決。

問題：某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)，共有20道題，評(píng)分辦法是：對(duì)于每一道題，答對(duì)給10分，答錯(cuò)或不答扣5分。如果某學(xué)生總得分不少于80分，那么這個(gè)學(xué)生至少要答對(duì)多少道題？

師：這個(gè)問題含有那些要素？

生1：閱讀后略加思考答：①答對(duì)題數(shù)，②答錯(cuò)或不答題數(shù)，③試題數(shù)，④總得分?jǐn)?shù)。其中，已知量：試題數(shù)=20、答對(duì)一題給10分，某題答錯(cuò)或不答扣5分、某學(xué)生總得分不少于80分，未知量：這個(gè)學(xué)生至少要答對(duì)多少道題？

師：要素之間的數(shù)量關(guān)系如何？

生2：略加思考答：①答對(duì)題數(shù)+答錯(cuò)或不答題數(shù)=20；②答對(duì)題數(shù)×10+答錯(cuò)或不答題數(shù)×（-5）≥80；③答對(duì)題數(shù)×10≤200；④答錯(cuò)或不答題數(shù)×（-5）≥-100。

師：非常好！這是問題解決過程中的重要一環(huán)――分析。對(duì)于復(fù)雜的問題，將自然語言轉(zhuǎn)化為圖表語言能使數(shù)量關(guān)系更清晰。

師：怎樣用符號(hào)表示這些關(guān)系？

生3：設(shè)答對(duì)題數(shù)為x，則10x-5（20-x）≥80

生4：設(shè)答對(duì)題數(shù)為x，答錯(cuò)或不答題數(shù)為y，則x+y=2010x-5y≥80

生5：設(shè)答錯(cuò)或不答題數(shù)至多為x，則15x≤200-80

生6：設(shè)答對(duì)題數(shù)為x，則-100+15x≥80

師：多角度思考問題是學(xué)好數(shù)學(xué)的秘訣！這是問題解決的第二個(gè)環(huán)節(jié)――建模。同一個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型可能具有多樣性！

師：怎樣解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題？

生7：……

師：這是問題解決的第三個(gè)環(huán)節(jié)――解模。

師：這個(gè)數(shù)學(xué)問題的解是不是實(shí)際問題的解？

生8：……

師：這是問題解決的第四個(gè)環(huán)節(jié)――還原。

師：上述四個(gè)數(shù)學(xué)模型那個(gè)更有價(jià)值？為什么？

生9：……

師：這個(gè)問題還有其他解法嗎？

生10：相互研討后答：逐步逼近法（教師有改動(dòng)）：答對(duì)10題、11題、12題……進(jìn)行試探，逐步逼近）。

師：這是一種解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，尤其用于解數(shù)學(xué)競賽題。

師：上述問題改答對(duì)一題給10分，答錯(cuò)一題扣5分，不答不給分也不扣分呢？

眾生：對(duì)不答題數(shù)進(jìn)行分類討論。

師：思路正確！請(qǐng)你將其具體化，試試看。

師：這是問題解決的第五個(gè)環(huán)節(jié)――反思。

師：現(xiàn)在我們再回顧一下上述問題解決的全過程，繼續(xù)思考并回答下列問題：

（1）分析有哪些具體方法？（如自然語言轉(zhuǎn)化為圖表語言等）

（2）建模的實(shí)質(zhì)是什么？（實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題――符號(hào)語言）

（3）解模的本質(zhì)是什么？（邏輯推理）

（4）還原的理由是什么？（實(shí)際問題的解應(yīng)該具有實(shí)際意義）

（5）反思的視角與視點(diǎn)是什么？（模型是否具有多樣性、解法是否具有多樣性、問題是否具有一般性、知識(shí)與方法是否具有內(nèi)在聯(lián)系性等）

學(xué)生回答，教師點(diǎn)評(píng)并作出概括。

師：請(qǐng)你預(yù)測一下“問題解決”的過程與方法，對(duì)今后學(xué)習(xí)是否具有指導(dǎo)作用？過去用過這種思想方法嗎？

眾生：……

師：不等式10x-5（20-x）≥80是否具有實(shí)際意義？請(qǐng)你結(jié)合生活和生產(chǎn)實(shí)際，提出盡可能多的問題？

生：……

師：在這節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，你有哪些收獲與感受？請(qǐng)大家提出自己的觀點(diǎn)，毫無保留地交流自己的學(xué)習(xí)成果與思想。

四、結(jié)語

隨著新課改的進(jìn)一步深化，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生變化，由接受性學(xué)習(xí)變?yōu)檠芯啃詫W(xué)習(xí)；學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)移，從培養(yǎng)學(xué)生“分析與解決問題的能力”轉(zhuǎn)移到“發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力”；教育評(píng)價(jià)從重結(jié)果的終結(jié)性評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)到達(dá)到結(jié)果的過程性評(píng)價(jià)。那么數(shù)學(xué)教育教給學(xué)生，毫無疑問是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想方法為手段，開發(fā)學(xué)生潛能，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)生活。僅僅將數(shù)學(xué)作為一種工具，不能科學(xué)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會(huì)中的地位和價(jià)值。

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